Про уравнения - легко » Статьи

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Обновлено
Эллипс проходит через точки m1(2;sqr(3)) m2(0;2).Написать его уравнение и найти расстояния точки m от фокусов.

Двух точек недостаточно. Надо минимум три.

Эта небрежность в формулировках раздражает. Если эллипс соответствует его каноническому уравнению — это надо было указать.
Координаты фокусов (-с; 0) и (с; 0). Положим, что координаты известны и у точки m. Надо полагать, что расстояния найдет сам автор вопроса.

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Не сказана важная вещь: предполагается, что оси симметрии
совпадают с осями координат. Уравнение имеет вид

x^2/a^2+y^2/b^2=1, Поставляем координаты точек:

Отсюда b^2=4, a^2=16, c^2=16-4, отсюда c=2*корень (3).

Содержание
  1. Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
  2. Понятие о кривых второго порядка
  3. Эллипс, заданный каноническим уравнением
  4. Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
  5. Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
  6. Составить уравнение эллипса фокусы которого имеют координаты
  7. Чертеж фигуры эллипс
  8. Эксцентриситет фигуры эллипс
  9. Директрисы фигуры эллипс
  10. УСЛОВИЕ:
  11. Решения пользователей
  12. РЕШЕНИЕ ОТ sova
  13. Лучшие эксперты в этом разделе
  14. 📸 Видео

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков Александр

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координати Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координатна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координатперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Точки Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координати Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, обозначенные зелёным на большей оси, где

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат,

называются фокусами.

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Получаем фокусы эллипса:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Видео:Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат— расстояния до этой точки от фокусов Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, то формулы для расстояний — следующие:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат,

где Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координати Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат— расстояния этой точки до директрис Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координати Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Пример 7. Дан эллипс Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, а директрисами являются прямые Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Уравнение эллипса готово:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Пример 9. Проверить, находится ли точка Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координатна эллипсе Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат,

так как из исходного уравнения эллипса Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Составить уравнение эллипса фокусы которого имеют координаты

Определение. Эллипс – это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Чертеж фигуры эллипс

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2*Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении его с горизонтальной осью, r1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Эксцентриситет фигуры эллипс

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1 ) выполняется условие: Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, то она находится внутри эллипса, а если Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, то точка находится вне его.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей фигуре эллипс верны соотношения :

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex . Теорема доказана.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Директрисы фигуры эллипс

С фигурой эллипс связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:

x = a / e ; x = – a / e .

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе фигуры эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину фигуры эллипс, заданного уравнением : Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

• Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

• Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

• Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координатЭллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Пример. Составить уравнение границы фигуры эллипс, если его фокусы F 1 (0; 0), F2 (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение границы имеет вид: Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат. Расстояние между фокусами:

2 c = Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат, таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = 1/2

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Итого искомое уравнение имеет вид: Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат.

УСЛОВИЕ:

Составить уравнение эллипса, зная, что:
а) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F1(-6;0), F2(10;0)
б) а=5, F1(-3;5), F2(3;5)
2.
Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если:
а)задана точка M1(2 корня из 3;1) эллипса и его малая полуось равна 2
б) заданы две точки эллипса M1(0;7) и M2(8;0)
в)расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26
г) экцентриситет равен 7/25 и заданы фокусы (+-7;0)

Добавил maryney23 , просмотры: ☺ 3749 ⌚ 2018-12-29 21:53:45. предмет не задан класс не задан класс

Решения пользователей

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

РЕШЕНИЕ ОТ sova

M- середина F_(1)F_(2)
x_(M)=(-6+10)/2=2
y_(M)=0
M(2;0)
Прямая x=2 -оcь симметрии эллипса

О т в е т.(x-2)^2/(10^2)+(y^2/6^2)=1

б) F_(1)(-3;5); F_(2)=(3;5)⇒
c=3
Прямая
y=5 – ось симметрии эллипса

О т в е т.(x^2/5^2)+((y-5)^2/4^2)=1

2. Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

а)
b=2
(x^2/a^2)+(y^2/4)=1
Подставляем координаты точки M_(1):
(12/a^2)+(1/4)=1
(12/a^2)=3/4
a^2=16
О т в е т. (x^2/4^2)+(y^2/2^2)=1

О т в е т. (x^2/8^2)+(y^2/7^2)=1

в)
2с=24 ⇒ с=12
2а=26 ⇒ а=13

b^2=a^2-с^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2
О т в е т. (x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1

г)
F( ± c;0) ⇒ c=7
ε=с/а
c/a=7/25
a=25
b^2=a^2-c^2=625-49=576=24^2
О т в е т. (x^2/25^2)+(y^2/24^2)=1

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Лучшие эксперты в этом разделе

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 1702		Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координатepimkin
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 385		Roman Chaplinsky / Химик CH
Статус: Модератор
Рейтинг: 372
Перейти к консультации №:

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

здравствуйте помогите пожалуйста.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (0;4√2) и (0;- 4√2) , а малая ось равна 14. спасибо за помощь

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, анисимова юлия александровна!
Уравнение эллипса имеет вид
x²/a² + y²/b² = 1 (если фокусы расположены на оси Ox)
или
x²/b² + y²/a² = 1 (если фокусы расположены на оси Oy).
У нас второй случай.

Фокусы эллипса имеют координаты (0; 4√2) и (0; -4√2), значит, c = 4√2.
Малая ось равна 14, т.е. b = 14.
У эллипса
a² = b² + c².
Значит,
a² = 196 + 32 = 228.

Ответ: x²/196 + y²/228 = 1.

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координатКонсультировал: Агапов Марсель
Дата отправки: 15.01.2008, 22:17

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат0 Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Эллипс проходит через точки составить уравнение эллипса приняв его оси за оси координат

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

📸 Видео

Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Поворот и параллельный перенос координатных осей. Эллипс

Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. ЗадачиСкачать

Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. Задачи

§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипса

213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

Найти все касательные к эллипсу проходящие через начало координатСкачать

Найти все касательные к эллипсу проходящие через начало координат

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"
Поделиться или сохранить к себе: