Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Схема решения задач по кинематике

Записав условие задачи, сделать рисунок, на котором указать систему координат, изобразить траекторию движения точки. Отметить на рисунке кинематические характеристики движения: перемещение, скорость, ускорение. Если указывается, что на отдельных участках движение имеет различный характер, то необходимо рассматривать движение на каждом из них отдельно.

Установить связь между величинами, отмеченными на рисунке. Поскольку для решения системы уравнений и расчетов используется скалярная форма уравнений, то необходимо спроецировать входящие в уравнения векторы на оси выбранной системы координат. Полученную систему уравнений дополнить уравнениями, составленными на основе вспомогательных условий задачи и, проверив равенство количества уравнений и количества неизвестных, входящих в нее, решить систему кинематических уравнений относительно искомых величин.

Практическое занятие 1.

Теория

Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-векторомг:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

где i, j, k — единичные векторы направлений (орты); х, у, z — координаты точки.

Кинематические уравнения движения в координатной форме:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

гдеДвижение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1— перемещение материальной точки за интервал времениДвижение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1.

Средняя путевая * скорость

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

где Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1— путь, пройденный точкой за интервал времени Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1.

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

где Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1— проекции скорости v на оси координат.

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1• Ускорение

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

где проекции ускорения a на оси

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1и тангенциальной Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1составляющих (рис.1.1):

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Видео:Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение

Модули этих ускорений:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

где R — радиус кривизны в данной точке траектории.

• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

где Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1 начальная координата; t — время. При равномерном движении

• Кинематическое уравнение равнопеременного движения( Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1)вдоль оси x

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

где v0 —начальная скорость; t— время.

Скорость точки при равнопеременном движении

Примеры решения задач

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct 3 , где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с 2 . Для момента времени t1=2 с определить:

1) координату x1 точки, 2) мгновенную скорость v1, 3) мгновенное ускорение a1.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t1:

Подставим в это выражение значения A, В, С, t1 и произведем вычисления:

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени: Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1.

Тогда в заданный момент времени t1 мгновенная скорость

v1=B+3Ct1 2 Подставим сюда значения В, С, t1 и произведем вычисления:

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Знак минус указывает на то, что в момент времени t1=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t1 равно a1=6Ct1. Подставим значения С, t1и произведем вычисления:

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид, x=A+Bt+Ct 2 , где A=5 м, B=4 м/с, С=-1 м/с 2 . Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость за интервал времени от t1=1 с до t2=6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость за тот же интервал времени.

Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты — начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту t=0. Ее значение равно

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты повремени:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1, откуда t=—B/2C=2 с Максимальная координата

Момент времени t, когда координата х=0, найдем из выражения x=A+Bt+Ct 2 =0.

Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:

Таким образом, получаем два значения времени: t’-=5 с и Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1=-1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию задачи (t>0).

График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка со­держит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ра­нее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t1=l с и t2=6 с:

Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Полученные данные представим в виде таблицы:

Время, с Координата, мt1=0 x0=A=5t1=1 x0=8tB=2 xmax=9 Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1=5 x=0t2=6 x2=-7

Используя данные таблицы, чертим график зависимости координаты от времени (рис. 1.2).

График пути построим, исходя из следующих соображений:

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают; 2) начиная с момента возврата (tB) точки она движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.

Следовательно, график пути до момента времени tB =2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента яв­ляется зеркальным отображением графика координаты.

2. Средняя скорость за интервал времени t2—t1 определяется выражением

Подставим значения x1, x2, t1, t2. из таблицы и произведем вычисления

3. Среднюю путевую скорость находим из выражения

где s — путь, пройденный точкой за интервал времени t2.—t1. Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: S1=xmaxx1, который точка прошла за интервал времени tB—t1, и S2=xmax+|x2|, который она прошла за интервал

Подставим в это выражение значения xmax , |x2|, x1 и произведем вычисления :

Тогда искомая средняя путевая скорость

Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.

Задачи

1.1. Две прямые дороги пересекаются под углом Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1=60°. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью v1=60 км/ч, другая со скоростью v2=80 км/ч.

Определить скорости v’ и v», с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

Видео:Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.

1.2. Точка двигалась в течение t1=15c со скоростью v1=5 м/с, в течение t2=10 с со скоростью v2=8 м/с и в течение t3=6 с со скоростью v3=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость точки.

1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v1=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью v2=80 км/ч. Какова средняя путевая скорость автомобиля?

1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v1=2 м/с, вторую — со скоростью v2=8 м/с. Определить среднюю путевую скорость .

1.5. Тело прошло первую половину пути за время t1=2 с, вторую — за время t2=8 с. Определить среднюю путевую скорость тела, если длина пути s=20 м.

1.6. -Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость за время t=14 Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость за время t=8 с. Начальная скорость v0=0.

1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At+Bt 2 , где A=3 м/с, B=—0,25 м/с 2 . Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения.

1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось.

1.10. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =4 м/с, В=—0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

1.11. Написать кинематическое уравнение движения x=f(t) точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой позиции рисунка — а, б, в, г — изображена координатная ось Ох, указаны начальные положение x0 и скорость v0 материальной точки А, а также ее ускорение а.

1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии l==100 м от стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вращается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т=20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой четверти оборота; 2) скорость v, с которой светлое пятно движется по стене, в момент времени t=2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС.

1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а=0,1 м/с 2 , человек начал идти в том же направлении со скоростью v=1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v1 поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком.

1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью v1==l м/с и ускорением a1=2 м/с 2 , вторая — с начальной скоростью v2=10 м/с и ускорением а2=1 м/с 2 . Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую?

Видео:Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.Скачать

Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1

1.15. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:

В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v1 и v2 и ускорения a1 и а2 точек в этот момент:

1.16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям;

В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.

1.17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t=0,1 с?

1.18. Камень падает с высоты h=1200 м. Какой путь s пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

1.19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v0==20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с 2 .

1.20. Вертикально вверх с начальной скоростью v0=20 м/с брошен камень. Через Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1=1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

1.21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом Движение точки по кривой задано уравнением r ia1t 3 j a2t где a1 1t=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

1.22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v0=5 м/с. Через t=2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

1.23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v0=10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h=12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость с момента бросания до момента падения на землю.

1.24. Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =2 м/с, В=—0,5 м/с 2 . Определить среднюю путевую скорость движения точки в интервале времени от t1=l с до t2=3 с.

1.25. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt 3 , где A=6 м/с, В == —0,125 м/с 3 . Определить среднюю путевую скорость точки в интервале времени от t1=2 с до t2=6 с.


источники:

📺 Видео

Равнопеременное прямолинейное движение (кинематика движения точки) | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Равнопеременное прямолинейное движение (кинематика движения точки) | Физика ЕГЭ, ЦТ

Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи на движение | Математика TutorOnline

Задача на движение материальной точки - bezbotvyСкачать

Задача на движение материальной точки - bezbotvy

Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Решение графических задач на равномерное движение

Сложное движение точки. Задача 1Скачать

Сложное движение точки. Задача 1

Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Вращательное движение твёрдого тела. Задачи 1, 2, 3Скачать

Вращательное движение твёрдого тела. Задачи 1, 2, 3

Примеры решения задач по теме: "Равномерно прямолинейное движение"Скачать

Примеры решения задач по теме: "Равномерно прямолинейное движение"

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

Урок 16. Решение задач на графики РПД (продолжение)Скачать

Урок 16. Решение задач на графики РПД (продолжение)

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.

кинематика точкиСкачать

кинематика точки

Задачи на движение двух объектовСкачать

Задачи на движение двух объектов
Поделиться или сохранить к себе: