Если какое либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую (3 видео)

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого.

При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.

Примеры переноса слагаемого:

Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую:

Далее переносим (−6) из правой части в левую:

Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем:

Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2 ) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅2) и (7x). Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

Таким же образом преобразовывают неравенства:

Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений используются другие методы.

Содержание

Если какое либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую
Как репетитор по математике борется с ошибками переноса слагаемых
Репетитор по математике на карточках
🔥 Видео

Видео:Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 классСкачать

Если какое либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений

Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

Линейное уравнение

Уравнение вида , где — переменная, и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения и
Корни уравнения		-любое число	корней нет

Одночлены и многочлены

Одночлены

Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.

Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.

Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен называют неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Многочлен называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых выполняются равенства:

Для любых , и любого целого выполняются равенства:

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают , зависимую обозначают , функцию(правило) — .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства

Функцию, которую можно задать формулой вида , где и — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
Графиком линейной функции является прямая.
Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.

Видео:Решение уравнение с переносом слагаемых из одной части в другуюСкачать

Как репетитор по математике борется с ошибками переноса слагаемых

М не очень часто доводилось исправлять ученические ошибки, казалось бы не поддающихся какому-либо разумному объяснению и анализу. Опытному репетитору по математике хорошо знакомы ситуации, когда дети совершают промахи в казалось бы, в совершенно простых ситуациях. «Как тут можно ошибиться», — спросит начинающий репетитор? Кажется, что выполнить задание правильно куда проще, чем вносить какие-то необъяснимые и нелогичные изменения в записанное.

Профессия «репетитор по математике» — очень сложное ремесло, однако это не должно пугать или оправдывать неудачи. Хороший репетитор находиться в постоянном поиске причин появления ошибок, пробует новые и совершенствует испытанные подходы к их устранению. Как минимизировать частоту появления ошибок?

Рассмотрим типичную проблему при работе репетитора по математике в 6 классе с очень слабым учеником: при решении линейного уравнения школьник хронически ошибается в переносах слагаемых из одной части равенства в другую. Причем страдают не только плюсы с минусами. Пропадают числа, буквы и даже знаки «равно». Ох, чего только я не насмотрелся в ученических тетрадях.

Сами же школьники сетуют на невнимательность, что конечно имеет место быть, но невнимательность часто является следствием появления каких-либо визуальных, звуковых, логических или физических помех при работе.

Как репетитору по математике в 6 классе бороться с ними внутри данной темы? И откуда приходят помехи? Как правило слабый ученик имеет довольно низкие физиологические показатели фиксации внимания на сложном для 6 класса графическом объекте, коим, как это ни странно звучит, является уравнение. В сочетании с параллельно производимой операцией вынужденного переписывания равенства с одновременной его трансформацией, ребенку просто не хватает ресурса контроля за производимыми действиями. Как поступить репетитору по математике в подобной ситуации? Отказаться в 6 классе от переписывания? Я решаю проблему так:

Репетитор по математике на карточках

На какой-то период задания должны быть свободны от письма. К нескольким уравнениям, включенным в планы урока, репетитором составляются специальные карточки с изображенными на них слагаемыми. Из них складывается левая и правая часть уравнения и выкладывается перед учеником на стол. На обороте каждой карточки репетитора по математике дублируются эти же слагаемые, но с другими знаками. К примеру, если ребенку нужно перенести 5х из правой части в левую он переносит 5х через знак «=» и переворачивает ее обратной стороной вверх. Получается «- 5х» Такой ход выполнения задания освобождает ребенка от переписывания объекта (уравнения) и позволяет собрать внимание на одной единственной операции, то есть на самом переносе.

Безусловно, репетитору по математике не следует увлекаться карточными играми, ибо все равно нужно вырабатывать умение выполнять действия в процессе письма. Однако на первых порах методика «конструктора ЛЕГО» проявляет большую эффективность, ибо позволяет собрать внимание ученика на главном содержании изучаемой темы. От этого перенос быстрее и лучше запоминается. После того, как ученик проявит уверенность в ответах, репетитор по математике сможет приступить к отработке оформления.

А.Н. Колпаков. Автор подхода — репетитор по математике в Строгино. Москва