Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Примеры решения задач. Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Задача 2.1.

Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.9. К задаче 2.1

Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tили Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под углом α, где Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t(рис. 2.9).

Определяем скорость точки. По формулам (2.1) получаем:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (2.1) дают:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Направлены векторы Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tвдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0 1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t; при Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t(точка В); при Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t; при Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tзначения Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tрастут по модулю, оставаясь отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом α, для которого Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. На участке OB точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tточка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно 10 м/с 2 .

Задача 2.2.

Движение точки задано уравнениями:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

где Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, ω и u — постоянные величины. Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.10. К задаче 2.2

Возводя первые два уравнения почленно в квадрат и складывая, получаем

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R, ось которого направлена вдоль оси Oz (рис. 2.10). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линий точка проходит за время Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, определяемое из равенства Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. При этом вдоль оси z точка за это время перемещается на величину Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения по времени, получаем:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории. Теперь по формулам (2.1) вычисляем проекции ускорения;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением, Для определения направления ускорения имеем формулы:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t,

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t,

где α и β —углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R, проведенным от оси цилиндра к движущейся точке. Так как косинусы углов α1 и β1 отличаются от косинусов α и β только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все время направлено по радиусу цилиндра к его оси.

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, постоянной по модулю, ускорение точки не равно нулю, так как направление скорости изменяется.

Задача 2.3.

На шестерню 1 радиуса r1 действует пара сил с моментом m1 (рис. 46, а). Определить момент m2 пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса r2, чтобы сохранить равновесие.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.11. К задаче 2.3

Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни 1. На нее действует пара с моментом m1, которая может быть уравновешена только действием другой пары, в данном случае пары Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Здесь Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— перпендикулярная радиусу составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни 2, a Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— тоже перпендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно уравновешиваются и в условие равновесия не войдут). При этом, согласно условию равновесия (17), Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Теперь рассмотрим условия равновесия шестерни 2 (рис. 46, б). По закону равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни 1 будет действовать сила Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, которая с перпендикулярной радиусу составляющей реакции оси В образует пару Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tс моментом, равным -Q2r2. Эта пара и должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом m2; следовательно, по условию равновесия, Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Отсюда, так как Q2=Q1 находим m2=m1/r2r1.

Естественно, что пары с моментами m1 и m2 не удовлетворяют условию равновесия , так как они приложены к разным телам.

Полученная в процессе решения задачи величина Q1 (или Q2) называется окружным усилием, действующим на шестерню. Как видим, окружное усилие равно моменту вращающей пары, деленному на радиус шестерни: Q1=m1/r1 =m2/r2.

Задача 2.4.

Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте H, двигаясь прямолинейно со скоростью Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. С какой скоростью движется конец тени человека?

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.12. К задаче 2.4

Для решения задачи найдем сначала закон, по которому движется конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вертикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось Ох (рис. 2.12). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии x1 от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии х2.

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Это уравнение выражает закон движения конца тени М, если закон движения человека, т.е. Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, известен.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле (2.1) Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, где Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— искомая скорость, получим

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Если человек движется с постоянной скоростью ( Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, но в Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tраз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм в произвольном положении. Только тогда мы поучим уравнения, определяющие положение движущейся точки (или тела) в любой момент времени.

Задача 2.5.

Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.13), если OA=AB=2b, а угол Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tпри вращении кривошипа растет пропорционально времени: Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.13. К задаче 2.5.

Начинаем с определения уравнений движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через х и у находим

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Заменяя Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tего значением, получаем уравнения движения точки М:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b и b.

Теперь по формуле (2.1) находим скорость точки М:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени в пределах от Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tдо Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Далее по формулам (2.1) определяем проекции ускорения точки М;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t,

где Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— длина радиуса-вектора, проведанного из центра О до точки М. Следовательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстояние от центра эллипса.

Определелим направление ускорения Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Отсюда находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

Задача 2.6.

Вал, делающий n=90 об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через t1=40 с. Определить, сколько оборотов сделал вал за это время.

Решение.

Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, будет

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. (2.2)

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, которую вал имел до выключения двигателя. Следовательно,

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

В момент остановки при t=t1 угловая скорость вала ω1=0. Подставляя эти значения во второе из уравнений (2.2), получаем:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Если обозначить число сделанных валом за время t1 оборотов через N (не смешивать с n; n — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет равен Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Подставляя найденные значения ε и Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tв первое из уравнений (а), получим

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t,

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Задача 2.7.

Маховик радиусом R=0,6 м вращается равномерно, делая n=90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Решение.

Скорость точки обода Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, где угловая скорость Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tдолжна быть выражена в радианах в секунду. Тогда Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Далее, так как Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, то ε=0, и, следовательно,

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения.

Задача 2.8.

Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 2.14), если скорость центра С колеса равна Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, а угол DKM=α.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.14. К задаче 2.8.

Решение

Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем, что Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, где Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tпо модулю Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t( Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— радиус колеса). Значение угловой скорости со найдем из условия того, что точка Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tколеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. С другой стороны, так же как и для точки М, Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tгде Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Так как для точки К скорости Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tнаправлены вдоль одной прямой, то при Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, откуда Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. В результате находим, что Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Параллелограмм, построенный на векторах Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, будет при этом ромбом. Угол между Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tравен β, так как стороны, образующие этот угол и угол β, взаимно перпендикулярны. В свою очередь угол β=2α, как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол α. Тогда по свойствам ромба углы между Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи между Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tтоже равны α. Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, получим

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Задача 2.9.

Определить скорость точки М обода катящегося колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, с помощью мгновенного центра скоростей.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.15. К задаче 2.9.

Точка касания колеса Р (рис. 2.15) является мгновенным центром скоростей, поскольку Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Следовательно, Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Так как прямой угол PMD опирается на диаметр, то направление вектора скорости Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tлюбой точки обода проходит через точку D. Составляя пропорцию Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи замечая,

что Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, a Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, находим Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скорость Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tимеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колеса имеет значение

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Аналогичная картина распределения скоростей имеет место при качении колеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности.

Задача 2.10.

Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 2.16), имеет в данный момент времени скорость Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Радиус колеса R=0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.16. К задаче 2.10.

1) Так как Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tизвестны, принимаем точку О за полюс.

2) Определение ω. Точка касания Р является мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

3) Определение ε. Так как величина PO=R остается постоянной при любом положении колеса, то Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Знаки ω и ε совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

а) не следует думать, что если по условиям задачи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, то Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Значение Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tв задаче указано для данного момента времени; с течением же времени Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tизменяется, так как Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t;

б) в данном случае Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, так как движение точки O является прямолинейным. В общем случае Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

4) Определение Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Так как за полюс взята точка O, то ускорение точки B определяется по фомуле:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Учитывая, что в нашем случае BO=R, находим:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Показав на чертеже точку B отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба) векторы, из которых слагается ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, а именно: вектор Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t(переносим из точки O), вектор Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t(в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t(всегда от B к полюсу O).

5) Вычисление Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Проведя оси X и Y, находим, что

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t,

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Аналогичным путем легко найти и ускорение точки P: Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи направлено вдоль PO. Таким образом, ускорение точки P, скорость которой в данный момент времени равна нулю, нулю не равно.

Задача 2.11.

Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tего центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 2.17).

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис. 2.17. К задаче 2.11.

Так как по условиям задачи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, то Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи точка С является мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р. Следовательно, для колеса

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

В результате ускорение точки М

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) равно Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи направлено к центру С колеса, так как угол Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Заметим, что это ускорение для точки М не будет нормальным ускорением. В самом деле, скорость точки М направлена перпендикулярно РМ . Следовательно, касательная Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tк траектории точки М направлена вдоль линии MD, а главная нормаль Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— вдоль МР. Поэтому

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t.

Зажача 2.12.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна С, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами (рис.2.17 а). Точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно L1=0,4 м, L2 =1,2 м, L3=1,4 м, L4=0,6 м.

Дано: Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 6 с -1 , Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tвеличина постоянная. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.

Найти: скорости точек В и C; угловую скорость Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t; ускорение точки В; угловое ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

а) Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
б) Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис.2.17. К задаче 2.12.

Решение (рис.2.12б)

1. Определим скорость точки А. Стержень OAвращается вокруг точко O1, поэтому скорость точки А определяется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 1,6 м/с и направлена перпендикулярно отрезку O1А. Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 1,6 м/с

2. Определим угловую скорость стержня АВ. Точка В вращается вокруг центра О2, поэтому ее скорость перпендикулярна отрезку O2B. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка АВ в точках А и В восстановим перпендикуляры к векторам Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Точка пересечения этих перпендикуляров Р2 является мгновенным центром скоростей второго стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Расстояние Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tопределяется из равнобедренного треугольника Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, то есть Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tм. Поэтому Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t2,3 с -1 .

3. Определим скорость точки В по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 1,6 м/с

по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 0,8 м/с

4. Определим скорость точки С. Так как точка С движется прямолинейно, то ее скорость направлена вдоль движения ползуна. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка CD в точках C и D восстановим перпендикуляры к векторам Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Точка пересечения этих перпендикуляров Р3 является мгновенным центром скоростей третьего стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, а скорость точки С Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. Так как треугольник Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tравносторонний, то Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 0,8 м/с

5. Определим угловую скорость отрезка О2В. Известно, что центром скоростей этого стержня является точка О2В , а также скорость точки B. Поэтому угловая скорость четвертого стержня вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t2,7 с -1 .

6. Определим ускорение точки А. Так как первый стержень вращается равномерно, то точка А имеет относительно О1 только нормальное ускорение, которое вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 6,4 м/с 2 .

7. Определим ускорение точки В, которая принадлежит двум стержням — АВ и О2В. Поэтому ускорение точки В определяется с помощью двух формул

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, где

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— ускорение точки А;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— нормальное ускорение точки В относительно А;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— тангенциальное ускорение точки В относительно А;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— нормальное ускорение точки В относительно О2;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— тангенциальное ускорение точки В относительно О2.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 6,4 м/с 2 ; Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 4,3 м/с 2 .

Можно составить уравнение

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, которое в проекциях на оси координат имеет вид

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Решив полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 13,2 м/с 2 , аВХ = 4,1 м/с 2 , аВY =9,1 м/с 2 , аВ =10 м/с 2 .

8. Определим угловое ускорение стержня АВ, используя формулу Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 13,2 с -2 .

Задача 2.13.

Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t(рис.2.18 а). Положительное направление угла Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tпоказано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s= Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tАМ= Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А; L=R.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

а) Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
б) Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t
Рис.2.18. К задаче 2.13.

Решение (рис.2.13 б)

В качестве подвижной системы координат xyz примем точку С. Эта система совершает вращательное движение с угловой скоростью Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 5 с -1 . Угловое ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= -10 с -2 . Направления векторов Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tопледеляются по правилу буравчика и изображены на рис. Причем, вектор Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tнаправлен в противоположную сторону, так как его значение его проекции на ось OХ неподвижной системы координат XYZ отрицательно. Вычислим скорость и ускорение центра подвижной системы координат С, которая движется по окружности. Скорость вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, равна 600 см/с и первендикулярна плоскости рисунка. Ускорение точки С состоит из двух компонент — нормальное Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 3000 см/с 2 и тангенциальное Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 1200 см/с 2 ускорения.

Вычислим путь, относительную скорость и ускорение точки M. Ее положение определяется величиной дуги S, в данный момент времени S = Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t, поэтому она располагается слева от точки А. Относительная скорость Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t. В данный момент времени она равна 63 см/с и направлена по касательной к окружности. Относительное ускорение является суммой двух составляющих — тангенциальное Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 377 см/с -2 и нормальное Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 66 см/с -2 .

Абсолютная скорость точки M определяется по формуле

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Где — Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tпереносная скорость вращательного движения, модуль которой Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 150 см / с, ее направление определяется по правилу Жуковского. В разложении на оси координат

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tДвижение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

По теореме Пифагора Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 750 м /с.

Абсолютное ускорение точки M определяется по формуле

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Где Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3tи Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— соответственно нормальное и тангенциальное переносные ускорения вращательного движения, Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t— кориолисово ускорение.

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 750 м / с -2 ; Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t=300 м / с -2 ; Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t= 546 м / с -2

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t;

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t;

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

iSopromat.ru

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Видео:Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Решение графических задач на равномерное движение

Задача

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Видео:Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. Вычисли

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0, подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A0 (2; 1).

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Расчет скорости

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Проинтегрируем последнее выражение:

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Если t=t0=0, то C=s0; в данном случае s0=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Видео:Движение двух велосипедистов задано уравнениями x1=2t (м) и x2=100-8t (м) - №22625Скачать

Движение двух велосипедистов задано уравнениями x1=2t (м) и x2=100-8t (м) - №22625

Решение задач, контрольных и РГР

По желанию можете добавить файл или фото задания

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

НАБОР СТУДЕНТА ДЛЯ УЧЁБЫ

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку

Видео:Физика 10 класс (Урок№2 - Равномерное прямолинейное движение материальной точки.)Скачать

Физика 10 класс (Урок№2 - Равномерное прямолинейное движение материальной точки.)

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Движение точки задано уравнениями x 2t2 1 y 3t

Глава 7. Кинематика точки.

7.4. Переменное ускорение точки в прямоугольной системе координат.

7.4.1. Ускорение точки а = 0,5 ti + 0,2t 2 j. Определить модуль ускоре­ния в момент времени t = 2 с. (Ответ 1,28)

7.4.2. Дан график ускорения а = f(t) прямоли­нейно движущейся точки. Определить ско­рость точки в момент времени t = 2 с, если при tо=0 скорость vo = 0. (Ответ 2)

7.4.3. Дан график ускорения с = f(t) прямоли­нейно движущейся точки. Определить ско­рость точки в момент времени t = 20 с, если при tо = 0 скорость v0 = 0. (Ответ 100)

7.4.4. Определить ускорение точки Н в момент времени, когда угол φ = 60°, если длина ОА = АВ = 20 см, а закон изменения угла φ = 3t. (Ответ -1,8)

7.4.5. Определить ускорение точки В в момент времени t = 5 с, если длина кривошипа ОА = 15 см, а закон изменения угла φ = 4t. (Ответ -2,19)

7.4.6. Скорость точки v = 0,9 ti + t 2 j. Определить модуль ускорения точ­ки в момент времени t = 1,5 с. (Ответ 3,13)

7.4.7. Положение кривошипа ОА определяется углом φ = 2t. Определить проекцию ускоре­ния ах точки А в момент времени t = 1с, если длина ОА = 1 м. (Ответ 1,66)

7.4.8. Даны проекции скорости на координатные оси vx = 3 t, vy = 2t 2 , vz = t 3 . Определить модуль ускорения в момент времени t = 1 с. (Ответ 5,83)

7.4.9. Движение точки задано уравнениями dx/dt = 0,3t 2 и у = 0,2 t 3 Определить ускорение в момент времени t = 7 с. (Ответ 9,39)

7.4.10. Положение линейки АВ определяется уг­лом φ = 0,2 t. Определить в см/с 2 проекцию ускорения точки М на ось Оу в момент време­ни t = 3с, если расстояние AM = 50 см.
(Ответ -1,13)

7.4.11. Даны уравнения движения точки: х = 0,3 t 3 , у = 2t 2 , где х и у — в см. Определить, в какой момент времени t ускорение точки равно 7 см,/с 2 . (Ответ 3,19)

7.4.12. Положение точки на плоскости определяется ее радиусом-векто­ром r = 0,3t 2 i + 0,1t 3 j. Определить модуль ускорения точки в мо­мент времени t = 2 с. (Ответ 1,34)

7.4.13. Даны уравнения движения точки х = cos πt, у = sin πt. Опреде­лить модуль ускорения в момент времени t = 1с. (Ответ 9,87)

7.4.14. Дано ускорение точки а = 2ti + t 2 j. Определить угол в граду­сах между вектором а и осью Ох в момент времени t = 1с. (Ответ 26,6)

7.4.15. Дано уравнение траектории точки х = 0,1 у 2 . Закон движения точки в направлении оси Оу выражается уравнением у = t 2 . Опреде­лить компоненту ускорения ах в момент времени t = 2 с. (Ответ 4.8)

7.4.16. Даны уравнения движения точки: х = 0,01t 3 , у = 200 — 10t Определить ускорение в момент времени, когда точка пересекает ось Ох. (Ответ 1,2)

7.4.17. Даны уравнения движения точки: х = 8 — t 2 , у = t 2 — cos t. Определить проекцию ускорения ау в момент времени, когда коор­дината х = 0. (Ответ 1,05)

7.4.18. Ускорение прямолинейного движения точки а = t. Определить скорость точки в момент времени t = 3 с, если при t0 = 0 скорость v0 = 2 м/с. (Ответ 6,5)

7.4.19. Точка движется прямолинейно с ускорением а = 0,2 t. Опреде­лить момент времени t, когда скорость точки будет равна 2 м/с, если при t0 = 0 скорость v0 = 0. (Ответ 4,47)

7.4.20. Точка движется по прямой Ох с ускорением ах = 0,7t. Опреде­лить координату х точки в момент времени t = 5 с, если при t0 = 0 скорость v0 = 0 и координата х0 = 0. (Ответ 14,6)

🎦 Видео

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. Производная

Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скоростиСкачать

Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скорости

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Физика - перемещение, скорость и ускорение. Графики движения.Скачать

Физика - перемещение, скорость и ускорение. Графики движения.

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

Сложное движение точки #1Скачать

Сложное движение точки #1

Cложное движение точки. ТермехСкачать

Cложное движение точки. Термех

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.Скачать

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.

кинематика точкиСкачать

кинематика точки

Уравнение равномерного прямолинейного движения | Физика 10 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Уравнение равномерного прямолинейного движения | Физика 10 класс #3 | Инфоурок

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение
Поделиться или сохранить к себе: