Тема : Решение дробных рациональных уравнений с параметром .
Напоминаю, что решить уравнение с параметрами означает:
— исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;
— найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения .
При решении дробных рациональных уравнений необходимо отметить ключевые моменты:
1) знаменатель не может быть равен нулю ;
2) затем решить как линейное уравнение;
3) из полученных значений исключить те, при которых знаменатель равен нулю.
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем 
.
(к-1)х=к-2 –вид уравнения, удобный для исследования.
а) Пусть к 
1, тогда х= 
.
б) Выясним, при каких значениях параметра к
х=-1, и исключим их. Для этого решим уравнение:
тогда к= 1,5.
в) Если к= 1, то 0х= — 1 решений нет.
Ответ :1) при к 1, к 1,5, уравнение имеет единственный корень х = ,
При каких значениях параметра а уравнение 
имеет единственное решение?
Решение. 1) ОДЗ: х ≠ — 1, х ≠ 3.
2) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (х + 1)(х – 3), получим:
(х + а)(х – 3) + (а – 3х)(х + 1) = — 2(х + 1)(х – 3)
х2 – 3х + ах – 3а + ах + а – 3х2 – 3х = — 2х2 + 6х – 2х + 6
— 2х2 – 6х + 2ах – 2а = — 2х2 +4х + 6
-2х2 – 6х + 2ах + 2х2 – 4х = 6 + 2а
2ах – 10х = 6 + 2а
Разделим обе части уравнения на 2, получим:
Уравнение имеет единственный корень х = 
при условии: а – 5 ≠ 0, т. е. а ≠ 5.
Но пройдёт ли этот корень по ОДЗ? ОДЗ х ≠ — 1, х ≠ 3.
1) если х = — 1 , то 
Значит, при а = 1 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.
2) если х = 3 , то 
Значит, при а = 9 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень при а ≠ 1, а ≠ 5, а ≠ 9.
Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем 
.
Умножив обе части на 
получаем уравнение: 
( a — b ) 
x =(а — b )(а + b ).
При 
уравнение принимает вид 
, то есть 
может принимать любые действительные числа кроме 
При 
корень уравнения 
Найдем теперь те значения параметров, при которых 
Ответ : при 
уравнение имеет единственный корень 
При a = b x — любое число, кроме 
При 
уравнение не имеет корней
1. 
+ 
= 
;
2. При каких значениях параметра а уравнение 
имеет единственное решение?
В отчете нужно присылать только ответы на каждое задание. Номер задания следует обязательно указывать.
Литература:
«Уравнения и неравенства с параметром» . С.-Петербург. 2004.
Жду с нетерпением ваших ответов и желаю вам успешной работы над заданием ! 
Видео:#4 ЕГЭ. ПАРАМЕТРЫ С НУЛЯ. Дробно-рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к линейнымСкачать
Дробные рациональные уравнения с параметром
Примеры
Об уравнениях с параметром также см. §32 данного справочника.
Особенностью дробных рациональных уравнений с параметром являются дополнительные условия на переменные и параметры, чтобы знаменатель не превращался в 0.
Пример 1. При каких a уравнение
Проверяем условия $x neq -1, x neq 2$.
$$ frac neq -1 Rightarrow 14-a neq 2-3a Rightarrow 2a neq -12 Rightarrow a neq -6 $$
$$ frac neq 2 Rightarrow 14-a neq 6a-4 Rightarrow 7a neq 18 Rightarrow a neq frac $$
Пример 2. Решите уравнение: $ frac+ frac = 1$
Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-x-a(a^2-1) = 0$
Дискриминант: $D = 1+4 cdot a cdot a(a^2-1) = 4a^4-4a^2+1 = (2a^2-1)^2$
Дискриминант $D ge 0$ при любом значении a.
Накладываем условие $ax neq 1$.
2) При D = 0 значение параметра $2a^2-1 = 0 Rightarrow a^2 = frac Rightarrow a = pm frac<sqrt>$
Один корень: $x_0 = frac = pm frac sqrt = pm frac<sqrt> = a$
3) Исследуем особые точки $a = pm 1$.
При a = 1 уравнение имеет вид 0+1-x = 1 $Rightarrow$ x = 0 — один корень.
При a = -1 уравнение имеет вид 0-(-1-x) = 1 $Rightarrow$ x = 0 — один корень.
При a = 0 решений нет
При $a = pm 1$ один корень x = 0
При $a = pm frac<sqrt>$ один корень x=a
При остальных a два корня $x_1 = frac, x_2 = a$
Пример 3. Решите уравнение: $ frac = (a+1)^2$
Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-(a+1)^2 x+(a+1)^2 = 0$
Дискриминант $D ge 0$ при любом значении a.
Накладываем условие $x neq 1$:
$a+1 neq 1 Rightarrow a neq 0$
2) При D = 0 параметр равен $a^2-1 = 0 Rightarrow a = pm 1$
При a = 1 уравнение имеет вид: $frac = 4 Rightarrow x^2-4x+4 = 0 Rightarrow (x-2)^2 = 0 Rightarrow $
x = 2 — один корень.
При a = -1 уравнение имеет вид: $-frac = 0 Rightarrow x = 0$ — один корень.
3) Особые точки a = 0 и a = -1(уже рассмотрели)
При a = 0 уравнение имеет вид: $0 cdot frac = 1 Rightarrow x in varnothing$, решений нет.
При a = 0 решений нет
При a = -1 один корень x = 0
При a = 1 один корень x = 2
При остальных a два корня $x_1 = frac, x_2 = a+1$
Пример 4. Решите уравнение: $ frac — frac + frac = 8 $
1) Замена переменной:
Решаем квадратное уравнение:
2) Накладываем условия $z neq 0, z neq pm a$ на полученные решения.
$$ z = frac<a(1 pm sqrt)> neq 0 Rightarrow a neq 0 $$
$$ z = frac<a(1 pm sqrt)> neq pm a Rightarrow a(1 pm sqrt) neq pm 2a Rightarrow a neq 0 $$
3) Особая точка a = 0.
При a = 0 исходное уравнение является ложным: 0 = 8, решений нет.
4) Возвращаемся к исходной переменной: x = z-2a
При a = 0 корней нет
При $a neq 0$ три корня $x_1 = -frac a; x_ = frac<a(pmsqrt-3)>$
Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Дробно-рациональные уравнения с параметром. 9-й класс
Разделы: Математика
Класс: 9
Тип урока – урок усвоения новых знаний.
Цели урока:
- использовать ранее полученные знания при решении дробно-рациональных уравнений и целых уравнений с параметрами, приводимых к линейным;
- развивать умение анализировать;
- использовать полученные навыки для решения дробно-рациональных уравнений с параметрами;
- воспитывать культуру математической речи.
Эпиграф урока: «Учиться нелегко, но интересно!», Ян Амос Коменский (1592-1670)
1. Организация начала урока
– Что такое параметр?
– Какое уравнение называется линейным?
– Сколько корней может иметь линейное уравнение? Об условиях поговорим попозже.
– Какие уравнения называются дробно-рациональными?
– Какие уравнения называются равносильными?
2. Проверка выполнения домашнего задания
Сканируется работа одного из учеников и даётся к ней комментарий.
3. Организация деятельности по усвоению новых знаний
– Сколько корней имеет линейное уравнение ax = b, если:
2. Решите уравнения:
3. Каким цветом изображены графики лробно-рациональных функций? Как вы это определили?
4. Совместное решение основной задачи урока
№ 1:
– Ваши предложения, с чего начинаем работу? (Приводим к общему знаменателю и переходим равносильной системе уравнений)
– Получили линейное уравнение. Приступаем к его анализу. Какие ситуации рассмотрим?
– Проверим, нет ли таких значений а, при которых х = … (мои объяснения, запись ответа)
Физминутка
Расправим плечи… Спина прямая. Немного разомнёмся.
Плечи: круговые движения назад, вперёд
Глаза: вверх, вниз, вправо, влево, зажмурились. Немного поморгали.
Сделали глубокий вздох и медленный выдох.
4. Актуализация опорных знаний
Совместное решение и обсуждение примеров.
– Работаем поэтапно, пробуем решать самостоятельно, советуясь с соседом по парте. Как только выполнили задание этапа – поднимаем руку.
1 этап: Перейдите от заданного уравнения к равносильной системе. Что это значит? Приводим к общему знаменателю и записываем равносильную систему… Давайте проверим, правильно ли вы это сделали?
2 этап: Исследуем получившееся линейное уравнение. Что это значит? Ищем решение уравнения при каких значениях параметра? … (Контрольные, опасные значения параметра)
3 этап: Проверим, есть ли значения параметра, при которых х=1 …
4 этап: Запишем ответ …
 |  |
– Скажите, а какая отличительная особенность решения дробно-рационального уравнения с параметром от линейного? (Выявление дополнительных «контрольных» значений параметра, при которых уравнение не имеет решения. Это обусловлено областью допустимых значений уравнения)
Домашнее задание: п.17; № 359 (а, б, в), 361*
5. Контроль и самоконтроль знаний
Время работы – 5 минут. Взаимоконтроль для диагностики успешности усвоения нового материала обучающимися.
6. Рефлексия. Подведение итогов урока
– Поднимите руку, кто правильно сделал все 3 номера? …2 номера? Кто не справился с работой?
🔍 Видео
#5 ЕГЭ. ПАРАМЕТРЫ С НУЛЯ. Дробно-рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к линейнымСкачать
Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
#141 Урок 66. Дробно-рациональные уравнения с параметрами. Алгебра 8 класс. Математика.Скачать
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
#83 Урок 8. Рациональные уравнения с параметрами. Алгебра 8 класс.Скачать
Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать
Параметры: дробно-рациональное уравнение с параметром(прямые) (урок 1)Скачать
рациональные уравнения с параметрамиСкачать
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТЬ I #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
5-часовой стрим по ПАРАМЕТРАМ. Вся алгебра для №17 с нуля и до уровня ЕГЭ 2023Скачать
Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать
Рациональные уравнения с параметромСкачать
#83 Урок 8. Простейшие дробно-рациональные уравнения с параметрами. Параметр. Алгебра 8 класс.Скачать
Сможешь решить уравнение с параметром? Из ЕГЭ 2019Скачать
Решаем неравенство с параметром. ЕГЭ №18 | Математика TutorOnlineСкачать
Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№33 - Уравнения с параметром. Контрольный урок.)Скачать
Параметры с нуля до уровня ЕГЭ. Линейные уравнения. Математик МГУСкачать
