Доказать параллельность прямых в пространстве каноническое уравнение и пересечение плоскостей

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Параллельность обозначается « ∥ ». Если в задании по условию прямая a и плоскость α параллельны, тогда обозначение имеет вид a ∥ α . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Считается, что прямая a , параллельная плоскости α и плоскость α , параллельная прямой a , равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Если заданная прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна прямой b , которая принадлежит плоскости α , тогда прямая a параллельна плоскости α .

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10 — 11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Для параллельности прямой a , не принадлежащей плоскости α , и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Допустим, прямая а в систему координат О х у задается каноническими уравнениями прямой в пространстве , которые имеют вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z или параметрическими уравнениями прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , плоскостью α с общими уравнениями плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Отсюда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором с координатами прямой а, n → = ( A , B , C ) — нормальным вектором заданной плоскости альфа.

Чтобы доказать перпендикулярность n → = ( A , B , C ) и a → = ( a x , a y , a z ) , нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.

Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Отсюда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором прямой a с координатами, а n → = ( A , B , C ) — нормальным вектором плоскости α .

Определить, параллельны ли прямая x = 1 + 2 · λ y = — 2 + 3 · λ z = 2 — 4 · λ с плоскостью x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .

Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M ( 1 , — 2 , 2 ) не подходят. При подстановке получаем, что 1 + 6 · ( — 2 ) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .

Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой x = 1 + 2 · λ y = — 2 + 3 · λ z = 2 — 4 · λ имеют значения a → = ( 2 , 3 , — 4 ) .

Нормальным вектором для плоскости x + 6 y + 5 z + 4 = 0 считается n → = ( 1 , 6 , 5 ) . Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и n → . Получим, что a → , n → = 2 · 1 + 3 · 6 + ( — 4 ) · 5 = 0 .

Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Определить параллельность прямой А В в координатной плоскости О у z , когда даны координаты A ( 2 , 3 , 0 ) , B ( 4 , — 1 , — 7 ) .

По условию видно, что точка A ( 2 , 3 , 0 ) не лежит на оси О х , так как значение x не равно 0 .

Для плоскости O x z вектор с координатами i → = ( 1 , 0 , 0 ) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой A B как A B → . Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора A B . Получим, что A B → = ( 2 , — 4 , — 7 ) . Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов A B → = ( 2 , — 4 , — 7 ) и i → = ( 1 , 0 , 0 ) , чтобы определить их перпендикулярность.

Запишем A B → , i → = 2 · 1 + ( — 4 ) · 0 + ( — 7 ) · 0 = 2 ≠ 0 .

Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α . Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.

При заданной прямой a с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , плоскостью α — общим уравнением плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .

Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а также уравнению плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Следовательно, система уравнений, имеющая вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , называется несовместной.

Верно обратное: при отсутствии решений системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не существует точек в О х у z , удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.

Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Доказать , что прямая x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 параллельна плоскости 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 .

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 ⇔ — 1 · x = — 1 · ( y + 2 ) 3 · x = — 1 · z 3 · ( y + 2 ) = — 1 · z ⇔ x — y — 2 = 0 3 x + z = 0

Чтобы доказать параллельность заданной прямой x — y — 2 = 0 3 x + z = 0 с плоскостью 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений x — y — 2 = 0 3 x + z = 0 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 .

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Расписав уравнения, получаем, что 1 — 1 0 2 3 0 1 0 6 — 5 1 3 2 3

1 — 1 0 2 0 3 1 — 6 0 1 1 3 — 11 1 3

1 — 1 0 2 0 3 1 — 6 0 0 0 — 9 1 3 .

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Делаем вывод, что прямая x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 и плоскость 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Параллельность в пространстве с примерами решения

Содержание:

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с основными понятиями стереометрии, аксиомами стереометрии и следствиями из них. Расширите свои представления о многогранниках. Вы узнаете о взаимном расположении двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Ознакомитесь с правилами, по которым изображают пространственные фигуры на плоскости.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии

Изучая математику, вы со многими понятиями ознакомились с помощью определений. Так, из курса планиметрии вам хорошо знакомы определения четырехугольника, трапеции, окружности и др.

Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых вам уже известно. Например, рассмотрим определение трапеции: «Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны». Видим, что определение трапеции основано на таких уже введенных понятиях, как четырехугольник, сторона четырехугольника, параллельные и непараллельные стороны и др. Итак, определения вводятся по принципу «новое основано на старом». Тогда ясно, что должны существовать первоначальные понятия, которым определений не дают. Их называют основными понятиями (рис. 27.1).

В изученном вами курсе планиметрии определения не давали таким фигурам, как точка и прямая. В стереометрии, кроме них, к основным понятиям отнесем еще одну фигуру — плоскость.

Наглядное представление о плоскости дают поверхность водоема в безветренную погоду, поверхность зеркала, поверхность полированного стола, мысленно продолженные во всех направлениях.

Используя понятие плоскости, можно считать, что в планиметрии мы рассматривали только одну плоскость, и все изучаемые фигуры принадлежали этой плоскости. В стереометрии же рассматривают бесконечно много плоскостей, расположенных в пространстве.

Как правило, плоскости обозначают строчными греческими буквами

Плоскость, так же как и прямая, состоит из точек, то есть плоскость — это множество точек.

Существует несколько случаев взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. Приведем примеры.

На рисунке 27.4 изображена точка А, принадлежащая плоскости . Также говорят, что точка А лежит в плоскости или плоскость проходит через точку А. Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.5 изображена точка В, не принадлежащая плоскости . Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.6 изображена прямая , принадлежащая плоско­сти . Также говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Кратко это можно записать так:

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость. На рисунке 27.7 изображена прямая , пересекающая плоскость в точке А. Записывают:

В дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две плоскости» и т.п., будем иметь в виду, что это разные точки, разные прямые и разные плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то говорят, что эти плоскости пересекаются.

На рисунке 27.8 изображены плоскости , пересекающиеся по прямой . Записывают:

На начальном этапе изучения стереометрии невозможно доказывать теоремы, опираясь на другие утверждения, поскольку этих утверждений еще нет. Поэтому первые свойства, касающиеся точек, прямых и плоскостей в пространстве, принимают без доказательства и называют аксиомами. Отметим, что ряд аксиом стереометрии по формулировкам до­словно совпадают со знакомыми вам аксиомами планиметрии.

• какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей;
• через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Мы не будем знакомиться со строгим аксиоматическим построением стереометрии. Рассмотрим лишь некоторые утверждения, выражающие основные свойства плоскостей пространства, основываясь на которых обычно строят курс стереометрии в школе.

Аксиома А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Если в любой плоскости пространства выполняются аксиомы планиметрии, то выполняются и следствия из этих аксиом, то есть теоремы планиметрии. Следовательно, в стереометрии можно поль­зоваться всеми известными нам свойствами плоских фигур.

Аксиома А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Рисунки 27.9-27.11 иллюстрируют эту аксиому.

Из этой аксиомы следует, что три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость, про­ ходящую через эти точки. Поэтому для обозначения плоскости можно указать любые три ее точки, не лежащие на одной прямой.

Например, на рисунке 27.12 изображена плоскость АВС. Запись означает, что точка М принадлежит плоскости АВС. Запись означает, что прямая MN принадлежит плоскости АВС (рис. 27.12).

Аксиома АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Например, на рисунке 27.13 точки А, В и С принадлежат плоскости АВС. Тогда можно записать: Из этой аксиомы следует, что если прямая не принадлежит плоскости, то она имеет с данной плоскостью не более одной общей точки.

Утверждение, сформулированное в аксиоме АЗ, часто используют на практике, когда хотят проверить, является ли данная поверхность ровной (плоской). Для этого к поверхности в разных местах прикладывают ровную рейку и проверяют, есть ли зазор между рейкой и поверхностью (рис. 27.14).

Аксиома А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Эту аксиому можно проиллюстрировать с помощью согнутого листа бумаги или с помощью вашего учебника (рис. 27.15).

Пример:

Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Решение:

Пусть точка А является общей для двух плоскостей , то есть (рис. 27.16). По аксиоме А4 плоскости пересекаются по прямой. Пусть Тогда все общие точки плоскостей принадлежат прямой . Точка А является общей для плоскостей . Следовательно, Кроме аксиом, есть и другие свойства, описывающие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве. Опираясь на аксиомы, можно доказать, например, следующие утверждения (следствия из аксиом стереометрии).

Теорема 27.1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.17).

Теорема 27.2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.18).

Из аксиомы А2 и теорем 27.1 и 27.2 следует, что плоскость однозначно определяется:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
3. двумя пересекающимися прямыми.

Таким образом, мы указали три способа задания плоскости.

Пространственные фигуры

Начальные сведения о многогранниках. В стереометрии, кроме точек, прямых и плоскостей, рассматривают пространственные фигуры, то есть фигуры, не все точки ко­торых лежат в одной плоскости. Некоторые из пространственных фигур вам уже знакомы. Так, на рисунке 28.1 изображены цилиндр, конус и шар. Подробно эти фигуры вы будете изучать в 11 классе.

На рисунке 28.2 изображена еще одна знакомая вам пространственная фигура — пирамида. Эта фигура является частным видом многогранника. Примеры многогранников показаны на рисунке 28.3.

Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Их называют гранями многогранника. Стороны многоугольников называют ребрами многогранника, а вершины — вершинами много­гранника (рис. 28.4).

На рисунке 28.5 изображена пятиугольная пирамида FABCDE.

Поверхность этого многогранника состоит из пяти треугольников, которые называют боковыми гранями пирамиды, и одного пятиугольника, который называют основанием пирамиды. Вершину F, общую для всех боковых граней, называют вершиной пирамиды.

Ребра FA, FB, FC, FD и FE называют боковыми ребрами пирамиды, а ребра А В, ВС, CD, DE и ЕА — ребрами основания пирамиды.

На рисунке 28.6 изображена треугольная пирамида DABC. Треугольную пирамиду называют также тетраэдром.

Еще одним частным видом многогранника является призма. На рисунке 28.7 изображена треугольная призма . Этот многогранник имеет пять граней, две из которых — равные треугольники АВС и Их называют основаниями призмы.

Остальные грани призмы — параллелограммы. Их называют боковыми гранями призмы. Ребра называют боковыми ребрами призмы.

На рисунке 28.8 изображена четырехугольная призма . Ее поверхность состоит из двух равных четырехугольников ABCD и (основания призмы) и четырех параллелограммов (боковые грани призмы).

Вы знакомы также с частным видом четырехугольной призмы — прямоугольным параллелепипедом. На рисунке 28.9 изображен прямоугольный параллелепипед . Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

В свою очередь, частным видом прямоугольного параллелепипеда является куб. Все грани куба — равные квадраты (рис. 28.10).

Четырехугольную призму, основанием которой является параллелограмм, называют параллелепипедом.

В курсе геометрии 11 класса вы более подробно ознакомитесь с многогранниками и их частными видами.

Пример:

На ребрах и куба отметили соответственно точки М и N так, что (рис. 28.11). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Решение:

Точки М и N принадлежат плоскости . Тогда по аксиоме АЗ прямая MN принадлежит этой плоскости. Аналогично прямая AD также принадлежит плоскости . Из планиметрии известно, что прямые, лежащие в одной плоскости, или параллельны, или пересекаются. Поскольку , то прямые AD и MN пересекаются. Пусть X — точка их пересечения (рис. 28.12). Точки А и D принадлежат плоскости АВС. Тогда по аксиоме АЗ прямая AD принадлежит этой же плоскости. Точка X принадлежит прямой AD. Следовательно, точка X принадлежит плоскости АВС. Поскольку точка X также принадлежит прямой MN, то прямая MN пересекает плоскость АВС в точке X.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Из курса планиметрии вы знаете, что две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку. Такое же определение пересекающихся прямых дают и в стереометрии. Вам также известно, что две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Можно ли это определение перенести в стереометрию?

Обратимся к рисунку 29.1, на котором изображен куб . Каждая из прямых АВ и не имеет с прямой DC общих точек. При этом прямые АВ и DC лежат в одной плоскости — в плоскости АВС, а прямые и DC не лежат в одной плоскости, то есть не существует плоскости, которая проходила бы через эти прямые. Этот пример показывает, что в стереометрии для двух прямых, не имеющих общих точек, возможны два случая взаимного расположения: прямые лежат в одной плоскости и прямые не лежат в одной плоскости. Для каждого из этих случаев дадим соответствующее определение.

Определение. Две прямые в пространстве называют параллельным и, если они лежат в одной плоскости и не пересека­ются. Если прямые параллельны, то записывают:

Определение. Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Например, на рисунке 29.1 прямые АВ и DC — параллельные, а прямые и DC — скрещивающиеся.

Наглядное представление о параллельных прямых дают колонны здания, корабельный лес, бревна сруба (рис. 29.2).

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают провода линий электропередачи, различные элементы строительных конструкций (рис. 29.3). Итак, существуют три возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве (рис. 29.4):

1. прямые пересекаются;
2. прямые параллельны;
3. прямые скрещиваются.

Два отрезка называют параллельными (скрещивающимися), если они лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых. Например, ребра и треугольной призмы (рис. 29.5) являются параллельными, а ребра АС и — скрещивающимися.

Теорема 29.1. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны параллельные прямые Докажем, что существует единственная плоскость такая, что

Существование плоскости , проходящей через прямые , следует из определения параллельных прямых.

Если предположить, что существует еще одна плоскость, проходящая через прямые , то через прямую а и некоторую точку прямой будут проходить две различные плоскости, что проти­воречит теореме 27.1.

Существует три способа задания плоскости. Теорему 29.1 можно рассматривать как еще один способ задания пло­скости — с помощью двух параллельных прямых.

Установить параллельность двух прямых, лежащих в одной плоскости, можно с помощью известных вам из курса планиметрии признаков параллельности двух прямых. А как установить, являются ли две прямые скрещивающимися? Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Теорема 29.2 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся (рис. 29.6).

На рисунке 29.7 ребра АВ и DC тетраэдра DABC являются скрещивающимися. Действительно, прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не принадлежащей прямой АВ. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Параллельность прямой и плоскости

Вам уже известны два возможных случая взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая принадлежит плоскости, то есть все точки прямой принадлежат плоскости;
2. прямая пересекает плоскость, то есть прямая имеет с плоскостью только одну об­щую точку.

Понятно, что возможен и третий случай, когда прямая и плоскость не имеют общих точек. Например, прямая, содержащая ребро куба , не имеет общих точек с плоскостью АВС (рис. 30.1).

Определение. Прямую и плоскость называют параллель­ными, если они не имеют общих точек.

Если прямая и плоскость параллельны, то записывают: Также принято говорить, что прямая параллельна плоскости , а плоскость параллельна прямой .

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают некоторые спортивные снаряды. Например, брусья параллельны плоскости пола (рис. 30.2). Другой пример — водосточная труба: она параллельна плоскости стены (рис. 30.3).

Выяснять, параллельны ли данные прямая и плоскость, с помощью определения затруднительно. Гораздо эффективнее пользоваться следующей теоремой.

Теорема 30.1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Например, на рисунке 30.1 прямые и содержат противолежащие стороны квадрата . Эти прямые параллельны.

Поскольку , то по признаку параллельности прямой и плоскости

Отрезок называют параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, параллельной этой плоскости. Например, ребро АВ куба параллельно плоскости (рис. 30.1).

Вы умеете устанавливать параллельность двух прямых с помощью теорем-признаков, известных из планиметрии. Рассмотрим теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема 30.2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

На рисунке 30.4 прямая параллельна плоскости . Плоскость проходит через прямую и пересекает плоскость по прямой . Тогда

Теорема 30.3. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.

На рисунке 30.5 прямые параллельны, плоскость проходит через прямую , а плоскость — через прямую Тогда

Теорема 30.4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Пример:

Докажите, что если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой их пересечения.

Решение:

Пусть даны прямая и плоскости такие, что (рис. 30.6). Докажем, что В плоскостях найдутся соответственно такие прямые , что Если хотя бы одна из прямых совпадает с пря­мой , то утверждение задачи доказано. Если же каждая из прямых отлична от прямой , то по теореме 30.4 Воспользовавшись теоремой 30.3, приходим к выводу, что . Но , следовательно,

Параллельность плоскостей

Рассмотрим варианты возможного взаимного расположения двух плоскостей. Вы знаете, что две плоскости могут иметь общие точки, то есть пересекаться. Понятно, что две плоскости могут и не иметь общих точек. Например, плоскости АВС и , содержащие основания призмы, не имеют общих точек (рис. 31.1).

Определение. Две плоскости называют параллельны ми, если они не имеют общих точек.

Если плоскости параллельны, то записывают: Также принято говорить, что плоскость параллельна плоскости или плоскость параллельна плоскости

Наглядное представление о параллельных плоскостях дают потолок и пол комнаты; поверхность воды, налитой в аквариум, и его дно (рис. 31.2).

Из определения параллельных плоскостей следует, что любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.

В тех случаях, когда надо выяснить, являются ли две плоскости параллельными, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 31.1 (признак параллельности двух плоско­стей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Например, на рисунке 31.3 изображен прямоугольный параллелепипед . Имеем: и . Тогда по признаку параллельности двух плоскостей .

Будем говорить, что два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях. Например, грани и прямоугольного параллелепипеда параллельны (рис. 31.3). Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей.

Теорема 31.2. Через точку в пространстве, не принадлежа­щую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна (рис. 31.4).

Теорема 31.3. Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны (рис. 31.5).

Пример:

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Решение:

Пусть даны параллельные плоскости и параллельные прямые АВ и такие, что (рис. 31.6). Докажем, что . Параллельные прямые АВ и задают некоторую плоскость причем

По теореме 31.3 получаем: . Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда .

Параллельное проектирование

Многие явления и процессы, наблюдаемые нами в повседневной жизни, служат примерами преобразований, при которых образом пространственной фигуры является плоская фигура. Увидеть одно из таких явлений можно в солнечную погоду, когда предмет отбрасывает тень на плоскую поверхность (рис. 32.1). Этот пример иллюстрирует преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием. С помощью этого преобразования на плоскости создают изображения пространственных фигур.

Многие рисунки настоящего учебника, на которых изображены пространственные фигуры, можно рассматривать как тени, отбрасываемые на плоскость страницы предметами, освещенными па­раллельными лучами. Ознакомимся подробнее с параллельным проектированием.

Пусть даны плоскость прямая пересекающая эту плоскость, и фигура F (рис. 32.2). Через каждую точку фигуры F проведем прямую, параллельную прямой (если точка фигуры F принадлежит прямой то будем рассматривать саму прямую ). Точки пересечения всех проведенных прямых с плоскостью образуют некоторую фигуру . Описанное преобразование фигуры F называют параллельным проектированием. Фигуру называют параллельной проекцией фигуры F на плоскость в направлении прямой Также фигуру называют изображением фигуры на плоскости в направлении прямой

Выбирая выгодные положения плоскости и прямой можно получить наглядное изображение данной фигуры F. Это связано с тем, что параллельное проектирование обладает рядом замечательных свойств (см. теоремы 32.1-32.3). Благодаря этим свойствам изображение фигуры похоже на саму фигуру.

Пусть даны плоскость и прямая пересекающая эту плоскость. Если прямая параллельна прямой то ее проекцией на плоскость является точ­ка (рис. 32.3). Проекцией прямой также является точка. Если отрезок параллелен прямой или лежит на прямой , то его проекцией на плоскость является точка (рис. 32.3).

В следующих теоремах будем рассматривать прямые и отрезки, не параллельные прямой и не лежащие на ней.

Теорема 32.1. Параллельной проекцией прямой является прямая; параллельной проекцией отрезка является отрезок (рис. 32.4).

Теорема 32.2. Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая (рис. 32.5), или две параллельные прямые (рис. 32.6). Параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 32.6).

Теорема 32.3. Отношение параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению самих отрезков (рис. 32.7).

Рассмотрим изображения некоторых многоугольников на плоскости в на­правлении прямой

Если прямая параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок. Теперь рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость много­угольника.

Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией треугольника является треугольник (рис. 32.8).

Поскольку при параллельном проектировании сохраняется параллельность отрезков, то изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм (рис. 32.9).

Также из свойств параллельного проектирования следует, что изображением трапеции является трапеция.

Параллельной проекцией окружности является фигура, которую называют эллипсом (рис. 32.10).

Изображения объектов с помощью параллельного проектирования широко используют в самых разных областях промышленности, например в автомобилестроении (рис. 32.11).

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 4

Основные аксиомы стереометрии

• А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
• АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
• А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Плоскость однозначно определяется:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
3. двумя пересекающимися прямыми;
4. двумя параллельными прямыми.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

• Две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку.
• Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Свойство параллельных прямых

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.

Параллельность в пространстве

Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Условия параллельности двух прямых в пространстве

• Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
• Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, от­ личной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.
• Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоско­сти, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.

Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

• Перпендикулярность в пространстве
• Векторы и координаты в пространстве
• Множества
• Рациональные уравнения
• Числовые последовательности
• Предел числовой последовательности
• Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
• Функции, их свойства и графики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

🌟 Видео

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать