Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание
  1. Предупреждение
  2. Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
  3. 1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
  4. 2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
  5. 3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
  6. 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
  7. Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач
  8. Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости
  9. Составление параметрических уравнений прямой на плоскости
  10. Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно
  11. Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости
  12. № 41*. Докажите, что три прямые х + 2у = 3, 2x — у = 1 и 3х + у = 4 пересекаются в одной точке.
  13. 🎦 Видео

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

  • Содержание
  • 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
  • 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
  • 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
  • 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2,(1)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2,(2)

Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2,(3)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

p1(xx1)=m1(yy1)
l1(yy1)=p1(zz1)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p1xm1y=p1x1m1y1,(5)
l1yp1z=l1y1p1z1.(6)

Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):

Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2,(7)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(8)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):

p2(xx2)=m2(yy2)
l2(yy2)=p2(zz2)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p2xm2y=p2x2m2y2,(9)
l2yp2z=l2y2p2z2.(10)

Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(11)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(12)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(13)

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.

Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(14)

Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(15)

Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(16)

Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(17)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(18)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(19)

Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(20)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(21)

Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(22)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(23)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(26)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(27)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(30)

Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Сделаем перестановку строк 3 и 4.

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(31)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(32)

Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(33)

Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(34)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(35)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(36)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2.(37)

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(38)
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(39)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2
Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(42)

Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2(43)

Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.

Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .

Видео:17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположены

Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Видео:16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространстве

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и направляющий вектор заданной прямой a → = ( a x , a y ) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.

Используем произвольную точку М ( x , y ) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М ( x , y ) , проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) являются коллинеарными.

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) возможно записать в виде уравнения:

M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 ( 2 , 3 ) и ее направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Решение

На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необходимо отметить: если вектор a → = ( a x , a y ) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и М 2 ( x 2 , y 2 ) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = ( 2 , — 1 ) , а также точки М 1 ( 1 , — 2 ) и М 2 ( 3 , — 3 ) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = — 2 — λ или x = 3 + 2 · λ y = — 3 — λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = ( a x , a y ) — направляющий вектор прямой a , то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = — 2 — 5 · λ . Тогда a → = ( 2 , — 5 ) направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ · a → = ( μ · 2 , μ · — 5 ) = 2 μ , — 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор — 2 · a → = ( — 4 , 10 ) , ему соответствует значение μ = — 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 — 4 · λ y = — 2 + 10 · λ .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = — 2 — 4 · λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x — 3 0 = y + 2 — 4

Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ A x + B y + C = 0

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 3 ⇔ x + 1 2 = y — 3

Полученная пропорция идентична равенству — 3 · ( x + 1 ) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: — 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x — x 1 a x = y — y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ :

x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x — 2 5 = y — 2 2

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λ : x — 2 5 = y — 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x — 2 5 = y — 2 2 = λ ⇔ λ = x — 2 5 λ = y — 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x — 3 y — 3 = 0 .

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4 x — 3 y — 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Видео:Параметрические уравнения прямойСкачать

Параметрические уравнения прямой

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

  1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа ( x , y ) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 — 1 6 · λ y = — 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Решение

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 — 1 6 · 3 y = — 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Ответ: 1 1 2 , 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Заданы точки М 0 ( 4 , — 2 ) и N 0 ( — 2 , 1 ) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = — 1 — 1 2 · λ .

Решение

Подставим координаты точки М 0 ( 4 , — 2 ) в заданные параметрические уравнения:

4 = 2 · λ — 2 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .

Далее по аналогии проверим заданную точку N 0 ( — 2 , 1 ) , подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:

— 2 = 2 · λ 1 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = — 1 λ = — 4

Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 ( — 2 , 1 ) .

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

  1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

Пример 8

Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y — 3 — 1 .

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y — 3 — 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y — 3 — 1 , который запишем в виде: a → = ( 2 , — 1 ) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + ( — 1 ) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ

Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ .

Задана точка М 1 ( 0 , — 7 ) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты ( 3 , — 2 ) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = — 7 + ( — 2 ) · λ ⇔ x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

  1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.

Пример 10

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ ⇔ λ = x — 1 — 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x — 1 — 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x — 1 = — 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y — 1 4 = 0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

№ 41*. Докажите, что три прямые х + 2у = 3, 2x — у = 1 и 3х + у = 4 пересекаются в одной точке.

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Координаты точки пересечения этих прямых — это решение системы уравнений:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

1) х = 3 — 2у подставляем во 2-е уравнение. 2)

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

точка пересечения прямых

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

Подставив в уравнение

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

вместо х и у координаты точки (1; 1), получим:

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2

верное равенство. Значит, прямая 3х + у = 4 проходит через точку (1; 1). А значит, все три прямые пересекаются в точке (1; 1). Так как никакие две различные прямые не могут иметь более одной общей точки, то (1; 1) — единая общая точка. Что и требовалось доказать.

Доказать что прямые заданные параметрическими уравнениями пересекаются x 2t 3 y 3t 2 Решебник по геометрии за 8 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №41
к главе «§8. Декартовы координаты на плоскости».

🎦 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

15. Взаимное расположение прямых в пространствеСкачать

15. Взаимное расположение прямых в пространстве

Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"

Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскости

14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач
Поделиться или сохранить к себе: