Для каких значений а один из корней уравнения больше 3 а другой меньше 2

Разделы: Математика

Цель:

• формировать умение распознавать положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от параметра,
• развивать логическое мышление,
• умение работать в проблемной ситуации.

Ход урока

Проверка домашнего задания.

Объяснение нового материала.

Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Пусть квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + с имеет корни x₁ и x₂, — абсцисса вершины параболы y = ax 2 + bx + с, d — заданное число. Рассмотрим ряд утверждений, связанных с взаимным расположением x₁ , x₂ и числа d.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа d, (рис.1) необходимо и достаточно выполнение условий.

Пример:

При каких значениях параметра а корни уравнения ax 2 —(2а + 1)х + 3а — 1 = 0 больше единицы?

Решение: 1. При а = 0 х = -1 — не удовлетворяет требованию задачи.

2. При а

Ответ:

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше числа d, (рис.2) необходимо и достаточно выполнение условий

Рассмотрим задачи на применение этих теорем, обращая внимание на алгоритм получения необходимых и достаточных условий, соответствующих данному случаю расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси. Учащиеся должны научиться составлять эти условия, а не пытаться механически их запомнить.

Задачи для самостоятельного решения.

Найдите значение параметра m, при которых уравнение имеет два отрицательных решения.

Ответ: при уравнение имеет два отрицательных решения.

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет два положительных различных решения.

Ответ: при уравнение имеет два положительных различных решения

При каких значениях параметра а корни уравнения больше 1?

Ответ: при корни уравнения больше 1.

При каких значениях параметра а оба корня уравнения меньше 1?

Ответ: при оба корня уравнения меньше 1.

При каких значениях параметра p оба корня квадратного трехчлена отрицательны?

Ответ: при оба корня квадратного трехчлена отрицательны.

Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1?

Ответ: не существует таких значений параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1.

Теорема 3. Для того чтобы число d было расположено между корнями квадратного трёхчлена, (рис.3) необходимо и достаточно выполнение условий

Задача для самостоятельного решения

Найти все значения параметра , при которых только один корень квадратного трехчлена больше 2.

Ответ: или .

При каком значении параметра один корень уравнения больше 1, а другой — меньше 1?

Ответ: при один корень уравнения больше 1, а другой — меньше 1.

При каких значениях параметра число 2 находится между корнями квадратного уравнения ?

Ответ: при один корень уравнения больше 2, а другой — меньше .

Найти все значения параметра , при которых только один корень уравнения удовлетворяет неравенству .

Ответ: или .

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена лежали в интервале (d: p), (рис.4) необходимо и достаточно выполнение условий

(4)

Пример. При каких значениях параметра а оба корня уравнения удовлетворяют условию 1 8.08.2010

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра

Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.

Уметь применять следующие теоремы и следствия:

Пусть f(x) = ax2 + bc + c имеет действительные корни x1, x2 (которые могут быть кратными), а M, N – какие-нибудь действительные числа, причем M 1.

Пример 2. При каких значениях k один из коней уравнения (k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0 больше 1, а другой меньше 1?

Видео:Параметры 3. Расположение корней квадратного уравнения. ЕГЭ №18Скачать

Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами

Сформулировать и обосновать утверждения о расположении корней квадратного уравнения и показать применение полученных утверждений для решения задач с параметрами.

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Сформулировать утверждения и дать геометрическую интерпретацию

Видео:При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать

Скачать:

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Предварительный просмотр:

Лискинский муниципальный район

Муниципальное казённое учреждениеЕрмоловская СОШ

Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами

Выполнил Галкин Сергей Андреевич,

ученик 9-го класса

Основная часть. Расположение корней квадратного уравнения и примеры………………………………………..4-15

Проверка качества применимости изложенного материала..16

Сформулировать и обосновать утверждения о расположении корней квадратного уравнения и показать применение полученных утверждений для решения задач с параметрами.

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Сформулировать утверждения и дать геометрическую интерпретацию

В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ в задачах повышенной сложности предлагаются задания по теме «Уравнения с параметрами»

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения.

Рассмотрим два наиболее распространённых типа таких задач

1-ый тип задачи в которых изучается расположение корней относительно заданной точки.

2-ой тип задачи в которых исследуется расположение корней относительно числового промежутка

Утверждения о расположении корней квадратного уравнения

Пусть f(x)=ax 2 +bx+c имеет действительные корни x 1 и x 2 , а M – какое-нибудь действительное число, D=b 2 – 4ac.

Утверждение 1. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше -1.

Рассмотрим функцию y=x²+4ax+1(1-2a+4a²)

Утверждение 2 . Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

Найти все значения параметра m , при каждом из которых один корень уравнения 2mx²-2x-3m-2=0 больше 1,а другой меньше 1.

Утверждение 3. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:

>

Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3

Утверждение 4. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M, но меньше, чем число N ( M ) , т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:

При каких значениях m корни уравнения 4x²-(3m+1)x-m-2=0 лежат в промежутке между -1 и 2?

Утверждение 5 . Для того чтобы только больший корень квадратного уравнения лежал в интервале [ M , N ]( M N ) , необходимо и достаточно:

(при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]).

5.Найти все значения а, для которых при каждом x из промежутка (-3; -1] значение выражения
(задача С3 из ЕГЭ).

1.Значения указанных выражений не равны друг другу тогда и только тогда,когда выполнено условие:

Обозначимt=x², тогдаt²-8t-2 at.

Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке [1;9).

2.График функции y=f(t) есть парабола, ветви которой направлены вверх и f(0)=-2. Поэтому квадратный трёхчлен f(t) имеет 2 корня t1 0

Больший корень уравнения лежит [1;9)

3.Решим полученную систему:

решением системы является промежуток [-9;7/9), поэтому решением данного уравнения также является [-9;7/9).

Следовательно, уравнение f(t) не имеет корнейпри всех a,не принадлежащих этому промежутку, то есть когда a 7/9.

Ответ: a 7/9.

Утверждение 6 . Для того чтобы только меньший корень квадратного уравнения лежал в интервале [ M , N ] , необходимо и достаточно:

( при этом больший корень лежит вне отрезка [ M , N ]) .

Утверждение 7 . Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M [ M , N ] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x²+(a+1)x+3=0 лежал в интервале (-1; 3)

При каких значениях параметра а один корень уравнения x²-(3a+2)x+2a-1=0 меньше -1, а другой больше 2.

Ответ: решений нет.

Проверка качества применимости изложенного материала

Проверочную работу выполняли четыре человека: три ученика 11 класса и один ученик 10 класс (задания см. в Приложении)

В результате анализа проверочной работы была выявлена необходимость совершенствования навыков решения задач на расположение корней квадратного уравнения

В процессе исследования были рассмотрены основные случаи расположения корней квадратного уравнения, приведены утверждения, к которым даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти утверждения. Данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры о расположении корней квадратного уравнения. Он может быть использован для индивидуального обучения, а также на внеклассных и факультативных занятий по математике.

1. Задачи с параметрами П.И. Горнштейн, .Б. Полонский, М.С. Якир

2. Тетрадь-конспект по алгебре, авторы Ершова А.П., Голобородько В.В. и др.

3. Рабочая тетрадь для подготовки к итоговой аттестации по математике в новой форме (Негосударственное образовательное учреждение «Интернациональные коммуникации»)

4. Школа решения задач с параметрами, авторы Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н.

1. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения 4x²+2(а-1)х-а²+а=0 меньше -1.
2. Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияx²+(a-4)x-2a=0 больше 1
3. При каких значениях параметра a оба корня уравнения x²-ax+2=0 больше 1, но меньше 3

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Для каких значений а один из корней уравнения больше 3 а другой меньше 2

Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена

Пусть f(x)=ax 2 +bx+c имеет действительные корни x 1 и x 2 , а M – какое-нибудь действительное число, D=b 2 – 4ac.

Утверждение 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Утверждение 2 . Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

Утверждение 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:

Утверждение 4. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M, но меньше, чем число N ( M ) , т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:

Утверждение 5 . Для того чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [ M , N ] ( M N ) , необходимо и достаточно:

(при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]).

Утверждение 6 . Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [ M , N ] , необходимо и достаточно:

( при этом больший корень лежит вне отрезка [ M , N ]) .

Утверждение 7 . Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M N), т.е. отрезок [ M , N ] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

💡 Видео

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

(3) Параметр в ЕГЭ. Исследование квадратных уравнений. Расположение корнейСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Урок 95 Формулы корней квадратного уравнения (8 класс)Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числаСкачать

РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

[3] Параметры аналитика с нуля. Расположение корней. Решаем задачи по алгоритму.ЭкстраСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать