Элементарные алгебраические функции и уравнения

Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Что такое элементарные функции

Начнем с базового определения.

Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

Пример элементарной функции – y = a r c sin 2 x x 2 — 3 + 1 — ln ( x ) .

Таким функции бывают:

В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

Видео:A.3.9 Элементарные функции (переснято)Скачать

Понятие алгебраических функций

Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f ( x ) = x и f ( x ) = 1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)

Так, примером алгебраической функции является y = x 2 — 3 4 x .

Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.

Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).

Примером первого вида функций является y = 1 2 x 4 + x — 1 , второго – y = x — a x 3 + b .

Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, y = 1 3 x 2 — 1 относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.

Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Примером такой функции может быть y = x + 1 3 .

Видео:Линейная функция, квадратичная функция и обратно-пропорциональная функция | Математика | TutorOnlineСкачать

Понятие трансцендентных функций

Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.

Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.

Пример такой функции – y = log 2 x 3 + 2 3 .

При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции. Так, y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 3 не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 3 = x + 1 3 2 3 = ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 x + 1 .Функция y = a r c sin ( sin ( 3 x 2 + 1 ) является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку y = a r c sin ( sin ( 3 x 2 + 1 ) = 3 x 2 + 1 .

Видео:Понятие функции. 7 класс.Скачать

Алгебраические функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Какими бывают функции?

Чтобы не заблудиться среди огромного разнообразия функций, очень важно выделить признаки той их части, которая называется алгебраическими функциями.

Прежде всего определимся с элементарными функциями.

Любая функция $f$ считается элементарной, если она задана одним уравнением $y=fleft(xright)$, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и композиций.

В определении применены следующие понятия:

Это значит, что над двумя данными произвольными функциями $uleft(xright)$ и $vleft(xright)$ в данной области определения можно выполнять сложение $uleft(xright)+vleft(xright)$, вычитание $uleft(xright)-vleft(xright)$, умножение $uleft(xright)cdot vleft(xright)$, а также деление $frac $. При делении предполагается, что для всех $x$ из данной области определения выполняется условие $vleft(xright)ne 0$.

Операция композиции состоит в следующем. Пусть $y$ является функцией от $u$, то есть $y=fleft(uright)$. Пусть также в свою очередь, $u$ является функцией независимой переменной $x$, то есть $u=gleft(xright)$. В этих условиях функция $y=fleft(gleft(xright)right)$ называется композицией данных функций $f$ и $g$.

Функция $y=frac <xcdot 3^> <sqrt> +arcsin ^ x$ является элементарной. В ней использованы все четыре арифметических действия, основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, тригонометрическая и обратная тригонометрическая), а также представлены композиции функций в виде $arcsin ^ x$ и $sqrt $.

Все элементарные функции распределяют на алгебраические и трансцендентные (те, которые к алгебраическим не относятся).

Видео:Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Разновидности алгебраических функций

Существует три основных разновидности алгебраических функций.

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Целые рациональные функции (многочлены, полиномы)

Это функции вида $y=Pleft(xright)=a_ cdot x^ +a_ cdot x^ +ldots +a_ cdot x+a_ $, где $a_ ,; a_ ,; ldots ,; a_ $ — постоянные действительные числа, называемые коэффициентами, $n$ — целое неотрицательное число. Если $a_ ne 0$, то $n$ называют степенью многочлена.

Готовые работы на аналогичную тему

Многочлен второй степени $y=3cdot x^ -x+5$. Многочлен нулевой степени $y=7$.

Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Дробно-рациональные функции (рациональные дроби)

Это функции вида $y=frac =frac <a_cdot x^ +a_ cdot x^ +ldots +a_ cdot x+a_ > <b_cdot x^ +b_ cdot x^ +ldots +b_ cdot x+b_ > $, представляющие собой отношение двух многочленов.

Рациональная дробь $y=frac <x^+1> <7cdot x^+4cdot x-2> $.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Иррациональные функции

В состав таких функций входят рациональные функции с нецелыми рациональными показателями степени при использовании арифметических действий. Внешний признак иррациональной функции — наличие корней различной степени.

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

Свойства рациональных дробей

Дана рациональная дробь $frac =frac <a_cdot x^ +a_ cdot x^ +ldots +a_ cdot x+a_ > <b_cdot x^ +b_ cdot x^ +ldots +b_ cdot x+b_ > $, где $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ — многочлены. Пусть коэффициенты $a_ ne 0$ и $b_ ne 0$. Тогда указанные многочлены имеют степени $n$ и $m$ соответственно. Данная рациональная дробь определена во всех точках числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель $Qleft(xright)=0$.

Рациональную дробь называют правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть $n

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Деление рациональных дробей

Если рациональная дробь является неправильной, то посредством деления числителя $Pleft(xright)$ на знаменатель $Qleft(xright)$ её можно представить в виде$frac =Mleft(xright)+frac $ или $Pleft(xright)=Mleft(xright)cdot Qleft(xright)+Rleft(xright)$, где $frac $ — правильная рациональная дробь, а многочлены $Mleft(xright)$ и $Rleft(xright)$ — соответственно частное и остаток от деления многочленов. При этом сумма степеней многочленов $Mleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ равна степени многочлена $Pleft(xright)$.

Разделить многочлены $frac <3cdot x^-2cdot x^ -x^ +7cdot x-5> <x^-2cdot x+3> $.

Деление в данном случае возможно, так как степень числителя (четвёртая) больше степени знаменателя (вторая). Деление многочленов выполняем «углом».

Результат деления имеет следующий вид:

[frac <3cdot x^-2cdot x^ -x^ +7cdot x-5> <x^-2cdot x+3> =3cdot x^ +4cdot x-2+frac <x^-2cdot x+3> .] Здесь $Mleft(xright)=3cdot x^ +4cdot x-2$ — частное от деления, $Rleft(xright)=-9cdot x+1$ — остаток от деления.

Видео:Алгебра 7 класс с нуля | Математика | УмскулСкачать

Сокращение рациональных дробей

Рациональная дробь $frac $, как и числовая, бывает сократимой или несократимой. Предположим, что данная рациональная дробь является сократимой, так как оба многочлена $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ имеют общие множители, содержащие переменную $x$. Произведение всех этих множителей называется наибольшим общим делителем данных многочленов, то есть $Pleft(xright)=Nleft(xright)cdot P_ left(xright)$ и $Qleft(xright)=Nleft(xright)cdot Q_ left(xright)$, где многочлен $Nleft(xright)$ — наибольший общий делитель. В этом случае данная рациональная дробь приобретает вид $frac =frac <Nleft(xright)cdot P_left(xright)> <Nleft(xright)cdot Q_left(xright)> =frac <P_left(xright)> <Q_left(xright)> $, где рациональная дробь $frac <P_left(xright)> <Q_left(xright)> $ является несократимой, а многочлены $P_ left(xright)$ и $Q_ left(xright)$ называются взаимно простыми. Если многочлен $Nleft(xright)$ — какой-то один наибольший общий делитель, то многочлены $Ccdot Nleft(xright)$, где $C$ — произвольная константа, тоже будут наибольшими общими делителями. Общим делителем взаимно простых многочленов может считаться произвольная константа.

Наибольший общий делитель многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$ можно найти с помощью алгоритма Евклида:

1. пусть $Uleft(xright)$ и $Vleft(xright)$ — это новые обозначения многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$, причем $Uleft(xright)$ — это тот, который имеет большую степень;
2. делим многочлен $Uleft(xright)$ на многочлен $Vleft(xright)$ и получаем $frac=Mleft(xright)+frac$, где новый многочлен $Pleft(xright)$ представляет собой остаток от деления;
3. обозначаем многочлен $Vleft(xright)$ как $Qleft(xright)$ и возвращаемся на шаг 1.

Выполнение данного алгоритма повторяем, пока на шаге 2 не будет достигнуто нулевое значение остатка от деления $Pleft(xright)=0$. Тогда предпоследний, отличный от нуля остаток от деления, будет наибольшим общим делителем данных многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$.

Если полученный по алгоритму Евклида наибольший общий делитель будет иметь вид многочлена $Nleft(xright)$, зависящего от $x$, то данную рациональную дробь $frac $ можно сократить посредством деления и числителя, и знаменателя на $Nleft(xright)$. Если же наибольший общий делитель будет получен в виде константы, то данную рациональную дробь $frac $ следует считать несократимой.

Сначала по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$:

[Uleft(xright)=x^ +2cdot x^ -4cdot x-3; Vleft(xright)=x^ +x-6.]

Шаг 2. Результат деления многочленов:

$frac =frac <x^+2cdot x^ -4cdot x-3> <x^+x-6> =x+1+frac <x^+x-6> $, где новый многочлен $Pleft(xright)=x+3$ представляет собой остаток от деления.

Переобозначаем $Qleft(xright)=x^ +x-6$ и возвращаемся на шаг 1.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $Pleft(xright)$ и $Qleft(xright)$:

[Uleft(xright)=x^ +x-6; Vleft(xright)=x+3.]

Шаг 2. Результат деления многочленов: $frac =frac <x^+x-6> =x-2$, где остаток от деления $Pleft(xright)=0$.

Таким образом, наибольший общий делитель — это предыдущий, отличный от нуля остаток, то есть $Nleft(xright)=x+3$. Этот наибольший общий делитель представляет собой многочлен, зависящий от $x$, следовательно, сокращение данной рациональной дроби возможно:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 11 2021

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Классификация элементарных функций.

Для чего нужно классифицировать элементарные функции?

Ответ очень прост: каждому классу функций соответствует определенный набор свойств. Некоторые функции бесконечное число раз дифференцируемы на каком-либо промежутке, некоторые непрерывны, другие ортогональны с весом и т.д. и т.п.

Согласитесь, когда все книги разложены по полочкам по определенным тематикам, достаточно просто найти нужную.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Элементарные функции.

Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями.

Примером может являться функция .

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

• Трансцендентные
• Алгебраические
  • Иррациональные
  • Рациональные
    • Целые рациональные
    • Дробные рациональные

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Алгебраические функции.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция является алгебраической.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональные функции.

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).

Пример целой рациональной функции: .

Пример дробно-рациональной функции: .

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, — целая рациональная функция, а не иррациональная.

Иррациональные функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция .

Видео:Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline МатематикаСкачать

Трансцендентные функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру, — трансцендентная функция.

Если вид элементарной функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция.

К примеру, — не иррациональная функция, а рациональная, так как .

— не трансцендентная функция, а рациональная алгебраическая, так как .

🎬 Видео

Все графики функций за 20 секундСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

003. Основные элементарные функции. Начала математического анализаСкачать

Функция. Область определения функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать