Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Алгебра

План урока:

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Видео:8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

8 класс, 38 урок, Иррациональные уравнения

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Видео:Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравнения

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Видео:Иррациональное уравнениеСкачать

Иррациональное уравнение

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Видео:ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА неравенства с корнемСкачать

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА неравенства с корнем

Иррациональные уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Задача:

В треугольнике ABC (рис. 75):

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

AD = 2 см, DC = 5 см,
АВ + ВС = 9 см.
Найти BD.

Решение:

Пусть длина отрезка BD равна х см. Тогда

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Получилось уравнение, в котором неизвестное входит в подкоренное выражение. Такое уравнение называется иррациональным. Решение этого уравнения приведено на странице 310.

Определение:

Уравнение, в котором неизвестное входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным.

Во многих случаях иррациональное уравнение, как это ниже показано на примерах, может быть преобразовано в рациональное, являющееся его следствием. Но прежде чем показать это на примерах, мы изложим предварительные сведения, необходимые для понимания процесса решения иррациональных уравнений.

1. Всякий корень четной степени из положительного числа, входящий в иррациональное уравнение, мы будем считать, как и раньше, арифметическим. Поясним это. Если А > 0 и в иррациональное уравнение входит Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, то всегда будем считать, что

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Принимая во внимание сказанное выше, мы должны считать, что, например, уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

не имеет корней. Действительно,

при Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями
при Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями
при Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— мнимое число.

Таким образом, Дробно иррациональные уравнения примеры с решенияминикогда не может равняться числу — 1, а это и значит, что уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

корней не имеет.

Было бы ошибкой считать число 4 корнем уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, так как Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. Аналогично можно убедиться, что ни одно из следующих уравнений Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямитакже не имеет корней.

Теорема:

Если обе части уравнения А=В возвысить в квадрат, то полученное уравнение Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямибудет иметь своими корнями все корни данного уравнения А = В и корни уравнения А = — В, (Уравнение А = —В будем называть сопряженным уравнению А = В.) Но прежде чем доказывать эту теорему, поясним ее содержание на примере. Рассмотрим уравнение х + 1 = 5 и уравнение, ему сопряженное, т. е. х + 1 = —5. У первого уравнения имеется единственный корень 4, а у второго —6. Возведя левую и правую части уравнения х + 1 = 5 в квадрат, получим, что Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решив это уравнение, убедимся, что его корнями будут числа 4 и — 6, т. е. только корни данного уравнения х + 1 = 5 и сопряженного ему уравнения х + 1 = —5 .

Как раз в этом и заключается смысл сформулированной выше теоремы.

Доказательство:

Уравнение Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиравносильно уравнению Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, или уравнению Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. Но. это последнее уравнение удовлетворяется как при А = В, так и при А = — В и никогда больше. Теорема доказана.

Следствие:

Из доказанной теоремы вытекает, что при переходе от уравнения А = В к уравнению Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямипотери корней не произойдет, но могут появиться посторонние корни, а именно корни уравнения
А = —В.

Если окажется, что уравнение А = — В не имеет корней, то не появляется и посторонних корней.

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Видео:Иррациональное уравнение на 2 минутыСкачать

Иррациональное уравнение на 2 минуты

Иррациональные уравнения, содержащие только один радикал

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Уединив корень, получим:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Возведем обе части этого уравнения в квадрат. В результате получим рациональное уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решив последнее уравнение, получим, что

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Теперь необходимо проверить, являются ли числа 6 и 1 корня-ми данного уравнения. Проверка показывает, что число 6 является корнем уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, а число 1 его корнем не является. Мы возводили в квадрат левую и правую части уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. Значит, число 1 есть корень сопряженного уравнения, т. е. уравнения

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Итак, иррациональное уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

имеет лишь один корень, равный числу 6.

Возьмем еще одно уравнение, содержащее только один радикал, а именно:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Здесь корень уже уединен. Поэтому, возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Проверка показывает, что число 105 является корнем данного уравнения. Здесь мы не получили постороннего корня, потому что сопряженное уравнение, т. е. уравнение Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, корней не имеет.

Примеры:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Проверка показывает, что оба числа 5 и —55 являются корнями уравнения

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Значит, сопряженное уравнение, т. е. уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

корней не имеет.

Видео:Иррациональные уравнения #1Скачать

Иррациональные уравнения #1

Уравнения, содержащие два квадратных радикала

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Уединим один из корней:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Возведем в квадрат левую и правую части последнего уравнения:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Уединим один оставшийся корень:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Проверкой устанавливаем, что данное уравнение Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиимеет только один корень, равный числу 20.

Пример:

В качестве второго примера решим уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

составленное по условиям задачи, поставленной в начале настоящей главы.

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Легко убедиться, что оба числа Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиявляются корнями уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. Но мы знаем, что не всякий корень уравнения, составленного по условиям задачи, обязательно должен являться и решением самой задачи. В данном случае решением задачи будет только положительный корень Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. Значит, искомая высота BD треугольника ABC будет равна Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямисм.

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Уединим один из корней: Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Возведем в квадрат левую и правую части этого уравнения:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Последнее уравнение корней не имеет, ибо его левая часть есть отрицательное число, а правая часть ни при каком значении х не может быть числом отрицательным. Значит, и первоначальное уравнение корней не имеет.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)

Искусственные приемы решения иррациональных уравнений

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Примем Дробно иррациональные уравнения примеры с решенияминовое неизвестное и положим, что Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиТогда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии данное уравнение примет вид: ^-3(/ + 2 = 0.

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Отсюда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Приняв Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, получим, что Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Приняв затем Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. получим, что Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. Оба числа 8 и 1 являются корнями данного уравнения.

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Положим, что Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиТогда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиОтносительно нового неизвестного у данное уравнение примет вид:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Освободившись от корня, получим:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Отсюда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Значение Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиследует отбросить, так как буквой у мы
обозначили Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямикоторый отрицательных значений принимать не может.

Взяв у = 2 и подставив это значение неизвестного у в уравнение Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиполучим Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиили Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиОткуда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Числа 0 и 2 являются корнями первоначального уравнения. Других действительных корней данное уравнение не имеет.

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Подстановкой убеждаемся, что 1 не есть корень данного уравнения. Поэтому, разделив обе части уравнения на Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиполучим уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

После сокращения последнее уравнение принимает вид:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Обозначив Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямичерез у, получим:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Составим производную пропорцию, воспользовавшись тем, что сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения к их разности. Получим, что

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Видео:ЕГЭ по математике // Задание 5, 7 // Иррациональное уравнениеСкачать

ЕГЭ по математике // Задание 5, 7 // Иррациональное уравнение

Способ решения иррационального уравнения с помощью системы рациональных уравнений

Решение всякого иррационального уравнения можно свести к решению соответствующей системы рациональных уравнений. Общий метод, позволяющий это сделать, покажем на примерах.

1. Решить уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пользуясь тем, что

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

и тем, что Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиполучим уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Отсюда 1) аb = 6 и 2) аb = 44.

Теперь остается решить две системы:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Первая система дает а = 2, b = 3 и а = 3, b = 2.
Вторая система действительных решений не имеет.

Пользуясь, например, уравнением Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии полученными значениями неизвестного а, найдем действительные корни данного иррационального уравнения:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

2. Решить уравнение:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

или равносильную ей систему:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Отсюда а = 6.

Из уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решенияминаходим, что х = 29.

3. Решить уравнение:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Из последних двух равенств будем иметь:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

илн равносильную ей систему:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пользуясь уравнением Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии найденными значениями неизвестного а, найдем корни первоначального уравнения:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Видео:Иррациональное уравнение 1 задание ЕГЭ профильная математикаСкачать

Иррациональное уравнение 1 задание ЕГЭ профильная математика

Дополнение к иррациональным уравнениям и примеры с решением

Уравнения, в которых переменная находится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального уравнения к рациональному путем возведения обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. Если показатель степени четный, то необходимо либо предварительно выписывать ограничения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, выражение, равное арифметическому корню, также должно быть неотрицательным, т. к. в четную степень без приобретения посторонних корней можно возводить только неотрицательные выражения, либо делать проверку полученных решений.

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. Практическая часть. 1ч. 11 класс.Скачать

Иррациональные уравнения и их системы. Практическая часть. 1ч. 11 класс.

Уравнения, содержащие знак модуля

1.Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель радикала — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным; при этом значение радикала также является неотрицательным;

2) если показатель радикала — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.

Рассмотрим уравнение вида

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Если Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито уравнение (1) не имеет корней, так как левая часть уравнения (1) не может принимать отрицательные значения ни при каких значениях Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями.

Если же Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат получим равносильное уравнение. Таким образом, уравнение (1) равносильно системе

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Замечание:

При решении уравнения (1) нет необходимости предварительно находить ОДЗ левой части (1), решая неравенство Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямикоторое может оказаться довольно сложным. Достаточно найти корни уравнения (2) и, не прибегая к непосредственной подстановке этих корней в уравнение (1), выяснить, какие из найденных корней удовлетворяют неравенству (3). Эти корни, и только они, являются корнями уравнения (1).

2.Из определения модуля (абсолютной величины) числа следует, что

1)Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

2) Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

3) если Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— произвольные точки числовой оси, то расстояние между ними равно Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Уравнение (4) равносильно системе

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Уравнение (5), равносильное каждому из уравнений Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиимеет корни Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямииз которых лишь корень Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиудовлетворяет условию (6).

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Возведя обе части уравнения (7) в квадрат, получим уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

равносильное (7), так как обе части уравнения (7) неотрицательны. Уравнение (8) равносильно уравнению

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Возведя в квадрат обе части уравнения (9), получим уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

которое имеет корни Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Заметим, что уравнение (11) является следствием уравнения (7), так как Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиЧисло Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— корень уравнения (7), а число Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— посторонний корень для уравнения (7): при Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямилевая часть уравнения (7) больше четырех.

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

В рассмотренном примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения (метод уединения радикала), а затем возвести обе части полученного уравнения в квадрат.

Воспользуемся этим приемом при решении следующего примера.

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Применив метод уединения радикала, получим уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

равносильное уравнению (12).

Заметим, что нет необходимости находить ОДЗ уравнения (13), но следует обратить внимание на подкоренные выражения. Если ввести новое неизвестное (выполнить замену переменной), полагая Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, то уравнение (13) примет вид

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

При Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями(в ОДЗ уравнения (14)) это уравнение равносильно каждому из уравнений

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Корни Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиуравнения (15) удовлетворяют условию Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии поэтому являются корнями уравнения (14).

Если Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиоткуда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиЕсли Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиоткуда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

В примерах 1-3 был использован метод возведения обеих частей уравнения в квадрат. В отдельных случаях применяются другие приемы, которые могут оказаться более эффективными.

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Положим Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямитогда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии уравнение (16) примет вид

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Уравнение (17) равносильно каждому из уравнений

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Используя тождество Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямизапишем уравнение (18) в виде

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Так как Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито уравнение (18) и равносильное ему уравнение (19) можно записать в виде Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиоткуда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямит. е.Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Полагая Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямипреобразуем уравнение к виду

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Уравнение (20) имеет корни Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиЕсли Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиоткуда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиЕсли Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиоткуда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Оба найденных корня являются корнями исходного уравнения, так как в процессе решения было использовано (наряду с заменой неизвестного) только преобразование вида Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямипри котором получается равносильное уравнение.

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Так как Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— это расстояния от искомой точки Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямидо точек Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямисоответственно, то из равенства (21) следует, что искомая точка Дробно иррациональные уравнения примеры с решенияминаходится на одинаковом расстоянии от точек Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями. Таким образом, точка Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— середина отрезка Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии поэтому Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Полагая Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиполучаем уравнение

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Если Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямито (23) имеет вид Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиоткуда находим Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Поскольку при замене Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямина Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиуравнение (23) не меняется, число Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямитакже является корнем уравнения (23), а корни уравнения (2) — числа Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Положим Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямитогда уравнение (24) примет вид

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решить уравнение (25) — значит найти все такие точки числовой оси Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями(рис. 8.1), для которых сумма расстояний от каждой из них до точек 1 и 3 равна 6. Заметим, что искомые точки лежат вне отрезка [1,3], так как сумма расстояний от любой точки отрезка до его концов равна 2.

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пусть Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— искомая точка, лежащая правее точки 3; Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями-расстоя-ние от точки Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямидо точки 3, Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— сумма расстояний от точки Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямидо точек 3 и 1. Тогда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиоткуда Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиа точке Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямисоответствует число Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиАналогично, корнем уравнения (25) является точка Дробно иррациональные уравнения примеры с решенияминаходящаяся на расстоянии 2 от точки 1.

Таким образом, задача сводится к решению уравнений Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиПервое из них не имеет действительных корней, а второе имеет два корня.

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Пример:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиДробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение:

Функция Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямименяет знак при Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиа функция Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— при Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямипричем Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямипри Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямии Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиПоэтому

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

а уравнение (26), записанное без знака модуля на промежутках Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиравносильно совокупности следующих систем:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Первой из этих систем удовлетворяют все значения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямииз промежутка Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямивторой системе — значение Дробно иррациональные уравнения примеры с решениямиостальные две системы не имеют решений.

Ответ. Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение иррациональных уравнений

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Иррациональные уравнения. 10 классСкачать

Иррациональные уравнения. 10 класс

Решение иррациональных уравнений. Задание В6 (2014)

Иррациональные уравнения, которые встречаются в задании В6 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике имеют такой вид:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Внимание! Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как корни уравнения будут найдены, нужно сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение и проверить, получим ли мы верное равенство.

Давайте рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений из Задания В7.

1. Задание В6 (№ 26656)

Найдите корень уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— верно.

2. Задание В6(№ 26656)

Найдите корень уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Перенесем дробь в левую часть уравнения и приведем к общему заменателю:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем к нулю числитель:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— верно

3. Задание В6 (№ 26668)

Найдите корень уравнения Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями.

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями, Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— верно.

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями

Дробно иррациональные уравнения примеры с решениями— верно.

Оба корня нас устраивают. В ответе требуется указать меньший корень.

📸 Видео

Как решать иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений. (часть 1).Скачать

Как решать иррациональные  уравнения. Методы решения иррациональных уравнений.  (часть 1).

Иррациональные уравнения (примеры) от bezbotvyСкачать

Иррациональные уравнения (примеры) от bezbotvy

Иррациональные уравнения.Скачать

Иррациональные уравнения.

Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать

Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shorts
Поделиться или сохранить к себе: