Доктор Бреггин добавляет, что существуют доказательства того, что риталин может стать причиной необратимых нарушений и дисфункций в мозге ребенка.
Доказательства тождеств алгебры множеств можно проводить двумя путями.
a) Исходят непосредственно из определений операций, при этом обычно сначала доказывают, что левая часть равенства содержится в правой части, а затем, наоборот, что правая часть содержится в левой. Из этого заключают, что они совпадают. Для этого берут какой-либо один элемент из левой части равенства и доказывают, что он должен содержаться и в правой его части, а потом эту же процедуру повторяют, взяв элемент из правой части равенства.
b) Сводят всё к формуле математической логики и доказывают, что она есть тавтология.
Продемонстрируем оба способа на примерах.
Доказать тождество: А(ВÈС)=(АВ)Ç(АС)
a) Пусть некий элемент хÎА(ВÈС). Тогда хÎА и хÏ(ВÈС). Значит он не принадлежит ни В, ни С. А тогда хÎАВ и хÎАС, а значит, и их пересечению, т.е., всей правой части. Итак, левая часть содержится в правой. Пусть теперь хÎ(АВ) Ç (АС). Это значит, что хÎА и хÏВ, хÏС. Значит, хÎА и хÏ(ВÈС). А значит, он содержится в левой части.
b) Введём предикаты р(х): (хÎА) ; q(х): (хÎB; r(х): (хÎC). Тогда утверждение сводится к доказательству логической эквивалентности pÙØ(qÚr)
(p ÙØq)Ù(pÙØr) которая легко проверяется.
Доказать тождество: АÇВ=АÛАÌВ
a) (Þ) Опять, допустим хÎА. Так как АÇВ=А, то хÎАÇВ; Þ хÎВ. Итак, (хÎА)Þ(хÎВ). Значит, по определению, АÌВ. (Ü) Поскольку всегда АÇВÌА, то надо лишь доказать, что АÌАÇВ. Пусть хÎА. Так как АÌВ ,то хÎВ. Следовательно, хÎАÇВ.
b) В обозначениях предыдущего примера получим: ((pÙq
(pÞq). Надо доказать, что это – тавтология. Используем упражнение 7 пункт i) из части 1. Преобразуем сначала внутреннюю эквивалентность и импликацию: ((pÙqÙp)Ú(ù(pÙq) Ùùp))
(ùpÚq). В левой части от знака эквивалентности делаем преобразования: (pÙq)Ú((ùpÚùq)Ùùp); (дистрибутивность, идемпотентность, коммутативность) pÙqÚ(ùpÙùqÚùp); (поглощение) pÙqÚùp; Теперь снова применяем замену эквивалентности: [(pÙqÚùp)Ù(ùpÚq)]Ú[ù (pÙqÚùp)Ùù(ùpÚq)]. По дистрибутивности в каждой из квадратных скобок получим: [pÙqÙùpÚpÙqÙq Ú ùpÙùpÚùpÙq] Ú [(ùpÚùq)ÙpÙ(p Ùùq]; [FÚpÙqÚùpÚùpÙq]Ú[(FÚùqÙp) Ù(p Ùùq]; [pÙqÚùp] Ú[p Ùùq]; Итак, получили: pÙqÚ p ÙùqÚùp. Это (выносим р за скобку) эквивалентно рÙ( qÚùq)ÚùpÛ рÙТÚùp ÛрÚùp Û Т.
c) (Þ): АÇВÌВ; А=АÇВÞАÌВ. (Ü): АÌА и АÌВÞАÌ(АÇВ), а так как всегда АÇВÌА, то АÇВ=А
Пусть U – произвольное множество, «универсум». Мы будем рассматривать теоретико-множественные выражения, которые получаются из символов с помощью операций над множествами, например:
2) если H – теоретико-множественное выражение, то – теоретико-множественное выражение;
Наша цель – научиться решать уравнения
Для всякого теоретико-множественного выражения H(X,A1, …,An) существуют такие теоретико-множественные выражения
что для любого XÍU следующие условия равносильны:
В условиях предыдущего предложения, уравнение H(X,A1, …,An)=Æ будет иметь решения тогда и только тогда, когда будут выполнены соотношения:
Метод решения уравнения
Здесь A1, …,An и B1, …,Bm – некоторые заданные множества. Обозначим символом 0 пустое множество.
Это уравнение сначала приводят к уравнению
Потом для полученного уравнения находим формулы для R,S,T из предыдущего предложения. И, наконец, применим предыдущее следствие. Разберем этот метод решение на следующем примере.
Рассмотрим, например, уравнение:
Оно равносильно уравнению вида:
Следующим шагом решения будет преобразование левой части к объединению пересечений множеств. Это достигается с помощью формул:
После применения этих формул получим:
А после применения формул де Моргана приходим к уравнению:
С помощью закона дистрибутивности получаем уравнение:
то это уравнение примет вид:
Последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда X удовлетворяет системе уравнений:
Первое уравнение равносильно включению , а второе – . Отсюда вытекает следующий ответ:
Срочно? Закажи у профессионала, через форму заявки 8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
Метод характеристических функций в теории множеств
Доказательство сложных теоретико-множественных тождеств методом двух включений часто бывает довольно громоздким, и при построении доказательства ход рассуждений не всегда очевиден. Одним из методов, не требующих «угадывания» пути доказательства, является метод характеристических функций.
Характеристическая функция множества есть функция, отображающая универсальное множество в двухэлементное множество
Из определения характеристической функции множества вытекает справедливость тождества
Выразим характеристическую функцию пересечения множеств и через характеристические функции и этих множеств. Из определения пересечения следует, что искомая характеристическая функция должна принимать значение 1 для тех элементов , которые принадлежат множествам и одновременно, и значение 0 в противном случае. Легко видеть, что функция
удовлетворяет этому требованию.
Можно предположить, что характеристическая функция объединения множеств и будет равна сумме характеристических функций множеств. Однако так ее определить нельзя, поскольку для элементов такая сумма будет иметь значение 2. Введем «поправку» и в результате получим искомую формулу:
Непосредственно из определения — дополнения множества — следует, что
Для разности характеристическая функция имеет вид
а для симметрической разности —
Отметим, что последнюю формулу можно получить, опираясь на свойство 19 и тождество (1.10), а также на характеристические функции для пересечения, объединения и разности:
С учетом равенства (1.10) полученную формулу можно записать в виде
Метод характеристических функций доказательства справедливости теоретико-множественного тождества заключается в выражении характеристических функций обеих его частей через характеристические функции входящих в него множеств. Тождество верно тогда и только тогда, когда характеристические функции левой и правой частей совпадают.
Пример 1.22. Используя метод характеристических функций, выясним, справедливо ли тождество
С одной стороны,
С другой стороны,
Характеристические функции левой и правой частей тождества совпадают. Следовательно, тождество верно.
Пример 1.23. Выясним, является ли тождеством следующее выражение:
С одной стороны,
С другой стороны,
Легко видеть, что получены разные характеристические функции. Например,при и имеем
Таким образом, доказано, что .
Отметим, что метод характеристических функций не является универсальным. Так, его нельзя использовать при доказательстве тождеств, содержащих декартово произведение множеств, в частности, тождеств для соответствий (бинарных отношений).
🌟 Видео
Доказать равенства при помощи диаграмм ВеннаСкачать
Доказательство тождеств в теории множеств. Алгебраический методСкачать
![Преобразование логических выражений / Упрощение выражений (практика) [Алгебра логики] #6](https://i.ytimg.com/vi/S2bMFkhdA9Y/0.jpg)
