Дробные выражения 6 класс объяснение уравнения

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:дробное уравнение как решать для 6 классаСкачать

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:МАТЕМАТИКА 6 класс: Дробные выраженияСкачать

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:6 класс, 19 урок, Дробные выраженияСкачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. Видеоурок | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Видео:Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравненияСкачать

Урок 20 Бесплатно Дробные выражения

В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.

Видео:ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 6 класс математикаСкачать

Дробные выражения

Для начала определимся с определением дробного выражения.

Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.

Пример:

Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: «Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?», то можно смело ответить: «Да, является!»

Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.

Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.

Примеры:

Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.

Примеры:

Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.

Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.

Например, существует следующее дробное выражение:

В данном случае (mathbf) будет являться числителем, а (mathbf<2+frac>)- знаменателем.

Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.

Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.

Примеры преобразования обычного выражения в дробное:

Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.

Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.

Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:Дробные выражения | Математика 6 класс #19 | ИнфоурокСкачать

Вычисление дробных выражений

Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.

Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.

Далее надо смотреть, что получилось:

• может получиться правильная дробь, тогда это будет готовым ответом
• может получиться дробь неправильная, тогда необходимо выделить целую часть
• в числителе и знаменателе дробного выражения могут получиться дробные числа; в таком случае нужно поделить числитель на знаменатель, это и будет ответом

Пример 1

Вычислим значение выражения (mathbf<frac>)

Решение:

Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:

В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.

Пример 2

Решение:

Сначала вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:

Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.

Пример:

Решение:

Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.

Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:

Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:Дробные уравнения, 6 классСкачать

Приемы для работы с дробными выражениями

Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.

Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.

Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.

Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.

Как же это относится к дробным выражениям?

Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.

Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!

Пример:

Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.

Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.

Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127

Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.

Это и будет значением этого выражения.

Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.

Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.

Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.

Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)

Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.

Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.

Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.

В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.

Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.

Мы всегда можем идти по алгоритму с последовательным вычислением числителя и знаменателя — это гарантированно дает результат.

Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.

Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.

Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.

В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.

И парочка примеров на этот случай:

И в завершение еще дам такой пример:

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:Дробные выражения. 6 класс. Урок 1.Скачать

Интересная информация

Десять интересных математических фактов:

1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад

2. 2 и 5— единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5

3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно

4. В римской системе счисления не существует нуля

5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке

6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды

7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила

8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды

9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях

10. Ученый Муавр с помощью математики смог рассчитать дату своей смерти

Видео:Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:6 класс. Уравнения с дробными выражениями.Скачать

Объяснение дробных выражений для 6 класса

Видео:Дробные выражения - как решать (примеры), как упрощатьСкачать

Дробные выражения — что это такое

Целыми выражениями называют такие выражения, которые включают в состав числа и переменные, а также действия сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю.

Целыми выражениями, например, являются:

( x 2 – y ) ( x 2 + y )

Дробными выражениями называют такие выражения, которые, кроме действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю, включают в себя деление на выражение, содержащее переменные.

Дробными выражениями, например, являются:

3 x – 3 y 2 y + x

x 2 + y 6 + 2 x 2 − y 2

Целые и дробные выражения объединены общим понятием рациональных выражений.

Дробь представляет собой выражение, записанное в виде:

Целые и дробные выражения имеют отличия в некоторых свойствах. Например, целое выражение обладает смыслом при каких-либо значениях переменных, которые включены в его состав. В связи с этим, отсутствуют ограничения по действиям для определения значения целого выражения.

Дробные выражения не во всех случаях имеют смысл. Так, выражение 2 x не имеет смысла при x=0. Выражение 3 x — 3 y y – x не имеет смысла, когда x=y.

Таким образом, дробные выражения имеют смысл только тогда, когда переменные, входящие в их состав, не обращают знаменатель в ноль.

Допустимые значения — такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

В рамках объяснения темы дробных выражений следует рассмотреть краткое понятие рациональной дроби.

Рациональной дробью называют такую дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами.

Примеры рациональных дробей:

3 x – 3 y 2 y + x

x 2 + y 6 + 2 x 2 – y 2

Допустимые значения в случае рациональной дроби представляют собой такие значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.

Алгоритм поиска допустимых значений переменных в дроби:

• приравнять знаменатель с переменными к нулю;
• решить уравнение, которое получилось;
• найденные корни — это значения переменных, обращающих знаменатель в ноль;
• исключить данные значения переменных из множества действительных чисел.

Видео:Математика 6 класс (Урок№1 - Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»)Скачать

Действия с дробями, как упростить со степенями

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя дроби на одинаковое число значение дроби останется неизменным.

Ключевое свойство дроби можно рассмотреть на конкретном примере:

3 5 = 4 · 3 4 · 5 = 12 20 .

Привести дроби к общему знаменателю можно, последовательно выполняя следующие действия:

• числитель одной дроби умножить на знаменатель другой дроби;
• числитель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби;
• выполнить замену знаменателей в обеих дробях на их произведение.

Алгоритм сложения дробей:

• приведение дробей к общему знаменателю;
• сложение полученных числителей;
• знаменатель при этом не меняется.

В качестве примера суммируем пару дробей:

3 5 + 1 2 = 6 10 + 5 10 = 11 10 = 1 1 10 .

Алгоритм вычитания дробей:

• приведение дробей к общему знаменателю;
• вычитание из числителя одной дроби числителя другой дроби;
• знаменатель при этом не меняется.

На практике вычитание дробей выполняют таким образом:

3 5 – 1 2 = 6 10 – 5 10 = 1 10 .

Умножение дробей заключается в умножении числителей и умножении знаменателей этих дробей.

Данное действие можно рассмотреть на примере задания:

5 3 · 1 2 = 5 · 1 3 · 2 = 5 6 .

При делении одной дроби на другую необходимо найти произведение числителя первой дроби и знаменателя второй дроби, а также произведение знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

Разберем конкретный пример деления дробей:

5 3 ÷ 1 2 = 5 · 2 3 · 1 = 10 3 = 3 1 3 .

Правила сокращения дробей со степенью:

1. Если одинаковые числа, которые имеют разные степени, умножают, то данные степени необходимо сложить.
2. Если одинаковые числа, имеющие разные степени, делят, то данные степени необходимо вычитать.
3. Возвести степень в степень можно с помощью умножения показателей этих степеней.
4. Извлечь корень из степени можно путем деления показателя степени на показатель корня.

Разберем записанные правила на наглядном примере:

Используя первое и второе правило из списка, решим задачу:

4 8 × 2 2 ÷ 5 2 × 16 5 = 4 9 ÷ 5 2 × 4 1 0 = 1 ÷ 5 2 × 4 = 1 ÷ 100 = 0 , 01

При решении задач с дробными выражениями полезно знать следующие формулы:

• квадрат суммы и квадрат разности: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a – b ) 2 = a 2 – 2 a b + b 2
• куб суммы и куб разности: ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b ) ( a – b ) 3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 a b 2 – b 3 = a 3 – b 3 – 3 a b ( a – b )

Рассмотрим наглядный пример применения данных формул:

13 3 + 3 · 13 2 · 7 + 3 · 13 · 49 + 7 3 = ( 13 + 7 ) 3 = 20 3 = 8000

Упростить решение дробных выражений также помогут следующие формулы:

• разность квадратов: a 2 – b 2 = ( a – b ) ( a + b )
• сумма кубов и разность кубов: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 — a b + b 2 ) a 3 – b 3 = ( a – b ) ( a 2 + a b + b 2 )

В качестве примера упростим выражение:

7 6 — 2 6 7 4 + 14 2 + 16 = ( 7 2 – 2 2 ) ( 7 4 + 7 2 · 2 2 + 2 4 ) 7 4 + ( 7 · 2 ) 2 + 2 4 = 7 2 – 2 2 = 45

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Примеры с решением и ответами

Определить значение выражения:

5 · ( 3 — x 2 ) ( x — 3 ) ( x + 3 )

Условием являются такие значения переменной х, при которых выражение обладает смыслом.

5 · ( 3 — x 2 ) ( x — 3 ) ( x + 3 ) = 5 · ( 3 — x 2 ) x 2 — ( 3 ) 2 = 5 · ( 3 — x 2 ) x 2 — 3 = — 5 · ( x 2 — 3 ) x 2 — 3 = — 5

Дано выражение, значение которого требуется найти:

( x 3 + y 3 ) · ( x — y ) x 2 — x y + y 2 — x 2 + y 2 .

( x 3 + y 3 ) · ( x — y ) x 2 — x y + y 2 — x 2 + y 2 = ( x + y ) · ( x 2 — x y + y 2 ) · ( x — y ) x 2 — x y + y 2 — x 2 + y 2 = = ( x + y ) · ( x — y ) — x 2 + y 2 = x 2 — y 2 — x 2 + y 2 = 0

Определить значение выражения:

11 u + 9 v + 15 2

3 — 19 u — 6 v 5 u + 4 + 6 v = 5 и 6 v + 5 u + 4 ≠ 0 .

Если 6 v + 5 u + 4 ≠ 0 , получим, что следующие выражения равносильны:

3 — 19 u — 6 v 5 u + 4 + 6 v = 5

3 — 19 u — 6 v = 5 ( 5 u + 6 v + 4 )

44u + 36v + 30 = 13

Данное выражение является равносильным:

4 ( 11 u + 9 v + 7 , 5 ) = 4 · 3 , 25 .

11 u + 9 v + 15 2 = 3 , 25 .

В данном случае:

q ( t ) = 7 t — 9 t 7 t — 9 t

Нужно определить значение этого выражения с такими t, при которых выражение имеет смысл.

q ( — t ) = — 7 t + 9 t — 7 t + 9 t = q ( t ) ,

q 1 t = 7 t — 9 t 7 t — 9 t = q ( t )

В таком случае, при аналогичных t:

q ( 1 t ) q ( — t ) = q ( t ) q ( t ) = 1 .

Дано выражение, значение которого требуется вычислить:

( 2 a + 3 b ) 2 — 2 a 2 — 3 b 2 : ( 24 a b )

Так как a b ≠ 0 , получим:

( 2 a + 3 b ) 2 — 2 a 2 — 3 b 2 : ( 24 a b ) = 2 a 2 + 2 6 a b + 3 b 2 — 2 a 2 — 3 b 2 : ( 24 a b ) = 2 6 a b 2 6 a b = 1 .

Определить значение следующего выражения с такими х, при которых оно имеет смысл:

1 x · — π + π — x 2 π — x

С помощью формулы разности квадратов выполним преобразования:

1 x · — π + π — x 2 π — x = 1 x · — π + ( π — x ) ( π + x ) π — x

1 x · ( — π + π + x ) = 1 .

Определить значение следующего выражения с такими m, при которых данное выражение не лишено смысла:

( sin ( 1 ) m 2 — 4 ) · 1 sin ( 1 ) m — 2 — 1 sin ( 1 ) m + 2

Воспользуемся формулой разности квадратов:

( sin ( 1 ) m 2 — 4 ) · 1 sin ( 1 ) m — 2 — 1 sin ( 1 ) m + 2 = = ( sin ( 1 ) m — 2 ) ( sin ( 1 ) m + 2 ) · 1 sin ( 1 ) m — 2 — 1 sin ( 1 ) m + 2 = [ 4 pt ] = ( sin ( 1 ) m — 2 ) ( sin ( 1 ) m + 2 ) sin ( 1 ) m — 2 — ( sin ( 1 ) m — 2 ) ( sin ( 1 ) m + 2 ) sin ( 1 ) m + 2 = [ 4 pt ] = sin ( 1 ) m + 2 — ( sin ( 1 ) m — 2 ) = 4

Определить g(1) при следующем условии:

F ( 2 x — 1 ) = 4 x — 7 и F ( g ( x ) ) = x 3 .

F ( a ) = 4 · a + 1 2 — 7 = 2 a — 5

F ( g ( x ) ) = 2 g ( x ) — 5 = x 3

g ( x ) = 1 2 x 3 + 5

g ( 1 ) = 1 2 1 + 5 = 3 .

Дано выражение, значение которого требуется определить:

6 x 2 + 5 x — 1 + x + 4 x + 1 ÷ 3 x — 2 + 3 x + 1

В первую очередь обратимся к выражениям, заключенным в скобках. Попробуем привести их к общему знаменателю и выполнить деление полученных дробей:

( 6 x 2 + 5 x — 1 ) ( x + 1 ) + x + 4 x + 1 ÷ ( 3 x — 2 ) ( x + 1 ) + 3 x + 1 =

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 x + 1 ÷ 3 x 2 + x + 1 x + 1 =

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 x + 1 · x + 1 3 x 2 + x + 1 =

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1 ¯ 6 x 3 + 2 x 2 + 2 x ¯ 2 x + 3 9 x 2 + 3 x + 3 9 x 2 + 3 x + 3 ¯ 0

Заметим, что получился нулевой остаток. Таким образом, допустимо записать числитель дроби, как:

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 = ( 2 x + 3 ) ( 3 x 2 + x + 1 )

6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1 = ( 2 x + 3 ) ( 3 x 2 + x + 1 ) 3 x 2 + x + 1 = 2 x + 3

Найдем значение выражения, если x=2017:

2 · 2017 + 3 = 4037

Найти значение следующего выражения:

y 2 — 4 x y — x 2 ( 3 x + y ) ( x + y ) + 10 · x y — 3 x 2 y 2 — 9 x 2 — 2

При расчетах следует учитывать, что:

Преобразуем выражение при условии, что ( 3 x + y ) ( x + y ) ≠ 0 и y 2 — 9 x 2 ≠ 0 :

y 2 — 4 x y — x 2 ( 3 x + y ) ( x + y ) + 10 · x ( y — 3 x ) ( y — 3 x ) ( y + 3 x ) — 2 =

y 2 — 4 x y — x 2 ( 3 x + y ) ( x + y ) + 10 · x y + 3 x — 2 =

y 2 — 4 x y — x 2 + 10 x ( x + y ) ( y + 3 x ) ( x + y ) — 2 =

y 2 — 4 x y — x 2 + 10 x 2 + 10 x y ( y + 3 x ) ( x + y ) — 2 =

y 2 + 6 x y + 9 x 2 ( y + 3 x ) ( x + y ) — 2 =

( y + 3 x ) 2 ( y + 3 x ) ( x + y ) — 2 =

( 3 x + y ) ( x + y ) ≠ 0 и y 2 — 9 x 2 ≠ 0

Можно записать выражение в таком виде:

7 x + 3 x x + 7 x — 2 = 10 x 8 x — 2 = 5 4 — 2 = — 0 , 75

🌟 Видео

Дробные выражения (6 кл.)Скачать

Урок 15. ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ: что это, как сокращать и вычислять | Математика, 6 классСкачать

Алгебраические выражения. 6 класс.Скачать

Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать