Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений
  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
Линейное уравнение

Уравнение вида Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля, где Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— переменная, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляи Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулянекоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляи Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля
Корни уравнения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляЕсли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля-любое числокорней нет
Одночлены и многочлены
Одночлены
  • Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
  • Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
  • Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
  • Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
  • Нуль-одночлен степени не имеет.
Многочлены
  • Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
  • Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
  • Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляназывают неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Многочлен Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляназывают неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Степень. Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем

Для любого Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляи любых целых Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулявыполняются равенства:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Для любых Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляи любого целого Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулявыполняются равенства:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Функция. Область определения и область значений функции
Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля, зависимую обозначают Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля, функцию(правило) — Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля.
Независимую переменную Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляназывают аргументом функции. Значение зависимой переменной Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляназывают значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля.
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства
  • Функцию, которую можно задать формулой вида Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля, где Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляи Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— некоторые числа, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— независимая переменная, называют линейной.
  • Графиком линейной функции является прямая.
  • Линейную функцию, заданную формулой Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля, где Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля, называют прямой пропорциональностью.
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

  • все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
  • координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

  • построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
  • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
  • полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  • если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
  • если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
  • если прямые параллельны, то система решений не имеет.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

  • выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
  • подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
  • решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
  • подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.
Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

  • подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
  • сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
  • решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
  • подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Решение уравнений, 6 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Тезаурус

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение аf(x) = аg(x) (где а > 0, a ≠ 1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствие теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение (f(x))n = (g(x))n равносильное данному в его ОДЗ.

Список литературы
  • Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
  • Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Видео:Линейное уравнение с одним неизвестным.Скачать

Линейное уравнение с одним неизвестным.

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Видео:Равносильные уравненияСкачать

Равносильные уравнения

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Уравнения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулякогда Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Пример №202

Решите уравнение Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулягде Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляи Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— целые рациональные выражения. Имеем:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Окончательно получим уравнение: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Чтобы дробь Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляравнялась нулю, нужно, чтобы числитель Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляравнялся нулю, а знаменатель Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляне равнялся нулю.

Тогда Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляоткуда Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляПри Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулязнаменатель Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляСледовательно, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

2) приравнять числитель Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулято Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулягде Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Пример №203

Решите уравнение Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляИмеем: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулято есть ОДЗ переменной Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулясодержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляполучив пропорцию: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

По основному свойству пропорции имеем:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Решим это уравнение:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляоткуда Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

3) записать целое уравнение Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Областью допустимых значений переменной будут те значения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляпри которых Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулято есть все значения Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулякроме чисел Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляА простейшим общим знаменателем будет выражение Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Получим: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляа после упрощения: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулято есть Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляоткуда Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляили Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляа второе — два корня Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля(решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

где Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— натуральное число, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулякг. Как понимать смысл записи Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Рассмотрим степени числа 3 с показателями Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля— это соответственно Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Число Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулядолжно быть втрое меньше числа Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляравного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляРавенство Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулясправедливо для любого основания Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляпри условии, что Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля при Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нулязаписано число Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляЭто число втрое меньше, чем 1, то есть равно Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляСледовательно, Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляРассуждая аналогично получаем: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуляи т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля натуральное число, то Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

Видео:линейные уравненияСкачать

линейные уравнения

6.5.1. Линейное уравнение с одной переменной

У очень многих школьников возникает вопрос — как решить уравнение с x. Что значит решить уравнение и как найти корень уравнения. Давайте рассмотрим основную схему решения обычного уравнения, называемого линейным, с одной переменной.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

Правила и определения

Основные правила и определения для линейного уравнения с одной переменной.

  • Равенство с переменной называют уравнением.
  • Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
  • Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
  • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
  • Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  • Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Видео:Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - 8 класс алгебраСкачать

Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - 8 класс алгебра

Примеры. Решить уравнение.

Уравнение 1

  1. 1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  2. 1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
  3. х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
  4. х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:
  5. чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число: 6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Ответ: 5.

Уравнение 2

3(2х-9) = 4(х-4).

  1. 6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) c = a c-b c.
  2. 6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  3. 2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
  4. х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 5,5.

Уравнение 3

  1. 7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
  2. 7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  3. 4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
  4. х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: -1,5.

Уравнение 4

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

  1. 3 (х-5) = 7 12 — 4 (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.
  2. 3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) c = a c-b c.
  3. 3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  4. 11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
  5. х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 13.

Видео:Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | Инфоурок

Уравнения для самостоятельного решения

Решить самостоятельно уравнения:

а) 3-2,6х = 5х+1,48;

б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);

в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля

5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)

Важные выводы

Итак, для того, чтобы решить уравнение — надо определить его переменную, перенести неизвестную переменную в левую часть уравнения, а известные — в праву. При необходимости упростить левую и правую части и затем найти корень уравнения.

🎦 Видео

КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ, СВОДЯЩЕЕСЯ К ЛИНЕЙНОМУ? Примеры | АЛГЕБРА 7 классСкачать

КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ, СВОДЯЩЕЕСЯ К ЛИНЕЙНОМУ? Примеры | АЛГЕБРА 7 класс

Как решать линейные уравнения.Скачать

Как решать линейные уравнения.

Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Как решать неравенства? Часть 1| Математика

Тема:Уравнение и его корни.стр.25. Алгебра 7. Макарычев. Под ред. Теляковского.Скачать

Тема:Уравнение и его корни.стр.25.  Алгебра 7. Макарычев. Под ред. Теляковского.

Решение уравнений 2Скачать

Решение уравнений 2

Уравнение вида ах = с 6 класс Часть 2 Теперь учимся высвобождать переменную от множителя.Скачать

Уравнение вида ах = с   6 класс Часть 2 Теперь учимся высвобождать переменную от множителя.

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

Равносильные уравнения. Совокупность уравнений. Подготовка к ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 по математике #41Скачать

Равносильные уравнения. Совокупность уравнений. Подготовка к ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 по математике #41

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?

Математика 6 класс (Урок№50 - Уравнения. Часть 2.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№50 - Уравнения. Часть 2.)

РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА. Видеоурок | АЛГЕБРА 7 классСкачать

РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА. Видеоурок | АЛГЕБРА 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: