Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Примеры решения задач. Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Задача 2.1.

Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.9. К задаче 2.1

Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tили Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под углом α, где Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t(рис. 2.9).

Определяем скорость точки. По формулам (2.1) получаем:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (2.1) дают:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Направлены векторы Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tвдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0 1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t; при Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t(точка В); при Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t; при Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tзначения Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tрастут по модулю, оставаясь отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом α, для которого Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. На участке OB точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tточка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно 10 м/с 2 .

Задача 2.2.

Движение точки задано уравнениями:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

где Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, ω и u — постоянные величины. Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.10. К задаче 2.2

Возводя первые два уравнения почленно в квадрат и складывая, получаем

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R, ось которого направлена вдоль оси Oz (рис. 2.10). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линий точка проходит за время Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, определяемое из равенства Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. При этом вдоль оси z точка за это время перемещается на величину Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения по времени, получаем:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории. Теперь по формулам (2.1) вычисляем проекции ускорения;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением, Для определения направления ускорения имеем формулы:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t,

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t,

где α и β —углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R, проведенным от оси цилиндра к движущейся точке. Так как косинусы углов α1 и β1 отличаются от косинусов α и β только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все время направлено по радиусу цилиндра к его оси.

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, постоянной по модулю, ускорение точки не равно нулю, так как направление скорости изменяется.

Задача 2.3.

На шестерню 1 радиуса r1 действует пара сил с моментом m1 (рис. 46, а). Определить момент m2 пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса r2, чтобы сохранить равновесие.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.11. К задаче 2.3

Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни 1. На нее действует пара с моментом m1, которая может быть уравновешена только действием другой пары, в данном случае пары Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Здесь Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— перпендикулярная радиусу составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни 2, a Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— тоже перпендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно уравновешиваются и в условие равновесия не войдут). При этом, согласно условию равновесия (17), Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Теперь рассмотрим условия равновесия шестерни 2 (рис. 46, б). По закону равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни 1 будет действовать сила Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, которая с перпендикулярной радиусу составляющей реакции оси В образует пару Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tс моментом, равным -Q2r2. Эта пара и должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом m2; следовательно, по условию равновесия, Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Отсюда, так как Q2=Q1 находим m2=m1/r2r1.

Естественно, что пары с моментами m1 и m2 не удовлетворяют условию равновесия , так как они приложены к разным телам.

Полученная в процессе решения задачи величина Q1 (или Q2) называется окружным усилием, действующим на шестерню. Как видим, окружное усилие равно моменту вращающей пары, деленному на радиус шестерни: Q1=m1/r1 =m2/r2.

Задача 2.4.

Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте H, двигаясь прямолинейно со скоростью Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. С какой скоростью движется конец тени человека?

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.12. К задаче 2.4

Для решения задачи найдем сначала закон, по которому движется конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вертикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось Ох (рис. 2.12). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии x1 от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии х2.

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Это уравнение выражает закон движения конца тени М, если закон движения человека, т.е. Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, известен.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле (2.1) Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, где Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— искомая скорость, получим

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Если человек движется с постоянной скоростью ( Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, но в Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tраз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм в произвольном положении. Только тогда мы поучим уравнения, определяющие положение движущейся точки (или тела) в любой момент времени.

Задача 2.5.

Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.13), если OA=AB=2b, а угол Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tпри вращении кривошипа растет пропорционально времени: Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.13. К задаче 2.5.

Начинаем с определения уравнений движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через х и у находим

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Заменяя Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tего значением, получаем уравнения движения точки М:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b и b.

Теперь по формуле (2.1) находим скорость точки М:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени в пределах от Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tдо Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Далее по формулам (2.1) определяем проекции ускорения точки М;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t,

где Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— длина радиуса-вектора, проведанного из центра О до точки М. Следовательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстояние от центра эллипса.

Определелим направление ускорения Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Отсюда находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

Задача 2.6.

Вал, делающий n=90 об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через t1=40 с. Определить, сколько оборотов сделал вал за это время.

Решение.

Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, будет

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. (2.2)

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, которую вал имел до выключения двигателя. Следовательно,

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

В момент остановки при t=t1 угловая скорость вала ω1=0. Подставляя эти значения во второе из уравнений (2.2), получаем:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Если обозначить число сделанных валом за время t1 оборотов через N (не смешивать с n; n — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет равен Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Подставляя найденные значения ε и Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tв первое из уравнений (а), получим

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t,

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Задача 2.7.

Маховик радиусом R=0,6 м вращается равномерно, делая n=90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Решение.

Скорость точки обода Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, где угловая скорость Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tдолжна быть выражена в радианах в секунду. Тогда Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Далее, так как Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, то ε=0, и, следовательно,

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения.

Задача 2.8.

Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 2.14), если скорость центра С колеса равна Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, а угол DKM=α.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.14. К задаче 2.8.

Решение

Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем, что Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, где Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tпо модулю Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t( Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— радиус колеса). Значение угловой скорости со найдем из условия того, что точка Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tколеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. С другой стороны, так же как и для точки М, Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tгде Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Так как для точки К скорости Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tнаправлены вдоль одной прямой, то при Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, откуда Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. В результате находим, что Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Параллелограмм, построенный на векторах Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, будет при этом ромбом. Угол между Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tравен β, так как стороны, образующие этот угол и угол β, взаимно перпендикулярны. В свою очередь угол β=2α, как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол α. Тогда по свойствам ромба углы между Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи между Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tтоже равны α. Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, получим

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Задача 2.9.

Определить скорость точки М обода катящегося колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, с помощью мгновенного центра скоростей.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.15. К задаче 2.9.

Точка касания колеса Р (рис. 2.15) является мгновенным центром скоростей, поскольку Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Следовательно, Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Так как прямой угол PMD опирается на диаметр, то направление вектора скорости Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tлюбой точки обода проходит через точку D. Составляя пропорцию Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи замечая,

что Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, a Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, находим Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скорость Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tимеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колеса имеет значение

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Аналогичная картина распределения скоростей имеет место при качении колеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности.

Задача 2.10.

Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 2.16), имеет в данный момент времени скорость Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Радиус колеса R=0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.16. К задаче 2.10.

1) Так как Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tизвестны, принимаем точку О за полюс.

2) Определение ω. Точка касания Р является мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

3) Определение ε. Так как величина PO=R остается постоянной при любом положении колеса, то Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Знаки ω и ε совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

а) не следует думать, что если по условиям задачи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, то Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Значение Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tв задаче указано для данного момента времени; с течением же времени Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tизменяется, так как Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t;

б) в данном случае Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, так как движение точки O является прямолинейным. В общем случае Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

4) Определение Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Так как за полюс взята точка O, то ускорение точки B определяется по фомуле:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Учитывая, что в нашем случае BO=R, находим:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Показав на чертеже точку B отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба) векторы, из которых слагается ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, а именно: вектор Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t(переносим из точки O), вектор Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t(в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t(всегда от B к полюсу O).

5) Вычисление Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Проведя оси X и Y, находим, что

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t,

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Аналогичным путем легко найти и ускорение точки P: Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи направлено вдоль PO. Таким образом, ускорение точки P, скорость которой в данный момент времени равна нулю, нулю не равно.

Задача 2.11.

Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tего центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 2.17).

Решение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис. 2.17. К задаче 2.11.

Так как по условиям задачи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, то Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи точка С является мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р. Следовательно, для колеса

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

В результате ускорение точки М

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) равно Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи направлено к центру С колеса, так как угол Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Заметим, что это ускорение для точки М не будет нормальным ускорением. В самом деле, скорость точки М направлена перпендикулярно РМ . Следовательно, касательная Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tк траектории точки М направлена вдоль линии MD, а главная нормаль Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— вдоль МР. Поэтому

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t.

Зажача 2.12.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна С, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами (рис.2.17 а). Точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно L1=0,4 м, L2 =1,2 м, L3=1,4 м, L4=0,6 м.

Дано: Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 6 с -1 , Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tвеличина постоянная. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.

Найти: скорости точек В и C; угловую скорость Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t; ускорение точки В; угловое ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

а) Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
б) Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис.2.17. К задаче 2.12.

Решение (рис.2.12б)

1. Определим скорость точки А. Стержень OAвращается вокруг точко O1, поэтому скорость точки А определяется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 1,6 м/с и направлена перпендикулярно отрезку O1А. Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 1,6 м/с

2. Определим угловую скорость стержня АВ. Точка В вращается вокруг центра О2, поэтому ее скорость перпендикулярна отрезку O2B. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка АВ в точках А и В восстановим перпендикуляры к векторам Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Точка пересечения этих перпендикуляров Р2 является мгновенным центром скоростей второго стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Расстояние Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tопределяется из равнобедренного треугольника Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, то есть Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tм. Поэтому Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t2,3 с -1 .

3. Определим скорость точки В по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 1,6 м/с

по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 0,8 м/с

4. Определим скорость точки С. Так как точка С движется прямолинейно, то ее скорость направлена вдоль движения ползуна. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка CD в точках C и D восстановим перпендикуляры к векторам Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Точка пересечения этих перпендикуляров Р3 является мгновенным центром скоростей третьего стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, а скорость точки С Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. Так как треугольник Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tравносторонний, то Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 0,8 м/с

5. Определим угловую скорость отрезка О2В. Известно, что центром скоростей этого стержня является точка О2В , а также скорость точки B. Поэтому угловая скорость четвертого стержня вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t2,7 с -1 .

6. Определим ускорение точки А. Так как первый стержень вращается равномерно, то точка А имеет относительно О1 только нормальное ускорение, которое вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 6,4 м/с 2 .

7. Определим ускорение точки В, которая принадлежит двум стержням — АВ и О2В. Поэтому ускорение точки В определяется с помощью двух формул

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, где

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— ускорение точки А;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— нормальное ускорение точки В относительно А;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— тангенциальное ускорение точки В относительно А;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— нормальное ускорение точки В относительно О2;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— тангенциальное ускорение точки В относительно О2.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 6,4 м/с 2 ; Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 4,3 м/с 2 .

Можно составить уравнение

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, которое в проекциях на оси координат имеет вид

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Решив полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 13,2 м/с 2 , аВХ = 4,1 м/с 2 , аВY =9,1 м/с 2 , аВ =10 м/с 2 .

8. Определим угловое ускорение стержня АВ, используя формулу Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 13,2 с -2 .

Задача 2.13.

Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t(рис.2.18 а). Положительное направление угла Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tпоказано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s= Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tАМ= Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А; L=R.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

а) Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
б) Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t
Рис.2.18. К задаче 2.13.

Решение (рис.2.13 б)

В качестве подвижной системы координат xyz примем точку С. Эта система совершает вращательное движение с угловой скоростью Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 5 с -1 . Угловое ускорение Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= -10 с -2 . Направления векторов Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tопледеляются по правилу буравчика и изображены на рис. Причем, вектор Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tнаправлен в противоположную сторону, так как его значение его проекции на ось OХ неподвижной системы координат XYZ отрицательно. Вычислим скорость и ускорение центра подвижной системы координат С, которая движется по окружности. Скорость вычисляется по формуле Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, равна 600 см/с и первендикулярна плоскости рисунка. Ускорение точки С состоит из двух компонент — нормальное Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 3000 см/с 2 и тангенциальное Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 1200 см/с 2 ускорения.

Вычислим путь, относительную скорость и ускорение точки M. Ее положение определяется величиной дуги S, в данный момент времени S = Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t, поэтому она располагается слева от точки А. Относительная скорость Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t. В данный момент времени она равна 63 см/с и направлена по касательной к окружности. Относительное ускорение является суммой двух составляющих — тангенциальное Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 377 см/с -2 и нормальное Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 66 см/с -2 .

Абсолютная скорость точки M определяется по формуле

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Где — Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tпереносная скорость вращательного движения, модуль которой Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 150 см / с, ее направление определяется по правилу Жуковского. В разложении на оси координат

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tДвижение точки задано уравнениями x 2t y 4t

По теореме Пифагора Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 750 м /с.

Абсолютное ускорение точки M определяется по формуле

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Где Движение точки задано уравнениями x 2t y 4tи Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— соответственно нормальное и тангенциальное переносные ускорения вращательного движения, Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t— кориолисово ускорение.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 750 м / с -2 ; Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t=300 м / с -2 ; Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t= 546 м / с -2

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t;

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t;

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

iSopromat.ru

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Задача

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Видео:Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. Вычисли

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0, подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A0 (2; 1).

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Расчет скорости

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Проинтегрируем последнее выражение:

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Если t=t0=0, то C=s0; в данном случае s0=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Решение задач «Движение точки задано уравнениями x= 2t . y = — 4t2-2.»,
Инженерная механика, механика

Инженерная механика, механика

Движение точки задано уравнениями x= 2t . y = — 4t2-2.

ID (номер) заказа

Инженерная механика, механика

Движение точки задано уравнениями x= 2t . y = — 4t2-2. Построить траекторию точки. Для момента времени t = 1 с. вычислить и построить скорость, полное ускорение и радиус кривизны траектории.

Закажите подобную или любую другую работу недорого

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Вы работаете с экспертами напрямую,
не переплачивая посредникам, поэтому
наши цены в 2-3 раза ниже Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Последние размещенные задания

Курсовая по предмету «Организация процесса приготовления и особенности в приготовлении и подаче горячих блюд из сыра для обслуживания по типу шведского стола»

Курсовая, Организация процесса приготовления и особенности в приготовлении и подаче горячих блюд из сыра для о

Срок сдачи к 23 апр.

Там нужно таблицу заполнить

Срок сдачи к 21 апр.

Срок сдачи к 24 апр.

Выполнить первый и второй пункт

Контрольная, Внешнеэкономическая деятельность

Срок сдачи к 30 апр.

Реферат, Стратегическое планирование

Срок сдачи к 26 апр.

Контрольная, Правовая информатика

Срок сдачи к 30 апр.

Решение задач, Управление затратами предприятий (организаций) РХК

Срок сдачи к 23 апр.

Решить 2 задачи по бух. учету

Решение задач, бухгалтерский учёт

Срок сдачи к 22 апр.

«Механизм государства» Одним из важных условий при написании курсовых.

Курсовая, Теория государства и права

Срок сдачи к 30 апр.

Срок сдачи к 26 апр.

решить 2 задачи по бух. учету

Решение задач, бухгалтерский учёт

Срок сдачи к 22 апр.

Курсовая, экономический рост и качество жизни населения

Срок сдачи к 21 апр.

Решение задач, Система кондиционирования воздуха

Срок сдачи к 21 апр.

Тема: социальный реабилитация детей с двигательными.

Курсовая, теория социальной работы

Срок сдачи к 21 апр.

помогите решить в кратчайший срок

Решение задач, Управление затратами предприятий (организаций) РХК

Срок сдачи к 23 апр.

Написать контрольную не менее 12 стр

Контрольная, физическая культура

Срок сдачи к 25 апр.

Написать реферат по Сберегательному делу

Реферат, Сберегательное дело

Срок сдачи к 3 мая

Написать контрольную работу

Контрольная, экологическое право

Срок сдачи к 25 апр.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

обратились к нам
за последний год

работают с нашим сервисом

заданий и консультаций

заданий и консультаций

выполнено и сдано
за прошедший год

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Сайт бесплатно разошлёт задание экспертам.
А эксперты предложат цены. Это удобнее, чем
искать кого-то в Интернете Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Отклик экспертов с первых минут

С нами работают более 15 000 проверенных экспертов с высшим образованием. Вы можете выбрать исполнителя уже через 15 минут после публикации заказа. Срок исполнения — от 1 часа

Цены ниже в 2-3 раза

Вы работаете с экспертами напрямую, поэтому цены
ниже, чем в агентствах

Доработки и консультации
– бесплатны

Доработки и консультации в рамках задания бесплатны
и выполняются в максимально короткие сроки

Гарантия возврата денег

Если эксперт не справится — мы вернем 100% стоимости

На связи 7 дней в неделю

Вы всегда можете к нам обратиться — и в выходные,
и в праздники

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Эксперт получил деньги за заказ, а работу не выполнил?
Только не у нас!

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы
над заданием и гарантийного срока

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем
возврат полной уплаченой суммы

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

С вами будут работать лучшие эксперты.
Они знают и понимают, как важно доводить
работу до конца Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

С нами с 2018 года

index_pa ge.blocks.executors.help 9 477 Сдано работ: 9 477
Рейтинг: 101 239
Среднее 4,86 из 5

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

С нами с 2017 года

index_pa ge.blocks.executors.help 12 584 Сдано работ: 12 584
Рейтинг: 101 163
Среднее 4,94 из 5

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

С нами с 2019 года

Помог студентам: 2 941 Сдано работ: 2 941
Рейтинг: 34 740
Среднее 4,84 из 5

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

С нами с 2018 года

Помог студентам: 2 476 Сдано работ: 2 476
Рейтинг: 17 471
Среднее 4,87 из 5

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

1. Сколько стоит помощь?

Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников). Поэтому цены в 2-3 раза ниже.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

3. Выполняете ли вы срочные заказы?

Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?

Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

Да, конечно — оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

6. Каким способом можно произвести оплату?

Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?

На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.

Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t Движение точки задано уравнениями x 2t y 4t

8. Какой у вас режим работы?

Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.

🎬 Видео

Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Решение графических задач на равномерное движение

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Сложное движение точки. Решение задачи. Авторы: Ермишин Степан, Ходунов Алексей, Хужаев ДмитрийСкачать

Сложное движение точки. Решение задачи. Авторы: Ермишин Степан, Ходунов Алексей, Хужаев Дмитрий

Движение двух велосипедистов задано уравнениями x1=2t (м) и x2=100-8t (м) - №22625Скачать

Движение двух велосипедистов задано уравнениями x1=2t (м) и x2=100-8t (м) - №22625

Физика 10 класс (Урок№2 - Равномерное прямолинейное движение материальной точки.)Скачать

Физика 10 класс (Урок№2 - Равномерное прямолинейное движение материальной точки.)

Смысл интеграла и производной. В помощь студентуСкачать

Смысл интеграла и производной. В помощь студенту

Вся физика для ОГЭ за 5 часов! | Физика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Вся физика для ОГЭ за 5 часов! | Физика ОГЭ 2023 | Умскул

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение

кинематика точкиСкачать

кинематика точки

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

7.5. Уравнение движения и скорость точки при естественном способе задания движенияСкачать

7.5. Уравнение движения и скорость точки при естественном способе задания движения

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.Скачать

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.

13.1. Определение сил по заданному движениюСкачать

13.1. Определение сил по заданному движению

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. Производная

Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения
Поделиться или сохранить к себе: