Пусть в пространстве Oxyz задана непрерывная спрямляемая кривая АВ, в точках которой определена произвольная функция f(x, y, z). Проделаем 5 операций:
1. Разобьем кривую АВ на n частей точками М1, М2, ….Мn-1, следующими друг за другом в направлении от А к В (для определенности). Точку А обозначим через М0, точку В через Мn. Длины дуг Мk-1 Мk (k = 1, 2,…, n) обозначим, соответственно, через . Наибольшую из величин
(k = 1, …, n) обозначим через и назовем рангом (шагом) дробления кривой АВ.
2. На каждой дуге Мk-1 Мk (k = 1, 2, …, n) выберем произвольным образом по точке Nk(xk; yk; zk) и вычислим в них значения функции
f(x, y, z), т.е. найдем числа f(xk, yk, zk).
3. Вычислим произведения f(xk, yk, zk) (k = 1, 2, …, n).
4. Найдем сумму которую называют интегральной суммой для функции f(x, y, z) на кривой АВ, отвечающей данному разбиению (дроблению) АВ на части и выбору точек Nk (xk; yk; zk).
5. Измельчая дробление, ищем предел
|
Если существует конечный предел ( 1), не зависящий ни от способа дробления кривой АВ на части, ни от выбора точек Nk(xk; yk; zk) (k = 1, 2, …, n), то этот предел называют криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f(x, y, z) по дуге АВ и обозначают символом:
Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать
При этом функцию f(x, y, z) называют подынтегральной функцией, кривую АВ – линией (кривой, контуром) интегрирования, точку А – начальной, а точку В – конечной точками интегрирования (тем самым устанавливается направление интегрирования).
Таким образом, по определению
|
Перечислим простейшие свойства криволинейного интеграла первого рода (в основном аналогичные свойствам определенного интеграла):
1. Значение криволинейного интеграла первого рода не зависит от направления на кривой:
2. Постоянный множитель в подынтегральной функции можно выносить за знак криволинейного интеграла:
3. Криволинейный интеграл первого рода от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать
4. Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то криволинейный интеграл по всей кривой АВ равен сумме интегралов по ее частям:
5. Если в каждой точке кривой АВ функции f(x, y, z) и j(x, y, z) удовлетворяют неравенству f(x, y, z) 2 + z 2 = ay (a > 0).
Введем полярные координаты: y = rcosj, z = rsinj
.
Уравнение окружности принимает вид: r 2 = arcosj или r = acosj.
Тогда r’ = -asinj и
Т. к. окружность расположена в той части плоскости yOz, где y > 0, то угол j меняется от -p/2 до p/2. По формуле ( 7) имеем:
Пример 3.
Вычислить , где L – дуга кривой, заданной параметрически:
x = tcost, y = tsint, z = t (0 2 , 0 3 = 3a 2 y, 2xz = a 2 , заключенной между плоскостями y = 9a,
y = a/3.
Длину дуги L можно записать в виде : .
Приняв за параметр координату х, уравнения данной линии можно представить в параметрическом виде: x = t, y = t 3 /3a 2 , z = a 2 /2t. Значения параметра, соответствующие концам рассматриваемой дуги, вычисляются по формуле: Таким образом,
t1 = a, t2 = 3a.
📹 Видео
Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать
Сложное движение точки #1Скачать
Сложное движение точки. Задача 1Скачать
Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать
Задача на движение материальной точки - bezbotvyСкачать
Кинематика точки Задание К1Скачать
Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать
Равнопеременное прямолинейное движение (кинематика движения точки) | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать
Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать
кинематика точкиСкачать
Уравнение движенияСкачать
Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать
1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.Скачать
Решение графических задач на равномерное движениеСкачать
Сложное движение точкиСкачать
Урок 15. Решение задач на графики движенияСкачать
Лекция 5.3 | Уравнение траектории | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать