Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений
  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
Линейное уравнение

Уравнение вида Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число, где Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число— переменная, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числои Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числонекоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числои Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число
Корни уравнения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число-любое числокорней нет
Одночлены и многочлены
Одночлены
  • Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
  • Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
  • Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
  • Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
  • Нуль-одночлен степени не имеет.
Многочлены
  • Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
  • Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
  • Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоназывают неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Многочлен Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоназывают неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Степень. Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем

Для любого Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числои любых целых Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числовыполняются равенства:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Для любых Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числои любого целого Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числовыполняются равенства:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

Функция. Область определения и область значений функции
Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число, зависимую обозначают Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число, функцию(правило) — Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число.
Независимую переменную Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоназывают аргументом функции. Значение зависимой переменной Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числоназывают значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число.
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства
  • Функцию, которую можно задать формулой вида Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число, где Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное числои Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число— некоторые числа, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число— независимая переменная, называют линейной.
  • Графиком линейной функции является прямая.
  • Линейную функцию, заданную формулой Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число, где Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число, называют прямой пропорциональностью.
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

  • все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
  • координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

  • построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
  • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
  • полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  • если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
  • если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
  • если прямые параллельны, то система решений не имеет.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

  • выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
  • подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
  • решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
  • подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.
Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

  • подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
  • сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
  • решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
  • подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.

Видео:Свойства уравнений. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число. Алгебра 7 кл.Скачать

Свойства уравнений. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число. Алгебра 7 кл.

Числовые неравенства и их свойства

теория по математике 📈 неравенства

Числовое неравенство – это неравенство, в котором по обе стороны от знака неравенства содержатся числа или числовые выражения. Результат сравнения записывают с помощью знаков =, .

Например, 24=24; 46>13, 67 –65.

В зависимости от конкретных чисел используется способ сравнения, но существует способ, который охватывает все числа, он основывается на следующем определении.

Способ сравнения чисел

Число а больше числа b, если разность (а – b) является положительным числом; число а меньше числа b, если разность (а – b) является отрицательным числом; число а равно числу b, если разность (а – b ) является равным нулю числом.

Пример №1.

  1. 123>118, так как 123–118=5, a 5>0;
  2. –15>–65, так как –15–(–65)= –15+65=50, a 50>0
  3. 118 Основные свойства числового неравенства
    1. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
    2. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное числои изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
    3. Если a и b положительные числа, причем a Пример №2.
      1. Дано неравенство 45>21. Если обе части умножим на одно и то же положительное число, например, 10, то получится верное неравенство 450>210.
      2. Дано неравенство 95>35. Обе части разделим на одно и то же отрицательное число (–5), при этом знак неравенства изменим на противоположный: 95:(–5) Алла Василевская | Просмотров: 3.7k | Оценить:

      Видео:Теория. Умножение и деление обеих частей уравнения (5-8 класс)Скачать

      Теория. Умножение и деление обеих частей уравнения (5-8 класс)

      Решение линейных неравенств

      Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

      О чем эта статья:

      Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

      Решение уравнений, 6 класс

      Основные понятия

      Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

      Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

      Линейные неравенства — это неравенства вида:

      где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

      Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

      Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

      Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

      ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по Математике

      Типы неравенств

      1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
      2. a > b и b > и

      Видео:КАК РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ? · Алгебра Математика 7 классСкачать

      КАК РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ? · Алгебра Математика 7 класс

      Линейные неравенства: свойства и правила

      Вспомним свойства числовых неравенств:

      1. Если а > b , то b а.
      2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

      Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

    Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

    Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

Правила линейных неравенств

  1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
  • 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
  • Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
  • Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x

    Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

    Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?

    Решение линейных неравенств

    Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

    где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

    Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

    Как решают уравнения в России и США

    Равносильные преобразования

    Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

    Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

    Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

    Как решаем:

    • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
    • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

    Видео:Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .

    Метод интервалов

    Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

    Метод интервалов заключается в следующем:

    • вводим функцию y = ax + b;
    • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
    • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
    • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

    Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

    • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

    Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

    • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
    • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

    Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

      если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

    Как решаем:

    В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

    Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

    Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же положительное число

    Определим знаки на промежутках.

    Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

    Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

    Видео:16. Решение уравненийСкачать

    16. Решение уравнений

    Графический способ

    Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

    Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

    • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
    • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

    Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

    Как решаем

    • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
    • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
    • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
    • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

    Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

    💡 Видео

    Линейное уравнение с одним неизвестным.Скачать

    Линейное уравнение с одним неизвестным.

    Система иррациональных уравнений #3Скачать

    Система иррациональных уравнений #3

    Тема:Уравнение и его корни.стр.25. Алгебра 7. Макарычев. Под ред. Теляковского.Скачать

    Тема:Уравнение и его корни.стр.25.  Алгебра 7. Макарычев. Под ред. Теляковского.

    Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 классСкачать

    Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 класс

    Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - 8 класс алгебраСкачать

    Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - 8 класс алгебра

    Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)

    Система иррациональных уравнений #4Скачать

    Система иррациональных уравнений #4

    Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

    Как решать неравенства? Часть 1| Математика

    ЕГЭ. Промежуточный срез № 5 «Повторение и обобщение» по пройденным темамСкачать

    ЕГЭ. Промежуточный срез № 5 «Повторение и обобщение» по пройденным темам

    КАК РЕШАТЬ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ? · Алгебра Математика 7 классСкачать

    КАК РЕШАТЬ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ? · Алгебра Математика 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: