Дипломная работа уравнения и неравенства в школьном курсе математики

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Дипломная работа «Рациональные уравнения в курсе алгебры основной школы»

Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Как известно, рациональные уравнения изучаются в 8-9 классах. Стандарт образования ставит целью формирование умения решать простейшие целые, дробно-рациональные уравнения и применять их на практике. Дробно-рациональные уравнения в дальнейшем широко используются при решении логарифмических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств, часто встречаются в задачах повышенной трудности, в заданиях математических олимпиад, в вариантах выпускных и вступительных экзаменационных работ в вузы.

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Подписи к слайдам:

«РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ » Подготовила: Горобцова Елена Васильевна Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и МПМ Титоренко Светлана Алексеевна

выделить основные методы решения рациональных уравнений и разработать соответствующую систему упражнений. ЦелЬ исследования:

курс математики основной школы. Объект исследования:

рациональные уравнения в курсе математики основной школы. Предмет ИСЛЕДОВАНИЯ:

Задачи: Изучить литературу по теме исследования. Дать определения основным понятиям темы „Рациональные уравнения”. Выделить основные методы решения данных уравнений. Разработать систему упражнений, в которой должны быть представлены как основные виды рациональных уравнений, так и методы их решения. Показать особенности решения разных видов рациональных уравнений.

Введение Глава 1. Классификация уравнений. Методы решения рациональных уравнений Краткие исторические сведения Основные понятия линий уравнений Классификация уравнений. Рациональные уравнения Методы решения рациональных уравнений Глава 2. Система упражнений по теме «Рациональные уравнения » Примеры уравнений, сводимых к квадратным Примеры уравнений, решаемых методом замены переменной Примеры уравнений, решаемых графическим методом Примеры уравнений с модулем, решаемых с применением метода интервало в С одержание :

Глава 3. Методические рекомендации по изучению данной темы в школьном курсе математики Общие методические рекомендации Разработка урока по теме «Линейные уравнения» Разработка урока по теме «Квадратные уравнения» Разработка урока по теме «Дробно – рациональные уравнения» Заключение Список используемой литературы С одержание :

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Дипломная работа уравнения и неравенства в школьном курсе математики

ФБГОУ ВПО «Мордовский государственный

педагогический институт имени М.Е. евсевьева»

Кафедра математики и методики обучения математики

Методика формирования умений решать уравнения и неравенства с параметрами в курсе основной общеобразовательной школе

Автор курсовой работы:

студентка группы МДМ-110 А.И. Зимина

Специальность: 050201.65 «Математика» с дополнительной специальностью 050202 «Информатика»

. Теоретические основы линий уравнений и неравенств в школьном курсе математики

.1 Виды уравнений в школьном курсе математики

.2 Виды неравенств в школьном курсе математики

.3 Особенности решения уравнений с параметрами

.4 Особенности решения неравенств с параметрами

. Методические рекомендации к решению уравнений и неравенств с параметрами

Список используемой литературы

На современном этапе развития школьного образования становятся приоритетными развивающие цели обучения. В связи с этим при изучении математики особую значимость приобретает организованное обучение приемам мышления, рационального выполнения учебной деятельности, что исключительно важно при усвоении трудных тем и решении сложных задач таких, как уравнения и неравенства с параметрами. Именно недостаточная сформированность приемов учебной деятельности является одной из причин того, что большинство учащихся совершает ошибки или испытывает затруднения при решении даже несложных задач такого рода.

Изучением задач с параметрами, их роли в обучении, понятий, связанных с их решением, в разные годы занимались М.И. Башмаков , Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Г.Л. Луканкин, Я.Л. Крейнин, В.К. Марков, А.Г. Мордкович, Н.Х. Розов, Г.И. Саранцев, Р.А. Утеева и др. Многие из них подчеркивали важность обучения школьников приемам решения уравнений и неравенств с параметрами прежде всего в связи с необходимостью подготовки учащихся к выполнению работ итоговой аттестации и различного рода конкурсных испытаний. При этом большинство авторов характеризует задачи с параметрами как исследовательские задачи, требующие высокой логической культуры и техники исследования; как наиболее сложные в логическом и семантическом плане вопросы элементарной математики. В этой связи В.В. Вересова, В.И. Горбачев, Н.С. Денисова, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович, Т.Н. Полякова, Г.А. Ястребинецкий и др. справедливо замечают, что для описания процесса их решения необходимо использовать систему понятий, математических утверждений и фактов, определяемую фундаментальными математическими идеями; некоторые из них предпринимают попытки к ее разработке. Однако в многочисленных пособиях и руководствах справочного и методического характера для поступающих в вузы рассматриваются лишь частные приемы решения конкретных уравнений и неравенств с параметрами, чаще всего в рамках широкого спектра конкурсных заданий.

Уравнения и неравенства, содержащие параметр, не изучаются систематически в школьном курсе математики, а рассматриваются лишь отдельные их простейшие примеры. Поэтому методы и приемы решения таких задач большинству учащихся не известны.

Актуальность данной темы состоит в том, что анализируя экзаменационные работы по математике, приходишь к выводу, что за курс математики в общеобразовательной школе учащимися должны быть отработаны умения решения задач с параметрами. Кроме непосредственной подготовки учащихся к экзаменам по данному разделу математики (решение задач с параметрами), главная его задача — поднять на более высокий уровень изучение математики в школе, следующий за развитием умений и навыков решения определенного набора стандартных задач.

Объект исследования: процесс формирования умений решать уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе метематике основной школы.

Предмет исследования: уравнения и неравенства с параметрами.

Цель исследования: выделить виды, методы решения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математике.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

) Изучить и проанализировать специальную литературу по проблеме исследования;

)Рассмотреть роль уравнений и неравенств в школьном курсе математике;

)Разработка методических рекомендаций к решению уравнений и неравенств с параметрами.

1. Теоретические основы линий уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.

в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, — это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями (k-натуральное число, большее 1.

Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показывают влияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

.1 Виды уравнений в школьном курсе математике

уравнение неравенство математика

Понятие «уравнение » относится к важнейшим общематематическим понятиям.

Существуют различные трактовки понятия «уравнение».

И.Я. Виленкин и др. приводит логико — математическое определение уравнения. Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно x называется предикат вида , где и — термы относительно заданных операций, в запись которого входит символ .Аналогично определиться уравнение от двух и более переменных.

Принятые в логики термины «терм» и «предикат» соответствуют такие термины школьной математики как «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению можно считать следующее определение: «Предложение с переменной, имеющий вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением». Такое определение приведено в учебнике «Алгебра и начала анализа» А.Н Колмогоров и др. Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнение вводится по средством выделение его из алгебраического метода решения задач. Например, в учебнике Ш.А.Алимова и др. понятие уравнение вводиться на материале текстовой задачи. Переход к понятию уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи, выражающих содержание данной задачи в алгебраической форме: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением». Указываемый способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения — прикладному.

Еще один подход к понятию уравнения получается при составления области определения уравнения и множества его корней. Например, в учебнике Д.К.Фадеева «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное числовое равенство при допустимых наборов букв, называется уравнение».

Можно встретить и третий вариант определения, роль которого проявляется при изучения графического метода решения уравнений: «Уравнение — это равенство двух функций».

Среди всех изучаемых в курсе математике типов уравнений В.И. Мишин выделяет сравнительно ограничение количество основных типов. к их числу относится: линейное уравнение с одним неизвестным, систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, квадратные уравнения, простейшие иррациональные и трансцендентные.

Ю.М.Колягин и др. классифицируют по виду функций, представляющих правую и левую части уравнений:

алгебраическим, если и — алгебраические функции;

трансцендентным, если хотя одним из функций и трансцендентная;

рациональным алгебраическим (или просто рациональным) , если алгебраические функции и рациональные;

иррациональным алгебраическим( или просто иррациональным), если хотя бы одна из алгебраических функций и иррациональная;

целым рациональным, если функция и целые рациональные;

дробным рациональным, если хотя бы одна из рациональных функций и дробная рациональная.

Уравнение , где — многочлен стандартного вида, называется линейным (первой степени), квадратным( во второй степени), кубическим (третьей степени) и вообще — ой степени, если многочлен , имеет соответственно первую, вторую, третью и вообще — ую степень.

В школе изучаются несколько типов уравнений. К их числу относятся: линейные уравнения с одной не известной, квадратные уравнения, иррациональные и трансцендентные уравнения, рациональные уравнения. Эти типы уравнений изучаются с большой тщательностью, для них указывается и доводиться до автоматизма выполнение алгоритма решения, указывается форма, в котором должен записываться ответ.

Виды уравнений и методы решения:

Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Найти все корни уравнения или доказать, что их нет — это значит решить уравнение.

Пример 1: Решить уравнение .

Квадратное уравнение — это уравнение вида , где коэффициенты a, b и c — любые действительные числа, причем а?0.

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Пример 2: Решить уравнение

Данное уравнение можно решить либо через Теорему Виета, либо через дискриминант.

рациональные уравнения — уравнения вида

где и многочлены, атак же уравнения вида , где и — рациональные.

Пример 3: Решить уравнение

Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Пример 4: Решить уравнение

Возведем обе части в квадрат:

) Показательные и логарифмические уравнения

При решения показательных уравнений используются два основных метода: а) переход от уравнения к уравнению ;б) введения новых переменных. Иногда приходиться применять исскуственные приемы.

Логарифмические уравнения — решаются тремя методами, то есть переход от уравнения к уравнению — следствию ;метод введения новых переменных логарифмирования, то есть переход от уравнения к уравнению .

А так же во многих случаях при решения логарифмического уравнения приходиться использовать свойства логарифма произведения, частного, степени , корня.

.2 Виды неравенств в школьном курсе

В целом изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений.

Отметим ряд особенностей изучения неравенств.

. Как и в случае уравнений отсутствует теория равносильности неравенств. Учащимся предлагаются её незначительные фрагменты, приведённые в содержании учебного материала.

. Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Например, такая ситуация возникает при решении рациональных неравенств методом интервалов, при решении простейших тригонометрических неравенств.

. В изучении неравенств большую роль играют наглядно — графические средства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» ( , a; или если a > b, то b b, то a + c > b + c; или если a b и c > d, то a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или b и c b — d . Или, если a d, то a — c b и m > 0, то ma > mb и a/m > b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак.

. Если a > b и m алгебраические;

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Неравенство — алгебраическое, первой степени.

Неравенство — алгебраическое, второй степени.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Лекция III УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики

Решение уравнений и неравенств составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Уравнения и неравенства уже сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. Этой ролью уравнений и неравенств в естествознании определяется и их роль в школьном курсе математики. Но дело не только в этом. При изучении любой темы уравнения и неравенства могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся. Операции над числами и свойства этих операций, функции и свойства функций, метрические соотношения между элементами геометрических фигур, а также связанные с этими вопросами тождества и тождественные преобразования в процессе изучения сразу же могут находить отражение в упражнениях на решение уравнений и неравенств. Например, ознакомившись с распределительным законом умножения относительно сложения, учащиеся могут применить его к решению уравнений вида (* + 5) • 2 = 16, 14* + 27х = 656; в 7 классе решение вопроса: может ли уравнение * 4 — 25* 3 + 13* 2 — 20* +1=0 иметь отрицательные корни? — не только потребует применения знаний свойств степеней рациональных чисел, но и будет способствовать развитию исследовательских способностей учащихся. Возможность разнообразить формы упражнений (решить заданное уравнение (неравенство); составить уравнение (неравенство) по заданному множеству его решений; решить задачу с помощью уравнения (неравенства); составить задачу по заданному уравнению (неравенству); составить два уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество решений и т. д.) способствует развитию сообразительности, находчивости и инициативы учащихся.

Графическое решение уравнений и неравенств раскрывает значение методов аналитической геометрии, играет большую роль в развитии пространственного воображения. Решение задач из разных разделов математики с помощью уравнений и неравенств формирует представление о единой математике и относительном характере её расчленения на арифметику, алгебру, геометрию.

Значительна роль метода уравнений и неравенств в решении задач жизненного содержания. Решение задач, связанных с основами современного производства, экономикой народного хозяйства, со смежными дисциплинами может служить одним из эффективных способов осуществления принципа связи преподавания математики с жизнью, подготовки учащихся к свободному выбору будущей профессии.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой Древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX — VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, фактически, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться первые алгебраические представления. Сначала был создан метод решения текстовых задач. Он послужил в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения. Это изучение осуществлялось в период VI — X вв. н. э. сначала арабскими математиками, выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения. Именно они в итоге длительного поиска создали язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т.д.).

На рубеже XVI — XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее её развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилось, какую важную роль играет понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Р. Декарт, XVII в.), развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связываюсь теперь уже с тремя главными областями своего функционирования: 1) уравнение как средство решения текстовых задач; 2) уравнение как особого рода формула, которая служит в алгебре объектом изучения; 3) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), являющиеся его решением.

Таким образом, уравнение как общсматсматичсскос понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

• а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, так как он связан с обучением приемам, которые используются в приложениях математики. Прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они используются в математическом моделировании.
• б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых. в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекты необходимы в курсе школьной математики.
• в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики.

Эта линия тесно связана с числовой линией. Все числовые области, которые рассматриваются в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств. 11апример, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х 1 = Ь, где b — неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, которые разрабатываются в линии уравнений и неравенств, к исследованию функций (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние на содержание линии уравнений и неравенств и на стиль её изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

Следует отметить взаимосвязь линии уравнений и неравенств с алгоритмической линией. Само содержание понятия алгоритма может быть выделено на основе анализа процесса решения уравнений различных классов. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений и неравенств заключается прежде всего в возможности использования её понятий для описания алгоритмов решения уравнений, неравенств и систем различных классов.

🎬 Видео

Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Урок 5. Неравенства и системы неравенств. Алгебра ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение системы неравенствСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

Уравнения и неравенстваСкачать

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Уравнение с модулемСкачать