Уметь решать систему уравнений нужно не только и не столько в задачах, начинающихся словами «решить систему …», хотя такие задачи встречаются наиболее часто. Кроме этого, решение многих текстовых задач немыслимо без навыков работы с системами уравнений. Причем зачастую проблема состоит не в том, чтобы записать систему, адекватную текстовому условию задачи, а в том, чтобы эту систему решить!
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что их нет.
Существует множество методов решения системы уравнений: метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменных, графический метод и др. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).
Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
При моделировании экономических задач, таких как задачи управления и планирования производства, определения оптимального размещения оборудования, оптимального плана производства, оптимального плана перевозок грузов (транспортная задача), распределения кадров и др., может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.
Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задача многомерна, то ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.
Данная работа актуальна с точки зрения освоения материала и для практического применения знаний не только в математике, но и в реальных жизненных ситуациях. Например, особенно часто применять такие знания требуется в экономической сфере.
Цель работы – исследовать теоретические и практические основы эффективности использования различных методов решения систем уравнений и их применения при решении экономических задач.
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
· изучить теоретические основы систем уравнений;
· рассмотреть основные методы решения систем уравнений;
· исследовать эффективность методов на конкретных примерах при решении экономических задач.
Предметом исследования являются методы решения систем уравнения.
Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать
Конспект урока «Решение экономических задач с использованием систем линейных уравнений» (10 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Тема урока: Решение экономических задач с использованием систем линейных уравнений.
Обобщение, систематизация и контроль знания учащимися основных понятий и законов по данной теме.
Развивать умения учащихся: самостоятельно применять знания в стандартных условиях, а также в изменённых нестандартных условиях; наблюдать; сравнивать; классифицировать. Развивать воображение.
Развивать умение видеть соотношения между явлениями реального мира и его математическими моделями, грамотно строить математические модели для встречающихся жизненных ситуаций.
Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю своей деятельности.
Оборудование : мультимедийный проектор; на столах у учащихся рабочие листы с заданиями для самостоятельной и домашней работы.
Мотивационная беседа. Формулирование целей урока. Актуализация опорных знаний.
Людям, связанным по роду своей деятельности с экономическими процессами, как внутри одной страны, так и с мировой экономикой требуется твёрдое знание рыночных процессов и экономических законов. От этого будет зависеть как судьба малого частного предпринимательства, так и благосостояние целой страны. Такие знания надо постоянно совершенствовать, а начинать, конечно, надо с тех несложных задач, которые мы разбирали на предыдущих занятиях. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в плани ровании микроэкономики предприятий.
Сегодня мы увидим, насколько вы готовы к выполнению таких работ, а также насколько слаженно вы сможете работать в команде. В связи с этим на первой половине урока каждой группе, а их будет пять, предстоит решить конкретную экономическую задачу, а так же ответить на вопросы, предлагающиеся к ним. На второй половине урока каждая группа демонстрирует нам решение своей задачи со всеми необходимыми пояснениями и комментариями, все остальные записывают себе это решение, задают возникающие вопросы.
На рабочих листах, предложенных вам, есть условия задач всех групп, а также 5 видов домашнего задания.
2 группа (Прогнозисты)
3 группа (контроль за рынком спроса и предложения )
4 группа (контроль за рынком спроса и предложения )
5 группа (Экспертная группа потребителей)
Сейчас предлагаю всем группам пересесть, чтобы совместно решать задачи.
Пятой группе предлагается поработать устно совместно со мной, так что вы располагайтесь за первыми партами.
Групповая самостоятельная работа в сочетании с индивидуальной работой.
(С использованием слайд-фильма).
4 группы учащихся работают по индивидуальным заданиям, после окончания работы (через 15 минут) каждая группа приводит решение своего задания.
Оставшаяся группа учащихся во время самостоятельной групповой работы работает устно вместе с учителем (отвечают на вопросы, предлагаемые в презентации).
Перед торговым предприятием возникла проблема – в каком соотношении закупить товары А и В: можно закупить 5 единиц товара А и 8 единиц товара В – всего за 92 тыс. р., а можно, наоборот, закупить 8 единиц товара А и 5 единиц товара В. Торговое предприятие остановилось на первом варианте, так как при этом экономится сумма, достаточная для закупки 2-х единиц товар А . Какова цена товара А и товара В?
Какие, по вашему мнению, товары могут иметь такую цену? Что лучше будет продаваться?
Обозначим через x и y соответственно стоимость единиц товаров А и В. тогда условие задачи можно записать так:
Решая эту систему, получаем:
Следовательно, стоимость одной единицы товара А – 12 тыс. р., а цена товара В – 4 тыс. р.
Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд.
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Экономические задачи в курсе математики средней школы
Переход России к рыночным отношениям привел к «экономизации» общества. Термины: предпринимательство, бизнес, банковский кредит, транш, реструктуризация, рефинансирование… вошли в лексикон обычных людей, далёких от «большой» экономики. Проблемы стремительно развивающегося рынка касаются каждого из нас, они демонстрируют нам, что основу нашей жизни составляют экономические отношения, вызывают потребность в экономических знаниях, и как следствие, интерес к законам экономики и реалиям экономических отношений. «Понимание основных экономических принципов сейчас стало еще более актуальным как для отдельных лиц, так и для целых государств» (П. Самуэльсон и В. Нордхауз). Сегодня ученики пытаются понять: «Как продавцы определяют цену на свой товар? Почему они только растут? Почему государство не может их установить так чтобы книги (особенно учебники), игрушки, продукты питания и другие товары были доступны, не только тем, кто имеет «средний» доход по региону? Что хорошего или плохого в изменении цены доллара, о которой нам сообщают по несколько раз в день? Почему с телевизионных экранов твердят, что цены на основные товары не повысятся, а на самом деле они растут так, то, что было доступно вчера, сегодня уже не купишь? Почему в Москве и маленьком посёлке за одну и туже работу платят по разному. Почему изучение в школе азов экономики не обязательно? Это всё реальные вопросы реальных учеников. К сожалению, сегодня учитель школы находится в таком же «экономическом неведении», что и его ученики, и аргументированных ответов на поставленные вопросы учитель дать не может. Об усилении практической направленности школьного курса математики говорим много и постоянно, однако… Я и мои коллеги – обычные учителя обычной средней сельской школы считаем, что пора в школьной программе математического образования сконструировать в рамках стандартов экономическую составляющую школьного курса математики. Под экономической составляющей школьного курса математики мы подразумеваем совокупность простейших экономических понятий, их свойства и специально подобранный набор задач, имеющих реальное экономическое содержание, которые решаются на основании математического содержания программ соответствующих классов, начиная с 5 и до 11 что и сможет обеспечить непрерывную экономическую линию в математике общеобразовательной школы. Однако, для того, чтобы учить школьников в процессе изучения математики еще и элементам экономики необходимо, чтобы к этой работе был готов учитель математики. Сегодня он к этой работе не готов. А это значит, что необходимы, хотя бы дистанционные курсы повышения квалификации для учителей, методические разработки, наборы соответствующих задач, внесение изменений в уже существующие стандарты.
В своей повседневной работе мы находим время для внедрения обозначенной выше идеи.
Приведу примеры задач для такого внедрения.
1. Линейная функция. Линейные уравнения и неравенства
Стоимость 1 оборудования авторемонтной мастерской 4760000 рублей, годовая амортизация 260000 рублей. Выразить стоимость оборудования (У), в зависимости от времени (Х лет) работы мастерской, если амортизационные отчисления остаются постоянной величиной. 2
Издержки производства на 400 единиц продукции составляют 2000 рублей, а на 4000 единиц –16400 рублей. Найти издержки на производство 800; 1000; 3000 единиц продукции, считая, функция издержек линейная.
В фирме «Источник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле 
, где n – число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь формулой, рассчитайте стоимость колодца из 18 колец.
За 14 часов работы (2 смены) токарь должен был по норме изготовить некоторое количество деталей. Но токарь применил изобретённый им новый способ заточки резца, и его производительность увеличилась на 8 деталей в час, поэтому за 6 часов работы выполнил 1,2 дневной нормы. Найти производительность токаря после применения усовершенствованного резца.
Издержки при перевозке груза по железной дороге вычисляют по формуле 
, апри перевозке того же груза водным транспортом – по формуле 
, где х – расстояние перевозок в сотнях километров. Найти, с какого расстояния перевозки водным транспортом будут более экономичными.
Комбайнёр работал 11 дней. После трёх дней работы он применил своё новое приспособление и увеличил дневную производительность труда на 30 центнеров, намолотив за 11 дней 17840 ц пшеницы. Найти дневную производительность комбайнёра до и после применения нового приспособления.
Две бригады фрезеровщиков из 8 и 10 человек за смену изготовили 700 деталей. После повышения производительности труда они стали изготавливать 770 деталей за смену. Найти: а) на сколько процентов увеличилась производительность труда , если каждый рабочий второй бригады до усовершенствования технологии за смену изготавливал на 7 деталей больше, чем рабочий первой бригады; б) среднемесячный заработок рабочего до и после усовершенствования технологии производства, если за каждую деталь оплачивают по 22 рубля, а каждая, изготовленная деталь сверх нормы оплачивается на 50% больше. Число рабочих дней в месяце считать равным 22. 3
2. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
На стройке работали две бригады каменщиков из 8 и 10 человек, которые за месяц заработали за месяц вместе 357600 рублей. Улучшив организацию труда, они повысили производительность на 24% и 20% соответственно. А так как процент повышения зарплаты составляет половину повышения производительности труда, то за месяц вместе они заработали на 38832 рубля больше, чем вначале. Найти месячный заработок рабочих первой и второй бригад до и после улучшения организации труда.
Токарь и его ученик за смену изготовили 80 деталей. Применив новый резец своей конструкции, токарь повысил сменную производительность труда на 20%, а его ученик на 10%, поэтому за смену они изготовили 91 деталь. Найти сменную производительность труда токаря и его ученика до и после применения нового резца.
3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям 4
После двукратного повышения цен на одинаковое число процентов цена 1 м ткани увеличилась с 1620рублей до 2000. На сколько процентов каждый раз повышалась цена 1 м ткани? На сколько процентов повысилась цена 1 м ткани за всё это время? 5
У фермера А общий привес всех поросят за сезон (180 дней) составил 40,5 т, а у фермера Б, где применили аэроионизационные установки, общий привес составил 47,988 т, хотя поросят было на 20 голов меньше. Известно, суточный привес одного поросёнка на второй базе на 120 г больше, чем на первой. Найти: а) количество поросят на каждой ферме; б) среднесуточный привес одного поросёнка на каждой ферме.
Производство овощей в теплицах в хозяйствах области в 2012 году составило 4,3 млн. кг. После усовершенствования агротехнических приёмов выращивания овощей и организации труда, при тех же затратах и с той же площади теплиц урожай овощей в 2013 и 2014 гг. возрастал равномерно, и поэтому в 2014 году овощей было собрано 6,192 млн. кг. На сколько процентов в год повышалась производительность труда каждый год?
4. Прогрессии
За рытьё колодца житель села оплачивает за первый метр глубины 150 рублей, за каждый следующий на 100 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей необходимо заплатить за рытьё колодца, если водоносный слой залегает на глубине 10 метров?
Группа школьников решила перечислить детскому дому, расположенному в селе 50000 рублей, которые заработает во время летних каникул, выполняя задания администрации сельского поселения по благоустройству села. За первый день ребята заработали 9000 рублей, а в каждый следующий день зарабатывали на 500 рублей больше, чем в предыдущий. За сколько дней ребята заработают нужную сумму?
5. Производная и её применение
- Известно, что прочность балки прямоугольного сечения на горизонтальный изгиб пропорциональна произведению ширины балки на квадрат её высоты.
а) Вычислить для наиболее прочной балки отношение ширины балки к высоте её поперечного сечения , которую можно изготовить из цилиндрического бревна, если его диаметр равен d линейных единиц.
б) Допустим, что для получения проектного запаса прочности при неправильной укладке израсходовали 2100 балок. Вычислить экономию средств за счёт правильной укладки балок, если стоимость одной балки 285 рублей.
, где х – объём производства продукции в условных единицах для данного производства. Определить при каком объёме производства средние издержки имеют наименьшее значение.6. Определённый интеграл и его применение
А) у– продукция, произведённая работником в интервале времени от а до bчасов, 
– производительность труда работника в момент времени хчасов, отсчитываемый от начала рабочего дня.
Б) у– количество товара, поступающего на склад в интервале времени от а до bчасов, – среднее количество товара, поступающего на склад за единицу времени.
В) у– расход электроэнергии в течение времени от а до bчасов, – средний расход электроэнергии за единицу времени в киловатт-часах (нагрузка на электростанцию), х –число часов, отсчитываемое от начала суток.
Г) 
– объём дохода, полученного за tлет при постоянном годовом доходе, равном Nи удельной норме процента, равной i.
Сменная производительность труда бригады рабочих описывается функцией 
, где t – время в часах. Определить объём выпуска продукции в течение года (240 рабочих дней), если смена длится 7 часов. Вычислить прибыль, если заводская оптовая цена единицы продукции равна 2000 рублей, её себестоимость 1000 рублей, количество бригад – 12.
Потребление электроэнергии (в кВт) населением села с 8 до 18 ч приближённо описывается функцией 
, где t – время в часах. Вычислить стоимость электроэнергии, потребляемой населением, если стоимость 1 кВт/ч равна 2,72 рубля.
Поступление товара на склад описывается функцией 
, а реализация этих товаров торгующей организацией описывается функцией 
, где t – количество дней. Определить запас товара в условных единицах за 60 рабочих дней, если товара на складе на первый день рассматриваемого периода не было.
7. Проценты
Накопление Пусть процентная ставка по вкладу составляет p% годовых. Процентные накопления по вкладу прибавляются к исходной сумме, в этом случае, говорят о накоплении суммы вклада. Накопление суммы происходит или простым или сложным процентом. Если простым процентом, то сумма окончательной выплаты вычисляется по формуле: 
, где K – первоначальная сумма вклада, за n лет, 
. Если сложным процентом, то начисление на вклад ведётся не от суммы первоначального вклада, а с учётом предыдущих процентных накоплений. Формула суммы окончательной выплаты: 
. Выражение 
называют коэффициентом сложного процента. 
.
За сколько лет удвоится поголовье крупного рогатого скота, если ежегодный прирост скота 10%.
Известно, что население нашего села возрастает в 3 раза за 20 лет. Определить ежегодный прирост населения села в процентах (считать, что этот процент одинаков).
Фермер 5 мая 2014 года взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита: 5 мая каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермер производит очередную выплату. Фермер выплатил кредит за два транша 530 тыс. рублей и 643,8 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит фермеру
Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11%) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых). 6
Подведём итоги
Задачи, приведённые выше, можно и, наверное, нужно применять как при изучении соответствующих тем, так и при их повторении. Они вызывают у школьников интерес, побуждают к изучению математики, формируют экономические понятия на уроках математики; раскрывают экономическую суть вопросов быта, сельского хозяйства, сферы торговых отношений. Решение задач экономического содержания приближает содержание уроков математики к жизненным реалиям, формирует экономический образ мышления и финансовую грамотность обучающихся, способствуют ускорению социальной адаптации учащихся и их интеграции в общество. 7
Источники информации
- Школьные учебники математики, экономики
- Типовые экзаменационные варианты 2015 года (Изд. «Легион», «Национальное образование»).
Ответы к задачам
Линейная функция. Линейные уравнения и неравенства
1. 
2. 3600р; 4400р; 12400р.
3. 68500р.
4. 28 деталей.
5. с 200 км.
6. 1600ц, 1630ц.
7. 10%;16940р и 20328р; 19481р и 23364р.
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
1. 19200р и 20400р
2. 30дет. и 50 дет; 36дет. и 55 дет.
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям
1. на 
на 
.
2. 450 поросят, 0,5 кг; 430 поросят, 0,62 кг.
3. на 20%.
1. 6000р.
2. 5 дней.
Производная и её применение
1. 
5:7; 171000р.
2. 3.
Определённый интеграл и его применение
1. 415822,176р.
2. 278854,4р.
3. 1536 условных ед.
Простые и сложные проценты
1. 
лет.
2. 5%.
3. 12%.
4. 1239р.
1 До решения задачи объясняются выделенные слова – термины.
2 Детям сообщается, что ситуация упрощена, не учитывается инфляция.
3 Для воспитания умения «читать» условие задачи полезно в её условии иметь разные величины, заданные одним числом ( 22 рубля и 22 дня).
4 По моему мнению, обязательно нужно решать, хотя бы при фронтальной работе в классе, задачи с «неудобными» данными, максимально приближенными к реальным.
5 Для решения задачи вовсе не обязательно применять формулу сложных процентов
6 В работе приведены задачи, которые решают ученики нашей школы. При желании каждый учитель может придумать (отыскать) достаточно много таких задач. Более того, ученики с удовольствием составляют и свои задачи по данным, им доступным.
7 Благодарю учителя математики школы Степанян Л. Г. за замечания, высказанные по содержанию данной работы.
💡 Видео
Решение системы линейных неравенств с одной переменной. 6 класс.Скачать
Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать
Решение системы неравенствСкачать
Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать
Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать
✓ Все типы экономических задач | Задание 15. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать
Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
Экономические задачи в ЕГЭ 2022 .Вебинар | МатематикаСкачать
6 способов в одном видеоСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
СИСТЕМА НЕРАВЕНСТВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
8 класс, 40 урок, Решение линейных неравенствСкачать
