Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc (8 видео)

Как найти высоту пирамиды по векторам

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x₂ – x₁; Y = y₂ – y₁; Z = z₂ – z₁
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:

Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:

объем тетраэдра ABCD;
высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)

Содержание

Ответ
Проверено экспертом
Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc
Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc
Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин
🔥 Видео

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Ответ

Проверено экспертом

Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) .

Находим векторы АВ, АС и АД.

Вектор АВ = (-4; 2; -1 ), модуль равен √(16+4+1) = √21 ≈ 4,58258.

Определяем векторное произведение АВ х АС.

-6 3 -4 | -6 3 = -8i + 6j – 12k – 16j + 3i + 12k = -5i – 10j = (-5; -10; 0).

Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) = (-5; -10; 0),

(АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40.

Объем пирамиды равен (1/6) этого произведения:

V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед.

Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.

S(ABC) = (1/2)*√((-5)² + (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед.

h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777.

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc

Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
A(6;2;3); B(6;5;6); C(3;6;7); D(4;2;2).

Найти: 1) |AB|.
Вектор АВ= = (0; 3; 3).
Длина ребра АВ = √(0² + 3² + 3²) = √18 ≈ 4,242640687.

Скалярное произведение векторов АВ и АС равно:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · (-3) + 3 · 4 + 3 · 4 = 0 + 12 + 12 = 24.

3) Проекция вектора AB на AC;
Решение: Пр ba = ( a · b)/ |b|.

Скалярное произведение векторов уже найдено и равно 24.

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx² + by ² + bz ²) = √((-3)² + 4² + 4²) = √(9 + 16 + 16) = √41.
Пр ba = 24/ √41 = 24√41/ 41 ≈ 3,7481703.

4) площадь грани ABC.
S = (1/2)*|AB|*|AC|*sin α = (1/2)*|AB|*|AC|*√(1 — cos²α) .
Найдем угол между ребрами AB(0;3;3) и AC(-3;4;4):
cos α = (0*(-3)+3*4+3*4)/(√18*√41) = 24/√738 = 4√82/41 ≈ 0,883452.
sin α = √(1 — 0,883452 ²) = 0,468521.
S(ABC) = (1/2)* √18*√41*0,468521 = 6,363961.

5) уравнение грани ABC.

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1 = 0.

Уравнение плоскости ABC

x-6 y-2 z-3 0 3 3 -3 4 4 = 0. (x-6)(3*4-4*3) — (y-2)(0*4-(-3)*3) + (z-3)(0*4-(-3)*3) = — 9y + 9z-9 = 0.
Упростим выражение: — y + z — 1 = 0.

6) уравнение ребра AD.
Уравнение прямой AD(-2,0,-1)
AD: (x — 6)/(-2) = (y — 2)/0 = (z — 3)/(-1).
Параметрическое уравнение прямой:
x=6-2t
y=2+0t
z=3-t.

7) угол между ребром AD и гранью ABC.
Синус угла γ между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sin γ = |Al+Bm+Cn|/(√A²+B²+C²)*√(l²+m²+n²).
Уравнение плоскости ABC: — y + z-1 = 0
Уравнение прямой AD получено выше.
sin γ = |0*(-2)+(-1)*0+1*(-1)|/(√0²+1²+1²)*√(2²+0²+1²) = 1/(√2*√5) =
= 1/√10 ≈ 0,316228.
γ = arc sin 0,316228 = 0,321751 радиан = 18,43495 °.

8) смешанное произведение (AB, AC, AD) и V — объём пирамиды ABCD.
Произведение векторов a × b = .
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
|X1 Y1 Z1|
V = (1/6) |X2 Y2 Z2|
|X3 Y3 Z3|

| 0 3 3|
V = (1/6) |-3 4 4| = 9/6 = 1,5.
|-2 0 -1|
где определитель матрицы равен:
∆ = 0*(4*(-1)-0*4)-(-3)*(3*(-1)-0*3)+(-2)*(3*4-4*3) = -9.

9) уравнение высоты,опущенной из вершины D на грань ABC и
ее длину.
Для вычисления расстояния от точки M(4, 2, 2) до плоскости — y +z -1 = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данныеd = |0·4 + (-1)·2 + 1·2 + (-1)|/√((0² + (-1)² + 1²) =
= |0 — 2 + 2 — 1| /√(0² + (-1)² + 1²) = 1/√2 ≈ 0.70710678.

10) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно грани ABC.
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости ABC: — y + z-1 = 0
0(x-4)-1(y-2)+1(z-2) = 0
или
0x-y+z+0 = 0.

Видео:Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать