Два уравнения у которых решение первого является решением второго это

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Определение 1 . Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид

где a , b , c – заданные числа.

Определение 2 . Решением уравнения (1) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (1) является верным равенством.

Пример 1 . Найти решение уравнения

Решение . Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :

(3)

Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где x – любое число.

Замечание . Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y) является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x можно взять любым, а число y после этого вычислить по формуле (3).

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение 3 . Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

Определение 4 . В системе уравнений (4) числа a₁ , b₁ , a₂ , b₂ называют коэффициентами при неизвестных , а числа c₁ , c₂ – свободными членами .

Определение 5 . Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

Определение 6 . Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными) , если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных , который мы проиллюстрируем на примерах.

Пример 2 . Решить систему уравнений

(5)

Решение . Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х .

С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид

(6)

Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

Пример 3 . Найти все значения параметра p , при которых система уравнений

(7)

а) имеет единственное решение;

б) имеет бесконечно много решений;

в) не имеет решений.

Решение . Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим

Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

Если , то уравнение (9) имеет единственное решение

Следовательно, система (8) равносильна системе

Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение

Если p = – 2 , то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где y – любое число.

Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Видео:Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Определение 7 . Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x , y и z называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

Определение 9 . Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

Пример 4 . Решить систему уравнений

(11)

Решение . Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных .

Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
• из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное x , совершив над системой (12) следующие преобразования:

• первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
• из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

Из системы (13) последовательно находим

Пример 5 . Решить систему уравнений

(14)

Решение . Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

Если числа (x ; y ; z) являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа (x ; y ; z) должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел (3 ; 0 ; –1) в исходную систему (14), убеждаемся, что числа (3 ; 0 ; –1) действительно являются ее решением.

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Системы уравнений Тема3 С истемы ур-й в которых одно ур-е 1ой степени а другие 2ой и более высокой.Скачать

Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Немного теории.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ left< begin 3x+y=7 \ -5x+2y=3 end right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ left< begin y = 7—3x \ -5x+2(7-3x)=3 end right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 Rightarrow -5x+14-6x=3 Rightarrow -11x=-11 Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 cdot 1 Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Видео:СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ left< begin 2x+3y=-5 \ x-3y=38 end right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ left< begin 3x=33 \ x-3y=38 end right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение ( x-3y=38 ) получим уравнение с переменной y: ( 11-3y=38 ). Решим это уравнение:
( -3y=27 Rightarrow y=-9 )

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: ( x=11; y=-9 ) или ( (11; -9) )

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Видео:Системы уравнений с двумя переменными. Алгебра 9 классСкачать

Уравнение с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.

Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $frac$ x-8y = 7

Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.

Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Свойства уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 iff y = -0,4x+1,2$

Примеры

Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 iff 3x = -4y+10 iff x = -1 frac y+3 frac$

🔍 Видео

ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Математика 2 класс (Урок№26 - Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа.)Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать

Как решают уравнения в России и США!?Скачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными.Скачать

Как проверить, является ли данная пара чисел решением линейного уравнения с двумя переменнымиСкачать

Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать