Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Примеры решения задач. Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Задача 2.1.

Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.9. К задаче 2.1

Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоили Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под углом α, где Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено(рис. 2.9).

Определяем скорость точки. По формулам (2.1) получаем:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (2.1) дают:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Направлены векторы Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленовдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0 1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено; при Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено(точка В); при Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено; при Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленозначения Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленорастут по модулю, оставаясь отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом α, для которого Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. На участке OB точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоточка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно 10 м/с 2 .

Задача 2.2.

Движение точки задано уравнениями:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

где Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, ω и u — постоянные величины. Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.10. К задаче 2.2

Возводя первые два уравнения почленно в квадрат и складывая, получаем

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R, ось которого направлена вдоль оси Oz (рис. 2.10). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линий точка проходит за время Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, определяемое из равенства Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. При этом вдоль оси z точка за это время перемещается на величину Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения по времени, получаем:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории. Теперь по формулам (2.1) вычисляем проекции ускорения;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением, Для определения направления ускорения имеем формулы:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено,

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено,

где α и β —углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R, проведенным от оси цилиндра к движущейся точке. Так как косинусы углов α1 и β1 отличаются от косинусов α и β только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все время направлено по радиусу цилиндра к его оси.

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, постоянной по модулю, ускорение точки не равно нулю, так как направление скорости изменяется.

Задача 2.3.

На шестерню 1 радиуса r1 действует пара сил с моментом m1 (рис. 46, а). Определить момент m2 пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса r2, чтобы сохранить равновесие.

Решение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.11. К задаче 2.3

Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни 1. На нее действует пара с моментом m1, которая может быть уравновешена только действием другой пары, в данном случае пары Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Здесь Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— перпендикулярная радиусу составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни 2, a Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— тоже перпендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно уравновешиваются и в условие равновесия не войдут). При этом, согласно условию равновесия (17), Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Теперь рассмотрим условия равновесия шестерни 2 (рис. 46, б). По закону равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни 1 будет действовать сила Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, которая с перпендикулярной радиусу составляющей реакции оси В образует пару Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленос моментом, равным -Q2r2. Эта пара и должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом m2; следовательно, по условию равновесия, Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Отсюда, так как Q2=Q1 находим m2=m1/r2r1.

Естественно, что пары с моментами m1 и m2 не удовлетворяют условию равновесия , так как они приложены к разным телам.

Полученная в процессе решения задачи величина Q1 (или Q2) называется окружным усилием, действующим на шестерню. Как видим, окружное усилие равно моменту вращающей пары, деленному на радиус шестерни: Q1=m1/r1 =m2/r2.

Задача 2.4.

Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте H, двигаясь прямолинейно со скоростью Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. С какой скоростью движется конец тени человека?

Решение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.12. К задаче 2.4

Для решения задачи найдем сначала закон, по которому движется конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вертикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось Ох (рис. 2.12). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии x1 от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии х2.

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Это уравнение выражает закон движения конца тени М, если закон движения человека, т.е. Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, известен.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле (2.1) Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, где Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— искомая скорость, получим

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Если человек движется с постоянной скоростью ( Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, но в Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленораз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм в произвольном положении. Только тогда мы поучим уравнения, определяющие положение движущейся точки (или тела) в любой момент времени.

Задача 2.5.

Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.13), если OA=AB=2b, а угол Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленопри вращении кривошипа растет пропорционально времени: Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.13. К задаче 2.5.

Начинаем с определения уравнений движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через х и у находим

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Заменяя Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоего значением, получаем уравнения движения точки М:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b и b.

Теперь по формуле (2.1) находим скорость точки М:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени в пределах от Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленодо Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Далее по формулам (2.1) определяем проекции ускорения точки М;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено,

где Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— длина радиуса-вектора, проведанного из центра О до точки М. Следовательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстояние от центра эллипса.

Определелим направление ускорения Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Отсюда находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

Задача 2.6.

Вал, делающий n=90 об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через t1=40 с. Определить, сколько оборотов сделал вал за это время.

Решение.

Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, будет

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. (2.2)

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, которую вал имел до выключения двигателя. Следовательно,

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

В момент остановки при t=t1 угловая скорость вала ω1=0. Подставляя эти значения во второе из уравнений (2.2), получаем:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Если обозначить число сделанных валом за время t1 оборотов через N (не смешивать с n; n — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет равен Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Подставляя найденные значения ε и Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленов первое из уравнений (а), получим

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено,

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Задача 2.7.

Маховик радиусом R=0,6 м вращается равномерно, делая n=90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Решение.

Скорость точки обода Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, где угловая скорость Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленодолжна быть выражена в радианах в секунду. Тогда Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Далее, так как Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, то ε=0, и, следовательно,

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения.

Задача 2.8.

Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 2.14), если скорость центра С колеса равна Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, а угол DKM=α.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.14. К задаче 2.8.

Решение

Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем, что Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, где Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленопо модулю Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено( Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— радиус колеса). Значение угловой скорости со найдем из условия того, что точка Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоколеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. С другой стороны, так же как и для точки М, Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленогде Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Так как для точки К скорости Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленонаправлены вдоль одной прямой, то при Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, откуда Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. В результате находим, что Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Параллелограмм, построенный на векторах Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, будет при этом ромбом. Угол между Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоравен β, так как стороны, образующие этот угол и угол β, взаимно перпендикулярны. В свою очередь угол β=2α, как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол α. Тогда по свойствам ромба углы между Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои между Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленотоже равны α. Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, получим

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Задача 2.9.

Определить скорость точки М обода катящегося колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, с помощью мгновенного центра скоростей.

Решение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.15. К задаче 2.9.

Точка касания колеса Р (рис. 2.15) является мгновенным центром скоростей, поскольку Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Следовательно, Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Так как прямой угол PMD опирается на диаметр, то направление вектора скорости Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленолюбой точки обода проходит через точку D. Составляя пропорцию Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои замечая,

что Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, a Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, находим Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скорость Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоимеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колеса имеет значение

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Аналогичная картина распределения скоростей имеет место при качении колеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности.

Задача 2.10.

Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 2.16), имеет в данный момент времени скорость Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои ускорение Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Радиус колеса R=0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Решение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.16. К задаче 2.10.

1) Так как Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоизвестны, принимаем точку О за полюс.

2) Определение ω. Точка касания Р является мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

3) Определение ε. Так как величина PO=R остается постоянной при любом положении колеса, то Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Знаки ω и ε совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

а) не следует думать, что если по условиям задачи Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, то Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Значение Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленов задаче указано для данного момента времени; с течением же времени Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоизменяется, так как Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено;

б) в данном случае Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, так как движение точки O является прямолинейным. В общем случае Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

4) Определение Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Так как за полюс взята точка O, то ускорение точки B определяется по фомуле:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Учитывая, что в нашем случае BO=R, находим:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Показав на чертеже точку B отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба) векторы, из которых слагается ускорение Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, а именно: вектор Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено(переносим из точки O), вектор Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено(в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено(всегда от B к полюсу O).

5) Вычисление Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Проведя оси X и Y, находим, что

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено,

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Аналогичным путем легко найти и ускорение точки P: Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои направлено вдоль PO. Таким образом, ускорение точки P, скорость которой в данный момент времени равна нулю, нулю не равно.

Задача 2.11.

Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоего центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 2.17).

Решение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис. 2.17. К задаче 2.11.

Так как по условиям задачи Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, то Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои точка С является мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р. Следовательно, для колеса

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

В результате ускорение точки М

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) равно Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои направлено к центру С колеса, так как угол Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Заметим, что это ускорение для точки М не будет нормальным ускорением. В самом деле, скорость точки М направлена перпендикулярно РМ . Следовательно, касательная Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленок траектории точки М направлена вдоль линии MD, а главная нормаль Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— вдоль МР. Поэтому

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено.

Зажача 2.12.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна С, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами (рис.2.17 а). Точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно L1=0,4 м, L2 =1,2 м, L3=1,4 м, L4=0,6 м.

Дано: Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 6 с -1 , Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленовеличина постоянная. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.

Найти: скорости точек В и C; угловую скорость Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено; ускорение точки В; угловое ускорение Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

а) Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
б) Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис.2.17. К задаче 2.12.

Решение (рис.2.12б)

1. Определим скорость точки А. Стержень OAвращается вокруг точко O1, поэтому скорость точки А определяется по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 1,6 м/с и направлена перпендикулярно отрезку O1А. Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 1,6 м/с

2. Определим угловую скорость стержня АВ. Точка В вращается вокруг центра О2, поэтому ее скорость перпендикулярна отрезку O2B. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка АВ в точках А и В восстановим перпендикуляры к векторам Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Точка пересечения этих перпендикуляров Р2 является мгновенным центром скоростей второго стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Расстояние Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоопределяется из равнобедренного треугольника Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, то есть Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленом. Поэтому Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено2,3 с -1 .

3. Определим скорость точки В по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 1,6 м/с

по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 0,8 м/с

4. Определим скорость точки С. Так как точка С движется прямолинейно, то ее скорость направлена вдоль движения ползуна. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка CD в точках C и D восстановим перпендикуляры к векторам Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Точка пересечения этих перпендикуляров Р3 является мгновенным центром скоростей третьего стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, а скорость точки С Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. Так как треугольник Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоравносторонний, то Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 0,8 м/с

5. Определим угловую скорость отрезка О2В. Известно, что центром скоростей этого стержня является точка О2В , а также скорость точки B. Поэтому угловая скорость четвертого стержня вычисляется по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено2,7 с -1 .

6. Определим ускорение точки А. Так как первый стержень вращается равномерно, то точка А имеет относительно О1 только нормальное ускорение, которое вычисляется по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 6,4 м/с 2 .

7. Определим ускорение точки В, которая принадлежит двум стержням — АВ и О2В. Поэтому ускорение точки В определяется с помощью двух формул

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, где

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— ускорение точки А;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— нормальное ускорение точки В относительно А;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— тангенциальное ускорение точки В относительно А;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— нормальное ускорение точки В относительно О2;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— тангенциальное ускорение точки В относительно О2.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 6,4 м/с 2 ; Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 4,3 м/с 2 .

Можно составить уравнение

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, которое в проекциях на оси координат имеет вид

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Решив полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 13,2 м/с 2 , аВХ = 4,1 м/с 2 , аВY =9,1 м/с 2 , аВ =10 м/с 2 .

8. Определим угловое ускорение стержня АВ, используя формулу Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 13,2 с -2 .

Задача 2.13.

Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено(рис.2.18 а). Положительное направление угла Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленопоказано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s= Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоАМ= Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А; L=R.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

а) Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
б) Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено
Рис.2.18. К задаче 2.13.

Решение (рис.2.13 б)

В качестве подвижной системы координат xyz примем точку С. Эта система совершает вращательное движение с угловой скоростью Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 5 с -1 . Угловое ускорение Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= -10 с -2 . Направления векторов Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоопледеляются по правилу буравчика и изображены на рис. Причем, вектор Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленонаправлен в противоположную сторону, так как его значение его проекции на ось OХ неподвижной системы координат XYZ отрицательно. Вычислим скорость и ускорение центра подвижной системы координат С, которая движется по окружности. Скорость вычисляется по формуле Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, равна 600 см/с и первендикулярна плоскости рисунка. Ускорение точки С состоит из двух компонент — нормальное Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 3000 см/с 2 и тангенциальное Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 1200 см/с 2 ускорения.

Вычислим путь, относительную скорость и ускорение точки M. Ее положение определяется величиной дуги S, в данный момент времени S = Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено, поэтому она располагается слева от точки А. Относительная скорость Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено. В данный момент времени она равна 63 см/с и направлена по касательной к окружности. Относительное ускорение является суммой двух составляющих — тангенциальное Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 377 см/с -2 и нормальное Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 66 см/с -2 .

Абсолютная скорость точки M определяется по формуле

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Где — Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленопереносная скорость вращательного движения, модуль которой Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 150 см / с, ее направление определяется по правилу Жуковского. В разложении на оси координат

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленоДвижение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

По теореме Пифагора Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 750 м /с.

Абсолютное ускорение точки M определяется по формуле

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Где Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направленои Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— соответственно нормальное и тангенциальное переносные ускорения вращательного движения, Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено— кориолисово ускорение.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 750 м / с -2 ; Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено=300 м / с -2 ; Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено= 546 м / с -2

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено;

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено;

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

Яблонский задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.
По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t=t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории. Необходимые для решения данные приведены в таблице 20.
Дополнение к заданию К.1. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 20) добавляется третье уравнение (табл. 22).
Общий порядок выполнения задания в этом случае такой же, как и в приведенном примере.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Заданы уравнения движения точки x=3t, y=t2. Определите скорость точки в момент времени t = 2c.

Движение точки м задано уравнением r 4i sin t j 3tk ускорение точки направлено

X=3t, Y=t в квадрате, берем производные, получим
Vx=3, Vy=2t
Скорость равна V= квадратный корень из (Vx в квадрате+Vy в квадрате) = квадратный корень из (9+16)= 5.

Как это сложно. Здесь без академика не обойтись

x= 3*2c.
y= 2*2c.
x= 6
y= 4
как сложно 1 класс

🎥 Видео

Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Вращательное движение. 10 класс.

Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи на движение | Математика TutorOnline

Сложное движение точки. Задача 1Скачать

Сложное движение точки. Задача 1

Физика 10 класс (Урок№4 - Равномерное движение точки по окружности.)Скачать

Физика 10 класс (Урок№4 - Равномерное движение точки по окружности.)

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение

Поступательное и вращательное движенияСкачать

Поступательное и вращательное движения

Естественный способ задания движенияСкачать

Естественный способ задания движения

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Решение графических задач на равномерное движение

Равнопеременное прямолинейное движение (кинематика движения точки) | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Равнопеременное прямолинейное движение (кинематика движения точки) | Физика ЕГЭ, ЦТ

Уравнение равномерного прямолинейного движения | Физика 10 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Уравнение равномерного прямолинейного движения | Физика 10 класс #3 | Инфоурок

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.Скачать

Задачи на движение. Учимся решать задачи на движение. Способы решения задач на движение.

Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.

Кинематика. 4.3. Сложное движение точки на примере диска. Определение абсолютной скорости точки.Скачать

Кинематика. 4.3. Сложное движение точки на примере диска. Определение абсолютной скорости точки.
Поделиться или сохранить к себе: