Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.
- Что такое элементарные функции
- Понятие алгебраических функций
- Понятие трансцендентных функций
- Алгебраические функции
- Какими бывают функции?
- Разновидности алгебраических функций
- Целые рациональные функции (многочлены, полиномы)
- Готовые работы на аналогичную тему
- Дробно-рациональные функции (рациональные дроби)
- Иррациональные функции
- Свойства рациональных дробей
- Деление рациональных дробей
- Сокращение рациональных дробей
- Классификация элементарных функций.
- Элементарные функции.
- Алгебраические функции.
- Рациональные функции.
- Иррациональные функции.
- Трансцендентные функции.
- 💡 Видео
Видео:A.3.9 Элементарные функции (переснято)Скачать
Что такое элементарные функции
Начнем с базового определения.
Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.
Пример элементарной функции – y = a r c sin 2 x x 2 — 3 + 1 — ln ( x ) .
Таким функции бывают:
В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).
Рассмотрим каждый вид функций отдельно.
Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать
Понятие алгебраических функций
Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.
Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f ( x ) = x и f ( x ) = 1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)
Так, примером алгебраической функции является y = x 2 — 3 4 x .
Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.
Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).
Примером первого вида функций является y = 1 2 x 4 + x — 1 , второго – y = x — a x 3 + b .
Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, y = 1 3 x 2 — 1 относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.
Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).
Примером такой функции может быть y = x + 1 3 .
Видео:Линейная функция, квадратичная функция и обратно-пропорциональная функция | Математика | TutorOnlineСкачать
Понятие трансцендентных функций
Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.
Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.
Пример такой функции – y = log 2 x 3 + 2 3 .
При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции. Так, y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 3 не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 3 = x + 1 3 2 3 = ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 x + 1 .Функция y = a r c sin ( sin ( 3 x 2 + 1 ) является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку y = a r c sin ( sin ( 3 x 2 + 1 ) = 3 x 2 + 1 .
Видео:Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать
Алгебраические функции
Вы будете перенаправлены на Автор24
Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать
Какими бывают функции?
Чтобы не заблудиться среди огромного разнообразия функций, очень важно выделить признаки той их части, которая называется алгебраическими функциями.
Прежде всего определимся с элементарными функциями.
Любая функция $f$ считается элементарной, если она задана одним уравнением $y=fleft(xright)$, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и композиций.
В определении применены следующие понятия:
Это значит, что над двумя данными произвольными функциями $uleft(xright)$ и $vleft(xright)$ в данной области определения можно выполнять сложение $uleft(xright)+vleft(xright)$, вычитание $uleft(xright)-vleft(xright)$, умножение $uleft(xright)cdot vleft(xright)$, а также деление $frac $. При делении предполагается, что для всех $x$ из данной области определения выполняется условие $vleft(xright)ne 0$.
Операция композиции состоит в следующем. Пусть $y$ является функцией от $u$, то есть $y=fleft(uright)$. Пусть также в свою очередь, $u$ является функцией независимой переменной $x$, то есть $u=gleft(xright)$. В этих условиях функция $y=fleft(gleft(xright)right)$ называется композицией данных функций $f$ и $g$.
Функция $y=frac <xcdot 3^> <sqrt> +arcsin ^ x$ является элементарной. В ней использованы все четыре арифметических действия, основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, тригонометрическая и обратная тригонометрическая), а также представлены композиции функций в виде $arcsin ^ x$ и $sqrt $.
Все элементарные функции распределяют на алгебраические и трансцендентные (те, которые к алгебраическим не относятся).
Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Разновидности алгебраических функций
Существует три основных разновидности алгебраических функций.
Видео:Понятие функции. 7 класс.Скачать
Целые рациональные функции (многочлены, полиномы)
Это функции вида $y=Pleft(xright)=a_ cdot x^ +a_ cdot x^ +ldots +a_ cdot x+a_ $, где $a_ ,; a_ ,; ldots ,; a_ $ — постоянные действительные числа, называемые коэффициентами, $n$ — целое неотрицательное число. Если $a_ ne 0$, то $n$ называют степенью многочлена.
Готовые работы на аналогичную тему
Многочлен второй степени $y=3cdot x^ -x+5$. Многочлен нулевой степени $y=7$.
Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать
Дробно-рациональные функции (рациональные дроби)
Это функции вида $y=frac =frac <a_cdot x^ +a_ cdot x^ +ldots +a_ cdot x+a_ > <b_cdot x^ +b_ cdot x^ +ldots +b_ cdot x+b_ > $, представляющие собой отношение двух многочленов.
Рациональная дробь $y=frac <x^+1> <7cdot x^+4cdot x-2> $.
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Иррациональные функции
В состав таких функций входят рациональные функции с нецелыми рациональными показателями степени при использовании арифметических действий. Внешний признак иррациональной функции — наличие корней различной степени.
Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
Свойства рациональных дробей
Дана рациональная дробь $frac =frac <a_cdot x^ +a_ cdot x^ +ldots +a_ cdot x+a_ > <b_cdot x^ +b_ cdot x^ +ldots +b_ cdot x+b_ > $, где $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ — многочлены. Пусть коэффициенты $a_ ne 0$ и $b_ ne 0$. Тогда указанные многочлены имеют степени $n$ и $m$ соответственно. Данная рациональная дробь определена во всех точках числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель $Qleft(xright)=0$.
Рациональную дробь называют правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть $n
Видео:Алгебра 7 класс с нуля | Математика | УмскулСкачать
Деление рациональных дробей
Если рациональная дробь является неправильной, то посредством деления числителя $Pleft(xright)$ на знаменатель $Qleft(xright)$ её можно представить в виде$frac =Mleft(xright)+frac $ или $Pleft(xright)=Mleft(xright)cdot Qleft(xright)+Rleft(xright)$, где $frac $ — правильная рациональная дробь, а многочлены $Mleft(xright)$ и $Rleft(xright)$ — соответственно частное и остаток от деления многочленов. При этом сумма степеней многочленов $Mleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ равна степени многочлена $Pleft(xright)$.
Разделить многочлены $frac <3cdot x^-2cdot x^ -x^ +7cdot x-5> <x^-2cdot x+3> $.
Деление в данном случае возможно, так как степень числителя (четвёртая) больше степени знаменателя (вторая). Деление многочленов выполняем «углом».
Результат деления имеет следующий вид:
[frac <3cdot x^-2cdot x^ -x^ +7cdot x-5> <x^-2cdot x+3> =3cdot x^ +4cdot x-2+frac <x^-2cdot x+3> .] Здесь $Mleft(xright)=3cdot x^ +4cdot x-2$ — частное от деления, $Rleft(xright)=-9cdot x+1$ — остаток от деления.
Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать
Сокращение рациональных дробей
Рациональная дробь $frac $, как и числовая, бывает сократимой или несократимой. Предположим, что данная рациональная дробь является сократимой, так как оба многочлена $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ имеют общие множители, содержащие переменную $x$. Произведение всех этих множителей называется наибольшим общим делителем данных многочленов, то есть $Pleft(xright)=Nleft(xright)cdot P_ left(xright)$ и $Qleft(xright)=Nleft(xright)cdot Q_ left(xright)$, где многочлен $Nleft(xright)$ — наибольший общий делитель. В этом случае данная рациональная дробь приобретает вид $frac =frac <Nleft(xright)cdot P_left(xright)> <Nleft(xright)cdot Q_left(xright)> =frac <P_left(xright)> <Q_left(xright)> $, где рациональная дробь $frac <P_left(xright)> <Q_left(xright)> $ является несократимой, а многочлены $P_ left(xright)$ и $Q_ left(xright)$ называются взаимно простыми. Если многочлен $Nleft(xright)$ — какой-то один наибольший общий делитель, то многочлены $Ccdot Nleft(xright)$, где $C$ — произвольная константа, тоже будут наибольшими общими делителями. Общим делителем взаимно простых многочленов может считаться произвольная константа.
Наибольший общий делитель многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ можно найти с помощью алгоритма Евклида:
- пусть $Uleft(xright)$ и $Vleft(xright)$ — это новые обозначения многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$, причем $Uleft(xright)$ — это тот, который имеет большую степень;
- делим многочлен $Uleft(xright)$ на многочлен $Vleft(xright)$ и получаем $frac=Mleft(xright)+frac$, где новый многочлен $Pleft(xright)$ представляет собой остаток от деления;
- обозначаем многочлен $Vleft(xright)$ как $Qleft(xright)$ и возвращаемся на шаг 1.
Выполнение данного алгоритма повторяем, пока на шаге 2 не будет достигнуто нулевое значение остатка от деления $Pleft(xright)=0$. Тогда предпоследний, отличный от нуля остаток от деления, будет наибольшим общим делителем данных многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$.
Если полученный по алгоритму Евклида наибольший общий делитель будет иметь вид многочлена $Nleft(xright)$, зависящего от $x$, то данную рациональную дробь $frac $ можно сократить посредством деления и числителя, и знаменателя на $Nleft(xright)$. Если же наибольший общий делитель будет получен в виде константы, то данную рациональную дробь $frac $ следует считать несократимой.
Сначала по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$.
Шаг 1. Новые обозначения многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$:
[Uleft(xright)=x^ +2cdot x^ -4cdot x-3; Vleft(xright)=x^ +x-6.]
Шаг 2. Результат деления многочленов:
$frac =frac <x^+2cdot x^ -4cdot x-3> <x^+x-6> =x+1+frac <x^+x-6> $, где новый многочлен $Pleft(xright)=x+3$ представляет собой остаток от деления.
Переобозначаем $Qleft(xright)=x^ +x-6$ и возвращаемся на шаг 1.
Шаг 1. Новые обозначения многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$:
[Uleft(xright)=x^ +x-6; Vleft(xright)=x+3.]
Шаг 2. Результат деления многочленов: $frac =frac <x^+x-6> =x-2$, где остаток от деления $Pleft(xright)=0$.
Таким образом, наибольший общий делитель — это предыдущий, отличный от нуля остаток, то есть $Nleft(xright)=x+3$. Этот наибольший общий делитель представляет собой многочлен, зависящий от $x$, следовательно, сокращение данной рациональной дроби возможно:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 11 2021
Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать
Классификация элементарных функций.
Для чего нужно классифицировать элементарные функции?
Ответ очень прост: каждому классу функций соответствует определенный набор свойств. Некоторые функции бесконечное число раз дифференцируемы на каком-либо промежутке, некоторые непрерывны, другие ортогональны с весом и т.д. и т.п.
Согласитесь, когда все книги разложены по полочкам по определенным тематикам, достаточно просто найти нужную.
Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Элементарные функции.
Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями.
Примером может являться функция .
Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.
Элементарные функции
- Трансцендентные
- Алгебраические
- Иррациональные
- Рациональные
- Целые рациональные
- Дробные рациональные
Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные.
Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать
Алгебраические функции.
Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.
Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.
Например, функция является алгебраической.
Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.
Рациональные функции.
Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).
Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).
Пример целой рациональной функции: .
Пример дробно-рациональной функции: .
Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, — целая рациональная функция, а не иррациональная.
Иррациональные функции.
Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).
Примером может являться функция .
Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Трансцендентные функции.
Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).
К примеру, — трансцендентная функция.
Если вид элементарной функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция.
К примеру, — не иррациональная функция, а рациональная, так как .
— не трансцендентная функция, а рациональная алгебраическая, так как .
💡 Видео
Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline МатематикаСкачать
Все графики функций за 20 секундСкачать
003. Основные элементарные функции. Начала математического анализаСкачать
Функция. Область определения функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать