Достаточное условие существования решения задачи коши для дифференциального уравнения (7 видео)

Решение задачи Коши

Содержание:

Задача Коши. Одной из важнейших задач в теории дифференциальных уравнений является так называемая задача Коши. Для уравнения (2),

задача Коши, или начальная задача, ставится следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение

в котором функция у(х) принимает заданное числовое значение Уо при заданное числовом значении х0 независимой переменной х, т. е.

где и — заданные числа, так что решение (36) удовлетворяет условию:

При этом число называется начальным значением искомой функции, а число — начальным значением независимой переменной. В целом же числа и называются начальными данными решения (36), а условие (38) —начальным условием этого решения.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Задачу Коши геометрически можно сформулировать так: среди всех интегральных кривых уравнения (2)’найти tj (рис. 6), которая проходит через заданную точку

Будем говорить, что задача Коши с начальными условиями (38) имеет единственное решение, если существует та кое число , что в интервале — определено решение такое, что и не существует решения, определенного в этом же интервале и не совпадающего с решением хотя бы в одной точке интервала

отличной от точки В противном случае, т. е. когда задача Коши с начальным условием (38) имеет не одно решение или же совсем не имеет решений, мы будем говорить, что в точке нарушается единственность решения задачи Коши.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Вопрос о единственности решения задачи Коши представляет исключительный интерес как для самой теории дифференциальных уравнений, так и для ее многочисленных приложений, ибо, зная, что решение задачи Коши единственно, мы, найдя решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, уверены, что других решений, удовлетворяющих тем же начальным условиям, нет.

В вопросах естествознания эго приводит к тому, что мы получаем вполне определенный, единственный закон явления, определяемый только дифференциальным уравнением и начальным условием. Иллюстрацией сказанного может служить хотя бы пример 1, рассмотренный во введении.

Заметим, что в простейшем случае задача Коши встречается нам уже в интегральном исчислении, именно там, по существу, доказывается, что если функция f(x) непрерывна в интервале (а, Ь),то единственным решением уравнения

принимающим значение принадлежит интервалу —любое заданное число, является функция*

Эго решение определено ео всем интервале (а, Ь).

Из формулы (40) легко усмотреть характер зависимости решения рассматриваемой задачи Коши как от независимой переменной, так и от начальных данных.

Прежде всего из курса анализа известно, что решение (40) является непрерывно дифференцируемой** функцией от независимой переменной х. Геометрически это означает, что через точку проходит одна и только одна интегральная кривая. Эта интегральная кривая гладкая***. Она пересекается со всякой -прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной точке.

Из формулы (40) видно также, что решение задачи К о ш и дл я простейшего дифференциального уравнения (39) я в-ляется непрерывной и даже непрерывно дифференцируемой функцией начальных данных

Особые случаи задачи Коши. При постановке задачи Коши с начальными данными мы неявно предполагали, что числа х0 и уо конечны и что правая часть уравнения (2) определена и конечна в точке , т. е. уравнение (2) задает в точке определенное направление поля, причем последнее не параллельно оси Оу. Если правая часть уравнения (2) обращается в точке в бесконечность, то следует рассматривать перевернутое уравнение (.

и искать решение (рис. 7), удовлетворяющее начальному условию: . Единственная «особенность» решения этой задачи Коши состоит только в том, что в точке касательная к интегральной кривой параллельна оси Оу.

Совсем другое положение мы будем иметь, если в точке правая часть уравнения (2) по определена. Предположим, что f(x, у) обращается в точке в неопределенность вида Тогда обычная постановка задачи Коши теряет смысл, так как через точку не проходит ни одна интегральная кривая.

В этом случае задача Коши ставится так:

найти решение вида [или обладающее свойством (28) [или (29)], т. е. найти решение, примыкающее к точке

Здесь, так же как и в основном случае задачи Коши, возникают вопросы существования и единственности решения.

Кроме того, здесь возникают и дополнительные вопросы:

1) имеют ли решения, примыкающие к точке , определенную касательную в этой точке? Дело в том, что само уравнение (2) в этом случае не предписывает никакого определенного направления касательной в такой точке ;

2) если интегральные кривые примыкают к точке с определенными направлениями касательной, то каковы эти направления? Сколько кривых входит по данному направлению? В примерах 3 и 4, рассмотренных в п. 4, все интегральные кривые уравнения (30) примыкают к точке (0,0) (где правая часть обращается в о — неопределенность вида ), имея в ней каждая свою касательную, в то время как ни одна из интегральных кривых уравнения (34) не примыкает к точке (0,0), так что для этого уравнения задача Коши с начальными данными не имеет ни одного решения.

В некоторых случаях возникает необходимость искать решения , удовлетворяющие условиям:

Указанные выше особые случаи задачи Коши исследуются в аналитической теории дифференциальных уравнений и в качественной теории дифференциальных уравнений. Во всех случаях задачи Коши наряду с вопросами существования и единственности возникают /вопросы о свойствах решения задачи Коши как функции независимой переменной (аналитический вид, дифференциальные и геометрические свойства и особенности «поведения во всей области существования) и как функции начальных данных. Рассмотрение этих вопросов составляет одну из основных задач теории дифференциальных уравнений.

Содержание

Достаточное условие существования решения задачи Коши
Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши
Примеры с решением
Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши
Основные понятия и определения дифференциальных уравнений
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Условие Липшица
🎦 Видео

Достаточное условие существования решения задачи Коши

Предположим, что правая часть уравнения (2) определена и непрерывна в некоторой области G изменения х и у. Тогда, как уже отмечалось раньше (п. 4), уравнение (2) определяет некоторое поле направлений, причем в силу только что сделанного предположения о непрерывности правой части уравнения (2) это ноле направлений непрерывно, так что направления в двух достаточно близких точках разнятся сколь угодно мало. Заметим, что из сделанного предположения о непрерывности

правой части уравнения (2) следует, что всякое решение этого уравнения (если оно существует) будет непрерывно дифференцируемым, так что всякая интегральная кривая будет гладкой. Всякая интегральная кривая, как уже было сказано в п. 4., обладает чем свойством, что в каждой ее точке направление карательной совпадает с направлением поля, определяемым дифференциальным уравнением в этой точке. Попытаемся, пользуясь этим свойством интегральной кривой, найти решение задачи Коши для уравнения (2) с начальными данными из области G.

Возьмем п области G некоторую точку (рис 8) Наклон поля в этой точке равен Проведем через точку -прямую с угловим коэффициентом

На этой прямой возьмем любую точку , принадлежащую области G, и через нее прощую области G, и через нее проведем прямую с угловым коэффициентом, равным наклону поля в этой точке, т. е. На последней прямой возьмем любую точку принадлежащую области G, и проведем через нее прямую с угловым коэффициентом и т. д. Такое же построение можно сделать и влево от точки . Построенная ломаная линия называется ломаной Эйлера.

Ясно, что можно построить бесчисленное множество ломаных Эйлера, проходящих через точку — Каждая из этих ломаных с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об интегральной кривой, проходящей через точку если эта интегральная кривая существует. Естественно ожидать, что .мы можем построить последовательность ломаных Эйлера, имеющую своим пределом (когда длины всех звеньев ломаной стремятся к пулю, а их число стремится к бесконечности) интегральную кривую, проходящую через точку Л

Можно доказать*, что при сделанном предположении относительно f(x, у) это действительно имеет место, так что для существования непрерывно дифференцируемого решения задачи Коши для уравнения (2) достаточно предположить, что его правая часть непрерывна в окрестности начальных данных (теорема Пеано).

Заметим, однако, что нс исключена возможность существования нескольких последовательностей ломаных Эйлера, проходящих через точку , каждая из которых стремится к своей интегральной кривой, так что в общем случае, нет оснований ожидать, что мы получим единственную интегральную кривую, проходящую через точку . Более того, как показал М. Л. Лаврентьев**, единственность решения может нарушаться даже во всех точках непрерывности правой части уравнения (2).

Таким образом, теорема Пеано есть только теорема существования решения задачи Коши. Единственности решения она не гарантирует.

Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши

Поставим вопрос: каким условиям достаточно подчинить правую часть уравнения (2) в окрестности начальных данных чтобы через точку проходила одна и только одна интегральная кривая этого уравнения» В общем виде этот вопрос мы рассматриваем в гл. V, где пр* некоторых предположениях относительно правой части уравнения (2) мы доказываем существование и единственность решения задачи Коши и показываем, что свойства решения задачи Коши вполне определяются свойствами правой части уравнения (2) и начальными данным и. Сейчас мы приведем без дока-загельства основную теорему существования и единственности (теорему Пикара) для уравнения (2) в упрощенной формулировке.

Теорема. Пусть дано уравнение (2),

и поставлено начальное условие (38),

Предположим, что функция определена в некоторой замкнутой ограниченной области (рис. 9)

с точкой внутри (а и b — заданные положительные числа) и удовлетворяет в ней следующим двум условиям.

У 1. Функция непрерывна и следовательно, ограничена, т. е.

где М—постоянное положительное число, а(х, у) — любая точка области R;

II. Функция f(x, у) имеет ограничейную частную производную по аргументу у, т. е.:

где К — постоянное положительное число, а (х, у)—любая точка области R.

При этих предположениях уравнение (2) имеет единственное решение (36),

удовлетворяющее начальному условию (38). Это решение определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности начального значения х0 независимой переменной х, а именно оно заведомо определено в интервале

где h есть наименьшее из чисел

Из этой теоремы, в частности, следует, что если правая часть уравнения (2) есть полином относительно х и у или любая другая функция, определенная и непрерывная относительно х и у вместе с частной производной по у при всех значениях х и у, то через любую точку проходит одна и только одна интегральная кривая, ибо во всяком прямоугольнике R с центром в точке (х0, уо) оба условия теоремы Пикара будут очевидно выполнены. В этом случае вся плоскость (х, у) будет заполнена не пересекающимися и не касающимися друг друга гладкими интегральными кривыми.

Примеры с решением

Пример 1.

Пусть дано уравнение

и поставлено начальное условие:

Так как правая часть уравнения (45) есть полином относительно х и у, то решение с любыми начальными условиями, в том числе и с начальным условием (46), существует и единственно.

Оценим область определения решения с начальным условием (46).

С этой целью построим прямоугольник R с центром в точке (0, 0),

причем в качестве а и b можно взять любые положительные числа. Будем иметь:

Отсюда видно, что h зависит от выбора чисел а к &*. В частности, при а = b — 1, получим:

Поэтому уравнение (45) имеет единственное решение, заведомо определенное в интервале и удовлетворяющее начальному условию (46). это решение непрерывно дифференцируемо.

С геометрической точки зрения полученный результат означает, что уравнение (45) имеет только одну интегральную кривую, проходящую через начало координат, причем эта интегральная кривая гладкая.

Этот результат приобретает особое значение, если принять во внимание, что уравнение (45) не интегрируется пи в элементарных функциях, пи в квадратурах от элементарных функций, в чем мы убедимся в п. 51. Установленный факт существования и единственноеги решения дает нам основание пытаться искать его другими методами и в том числе находить это решение приближенно.

Пример 2.

Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию:

Так как правая часть уравнения (50) вместе с ее частной производной по непрерывна при всех х и у, то через каждую точку плоскости (х, у) проходит единственная интегральная кривая. Это же будет иметь место и в начале координат. Но легко заметить, что у = 0 (ось Ох) есть решение уравнения (50) и это решение проходит через начало координат, так чго оно и будет искомым решением. В силу только что установленной единственности решения уравнение (50) не имеет других решений, проходящих через начало координат.

* Наибольшим значением h будет

Вообще, если в уравнении (2) функция f(x, у) удовлетворяет обоим условиям теоремы Пикара в некоторой окрестности заданной точки (х0, у0) и такова, что , то единственным решением этого уравнения, проходящим через точку , будет прямая

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:3. Условия существования и единственности решения задачи КошиСкачать

Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши

Итак, нас интересует ответ на вопрос: Когда решение дифференциального уравнения будет существовать и будет единственным? Этот ответ дает теорема существования и единственности решения задачи Коши. Первое доказательство существования решения дифференциального уравнения принадлежит Огюстену Коши; приводимое мной доказательство дано Пикаром. Это доказательство производится при помощи метода последовательных приближений, который не только устанавливает, что решение существует, но и дает возможность приближенно найти его.

Прежде чем формулировать и доказывать теорему существования и единственности решения задачи Коши покажем, что задача Коши эквивалентна интегральному уравнению вида:

Пусть у(х) — функция, удовлетворяющая уравнению (2. 2. 1) и начальным условиям (2. 2. 2). Рассматривая правую часть уравнения (2. 2. 1) как сложную функцию от х, возьмем определенный интеграл по переменной х от х0 до некоторого значения

от каждой части дифференциального уравнения (2. 2. 1) (при этом переменную интегрирования обозначим через х)

Интеграл существует в силу предположения о непрерывности f (x, y) и непрерывности у (х). Т. к.

Обратно, если у (х) удовлетворяет уравнению (2. 2. 3), то ясно, что у =у0 при х = х0. Дифференцируя обе части уравнения (2. 2. 3) по х и пользуясь правилом дифференцирования определенного интеграла по переменному верхнему пределу, получим: у=f (x, y), т. е. доказана равносильность (2. 2. 1) и (2. 2. 3). Т. о., решить задачу Коши (2. 2. 1), (2. 2. 2) — это значит решить интегральное уравнение (2. 2. 3).

Теорема: Если функция f (x, y) удовлетворяет следующим условиям:

1). f (x, y) — непрерывная функция двух переменных в некотором прямоугольнике

D = [x0-a, x0+a; y0-b, y0+b],

2). Частная производная (х, у) существует и ограничена как функция двух переменных в прямоугольнике D, то существует единственное решение данного дифференциального уравнения (2. 2. 1), определенное в некотором промежутке [x0-h, x0+h] и удовлетворяющее начальным условиям (2. 2. 2).

Прежде чем доказывать теорему сделаем ряд замечаний.

Замечание 1. В условии 1) теоремы областью определения функции f (x, y) может быть любая область плоскости ХОУ, в частности вся плоскость; из этой области выделяем прямоугольную область D с центром в точке (x0, y0).

Здесь а и b — некоторые положительные числа. Т. к. непрерывная функция является в замкнутой области ограниченной, то из условия 1) следует существование такого положительного числа М, что неравенство f (x, y)М выполняется для всех точек области D.

Замечание 2. Ясно, что если точка (х, у)D, то имеют место неравенства

Замечание 3. Из условия 2) теоремы имеет место следующее неравенство: которое называют условием типа Липшица. Докажем это. Возьмем точки (х, у2)D и (х, у1)D. Применим теорему Лагранжа по у к разности f (х, у2) — f (х, у1), имеем т. е. (х, ) D. (Имеем право применить теорему Лагранжа, т.к. в D существует частная производная по у, и функция f (х, у) непрерывна в D.)

Оценим по абсолютной величине данную разность и сразу имеем (2. 2. 4).

Примечание. Отметим, что в теореме гарантируется существование и единственность решения задачи Коши только при х[x0-h, x0+h]. Т. о., фактически оговаривается область существования и единственности решения. С учетом предыдущих замечаний можно уточнить условия из которых выбирается h:

Доказательство теоремы Коши(состоит из четырех частей).

Общая идея: Т. к. задача Коши (2. 2. 1), (2. 2. 2) эквивалентна интегральному уравнению (2. 2. 3), то для доказательства теоремы достаточно показать существование и единственность решения уравнения (2. 2. 3). Применяют метод последовательных приближений Пикара [ ].

За начальное приближение к решению выбирают у0 и строят последовательность приближений:

Далее показывают, что последовательность такова, что

1). (х, уn(x)) D, n = 0, 1, 2,…
2). limyn(x) = y*(x)
3). y*(x) — решение уравнения (2. 2. 3)
4). y*(x) — единственное решение при х[x0-h, x0+h].

Проведем доказательство теоремы, исходя из общей идеи.

1). Покажем, что (х, уn(x)) D, n = 0, 1, 2,…

Это значит надо показать что при (Смотри замечание 2).

Доказательство этому проведем методом математической индукции.

При n = 0 (х, у0) D (очевидно).

Предположим, что (х, уn(x)) D и покажем, что (х, уn+1(x)) D. Из (2. 2. 5) имеем: Тогда: а). Если х>х0, т. е. х[x0, x0+h], то

Смотри замечание 1

Если х х0, т. е. х[x0, x0+h], то

Используем (2. 2. 4) (Смотри замечание 3), получим

Для получения этих неравенств пользовались тем, что (х, уn(x)) D и неравенством (2.2.4)).

Видео:Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 13.4. Существов. и единств. решения ДУСкачать

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,

Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида

называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям

а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;

б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).

2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость .

3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.

Видео:Видеоурок "Дифференциальные уравнения. Задача Коши"Скачать

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная ( постоянная Липшица ), что для любых из и любого из справедливо неравенство

Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .

Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;

2) каково бы ни было начальное условие

можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .

Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,

Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая и , получим частное решение .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .

Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.

При и получим частное решение .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .