Дипломная работа «Рациональные уравнения в курсе алгебры основной школы»
Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Как известно, рациональные уравнения изучаются в 8-9 классах. Стандарт образования ставит целью формирование умения решать простейшие целые, дробно-рациональные уравнения и применять их на практике. Дробно-рациональные уравнения в дальнейшем широко используются при решении логарифмических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств, часто встречаются в задачах повышенной трудности, в заданиях математических олимпиад, в вариантах выпускных и вступительных экзаменационных работ в вузы.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Предварительный просмотр:
Видео:Как решают уравнения в России и США!?Скачать
Подписи к слайдам:
«РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ » Подготовила: Горобцова Елена Васильевна Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и МПМ Титоренко Светлана Алексеевна
выделить основные методы решения рациональных уравнений и разработать соответствующую систему упражнений. ЦелЬ исследования:
курс математики основной школы. Объект исследования:
рациональные уравнения в курсе математики основной школы. Предмет ИСЛЕДОВАНИЯ:
Задачи: Изучить литературу по теме исследования. Дать определения основным понятиям темы „Рациональные уравнения”. Выделить основные методы решения данных уравнений. Разработать систему упражнений, в которой должны быть представлены как основные виды рациональных уравнений, так и методы их решения. Показать особенности решения разных видов рациональных уравнений.
Введение Глава 1. Классификация уравнений. Методы решения рациональных уравнений Краткие исторические сведения Основные понятия линий уравнений Классификация уравнений. Рациональные уравнения Методы решения рациональных уравнений Глава 2. Система упражнений по теме «Рациональные уравнения » Примеры уравнений, сводимых к квадратным Примеры уравнений, решаемых методом замены переменной Примеры уравнений, решаемых графическим методом Примеры уравнений с модулем, решаемых с применением метода интервало в С одержание :
Глава 3. Методические рекомендации по изучению данной темы в школьном курсе математики Общие методические рекомендации Разработка урока по теме «Линейные уравнения» Разработка урока по теме «Квадратные уравнения» Разработка урока по теме «Дробно – рациональные уравнения» Заключение Список используемой литературы С одержание :
Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать
Дипломная работа: Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике 2
Название: Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике 2 Раздел: Рефераты по педагогике Тип: дипломная работа Добавлен 14:01:12 10 декабря 2010 Похожие работы Просмотров: 1228 Комментариев: 22 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Вятский государственный гуманитарный университет»
Кафедра дидактики физики и математики
Выпускная квалификационная работа
Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы
студентка V курса физико-математического факультета (специальность 050201.65 Математика)
Халиуллина Розалия Рафильевна
кандидат педагогических наук, доцент кафедры дидактики физики и математики Крутихина Марина Викторовна
старший преподаватель кафедры дидактики физики и математики Ошуева Елена Сергеевна
Работа допущена к защите в ГАК
«___» _________2008 г. Зам. зав. кафедрой ____________ М. В. Крутихина
«___» _________2008 г. Декан факультета ______________ Е. В. Кантор
Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике – уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. предусматривает создание “системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда… отработка гибкой системы профилей”.[17] Широкий переход на профильное обучение в старших классах общеобразовательных учреждений Российской Федерации начался с 2006/07 учебного года.
В России имеется опыт дифференцированного обучения. В 1864 г. было введено разделение образования на два типа — “классическое” (открывающее путь для поступления в университет) и реальное. Проект реформы образования 1915–1916 гг. предусматривал разделение на три варианта: новогуманитарное, гуманитарное и реальное образование. С 1918 по 1934 г. в старших классах выделялось три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое. В 1934 г. были введены единые учебные планы и единые учебные программы. Но дальнейшее развитие социалистического строительства вызвало необходимость дифференциации обучения. Для этого, наряду с развитием системы школ (классов) с углубленным изучением отдельных предметов, в 1966 г. были организованы массовые факультативные курсы в общеобразовательных школах.
В 1970–1980 гг. обучение старшеклассников было связано с получением массовых профессий в системе учебно-производственных комбинатов. Однако этот опыт оказался малоэффективным: существенные затраты на узкопрофильное обучение не восполнялись из-за невостребованности этих профессий на рынке труда. Федеральный закон “Об образовании”, принятый в 1992г., открыл возможности для создания широкого спектра общеобразовательных учреждений (лицеев, гимназий, колледжей), широко реализующих вариативные программы обучения, в том числе и профильной предпрофессиональной подготовки [15].
В настоящее время программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определенном методе познания мира [32]. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объем знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых для занятий часов сокращается. Одним из средств реализации требований программы и решения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов. Согласно «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» [18] особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Их введение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, при котором существенно расширяются возможности построения учащимися индивидуальных образовательных программ, поскольку элективные курсы в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Мотивами для выбора элективного курса у учеников могут быть следующие:
— подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;
— поддержка изучения базового курса математики;
В курсы может быть включен материал, связанный с уравнениями и неравенствами. Он составляет значительную часть школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы. Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений и неравенств с параметром и т.д.).
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнений и неравенств, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию – линию уравнений и неравенств [25]. Существует три основных направления развертывания данной линии в школьном курсе математики.
— Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Уравнения и неравенства являются основной частью математических средств, используемых при решении текстовых задач.
— Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем, и в изучении обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом.
— Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.
С каждым уравнением, неравенством связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее, их свойств, не может не влиять на решение задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения. Изученные свойства функций и методы их исследования должны найти применение в школе при решении уравнений, неравенств. В школьном курсе математики рассмотрение этих вопросов остается в стороне, но в ЕГЭ достаточно часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций. Поэтому целесообразно этот материал вынести на курсы по выбору.
Таким образом, тема данной работы «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы» актуальна
Объект исследования: процесс применения свойств функции как метода решения уравнений, неравенств на элективных курсах в старших классах.
Предмет исследования: методика изучения темы «Использование свойств функций для решения уравнений и неравенств» на элективных курсах.
Цель работы: разработать методику применения свойств функции для решения уравнений и неравенств на элективных курсах.
Гипотеза: умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся решать их на сознательной основе, использовать различные способы решения, выбирая из них наиболее рациональные, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Проанализировать программу и основные учебники, предусмотренные Федеральным перечнем учебников по математике для 10-11 классов, с точки зрения применения свойств функций при решении уравнений и неравенств.
2. Проанализировать задания и результаты ЕГЭ.
3. Подобрать систему заданий для работы на элективных курсах по математике.
4. Разработать методические рекомендации по обучению решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций.
5. Осуществить опытное преподавание.
Для решения поставленных задач применялись следующие методы:
1. Изучение математической, методической и педагогической литературы.
2. Анализ школьных учебников, текстов и результатов ЕГЭ.
3. Опытное преподавание.
4. Наблюдение за работой учащихся на уроках и внеклассных занятиях по математике.
Глава I. Теоретические основы разработки элективных курсов
Элективные курсы по математике (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. Курсы по выбору способствуют созданию условий для существенной дифференциации и индивидуализации содержания обучения математике старшеклассников. В отличие от факультативных курсов, существующих сейчас в школе, элективные курсы обязательны для учащихся.
1.1.Типы учебных предметов профильного обучения
Профильное обучение является средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Согласно концепции профильного обучения [18] на старшей ступени предполагается возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что позволит обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные [19].
Базовые общеобразовательные предметы являются обязательными для всех учащихся и инвариантными для всех профилей обучения. Предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных предметов: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания (для естественно-математического, технологического и иных возможных профилей), естествознания (для гуманитарного, социально-экономического и иных возможных профилей).
Профильные общеобразовательные предметы – предметы, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения, являются обязательными для учащихся, выбравших данный профиль обучения. Обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов.
Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы становятся основным средством удовлетворения индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей школьника.
1.2.Цели, задачи, функции элективных курсов
Цель изучения элективных курсов – ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности.
Исходя из этого, можно сформулировать требования к тематике и содержанию элективных курсов:
— иметь социальную и личностную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся;
— способствовать социализации и адаптации учащихся, предоставлять возможность для выбора индивидуальной образовательной траектории, осознанного профессионального самоопределения;
— поддерживать изучение базовых и профильных общеобразовательных предметов, а также обеспечивать условия для внутрипрофильной специализации обучения;
— обладать значительным развивающим потенциалом, способствовать формированию целостной картины мира, развитию общеучебных, интеллектуальных и профессиональных навыков [15].
Задачи элективных курсов:
1)создание условий для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с определенным видом профессиональной деятельности;
2)помочь старшекласснику, выбравшему образовательную область для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности, с ней связанных.
Традиционное разделение задач на три группы – обучение, воспитание, развитие – не обязательно, поскольку оно зачастую является искусственным и не отражает целостности образовательного процесса.
В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные курсы выполняют различные функции :
— развивают содержание базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи единого государственного экзамена по математике;
— дополняют содержание профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углубленным;
— удовлетворяют разнообразные познавательные интересы школьников, выходящие за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности.
— ориентируют в особенностях будущей профессиональной деятельности [22].
Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно.
Элективные курсы направлены:
1) на формирование умений и способов деятельности, связанных с решением практических задач по математике;
2) получение дополнительных знаний по математике, интегрирующих полученные знания в единую научную картину мира;
3) приобретение образовательных результатов, востребованных на рынке труда;
4) подготовку выпускников к принятию решения о профессиональной подготовке, а также к итоговой аттестации в форме ЕГЭ, к конкурсным экзаменам в вузы.
В научно-методической литературе условно выделяют три типа элективных курсов [22]:
I. Предметные курсы , задача которых — углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный школы.
В свою очередь, предметные элективные курсы можно разделить на несколько групп.
1. Элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне.
2. Элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета.
3. Элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета.
4. Прикладные элективные курсы, цель которых — знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству.
5. Элективные курсы, посвященные изучению методов познания природы.
6. Элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы (история физики, биологии, химии, географических открытий), так и не входящего в него (история астрономии, техники, религии и др.).
7. Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т.д.), составлению и решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.
II. Межпредметные элективные курсы, цель которых — интеграция знаний учащихся о природе и обществе.
III. Элективные курсы по предметам , не входящим в базисный учебный план.
Набор элективных курсов на основе базисного учебного плана определяется самой школой (школьный компонент).
Так как элективные курсы выбираются самими учащимися, они должны соответствовать их потребностям, целям обучения и мотивам выбора курса. Следует отметить, что к основным мотивам выбора элективных курсов в 10-11 классе, которые необходимо учитывать при разработке и реализации элективных курсов относятся:
· подготовка к ЕГЭ по профильным предметам;
· приобретение знаний и навыков, освоение способов деятельности для решения практических, жизненных задач, уход от традиционного школьного «академизма»;
· возможности успешной карьеры, продвижения на рынке труда;
· поддержка изучения базовых курсов;
· интеграция имеющихся представлений в целостную картину мира.
То, что набор элективных курсов определяют сами школьники, ставит учащихся в ситуацию самостоятельного выбора индивидуальной образовательной траектории, профессионального самоопределения. В связи с этим основными принципами обучения должны являться:
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
1.4. Требования к содержанию программ элективных курсов
Основой для работы учителя, ведущего элективный курс, могут стать программы факультативных курсов, разнообразные учебные пособия.
Базовыми требованиями к содержанию программ элективных курсов являются следующие:
1) ориентация на современные образовательные технологии;
4) наличие пособия, содержащего необходимую информацию;
5) краткосрочность проведения курса;
6) развитие содержания одного из базовых курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных предметов на предпрофильном уровне;
7) удовлетворение познавательных интересов школьника в различных областях деятельности человека;
8) ознакомление учащихся с комплексными проблемами, выходящими за рамки традиционных учебных предметов.
Методической задачей учителя является отбор заданий в соответствии с функциями элективного курса и структурирование их особым образом. Содержанием элективного курса, направленного на углубление математики, может быть учебный материал, который проверяется на ЕГЭ в части С на высоком уровне сложности. Он выступает в качестве дополнительной подготовки учащихся к ЕГЭ по математике и обеспечивает взаимосвязь с обязательным минимумом содержания обучения на профильном уровне.
Содержанием элективных курсов, развивающих базовый курс математики для изучения смежных предметов на профильном уровне, могут стать новые темы обязательного минимума содержания обучения математике по профильному курсу.
Для отбора содержания элективных курсов с целью дополнительной полготовки к ЕГЭ можно руководствоваться общим перечнем контролируемых вопросов содержания курса математики в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. Для этой цели могут служить учебно-методические пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.
1.5.Место курса в образовательном процессе
При разработке содержания и методической системы элективного курса важно показать, каково место курса в соотношении как с общеобразовательными, так и с базовыми профильными предметами:
· какие межпредметные связи реализуются при изучении элективного курса;
· какие общеучебные и профильные умения и навыки при этом развиваются;
· каким образом создаются условия для активизации познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения;
· как введение курса в учебный план конкретной школы поможет в выявлении и решении проблем школьного общества (например, развитие школьного самоуправления; организация досуга учащихся; усиление взаимодействия семьи и школы; школы, местной администрации, общественности; учет регионального компонента; улучшение имиджа и повышения конкурентоспособности школы).
Элективные курсы характеризуется тем, что из предложенного их набора ученик может выбрать те, которые ему интересны или нужны. Как только курс выбран, он становится таким же, как нормативный: с обязанностью посещать и отчитываться. Элективный курс в профильной школе краткосрочен, но его объем по часам (максимум 72 часа) выше, чем рекомендуемый объем курсов по выбору для девятиклассников (максимум 35 часов).
Элективные курсы в старшей школе должны быть систематичными (раз или два раза в неделю). В 10-11 классах целью элективного курса является расширение, углубление знаний, выработка специфических умений и навыков, знакомство с новыми областями науки в рамках выбранного профиля.
1.6.Методы и формы обучения
Методы и формы обучения должны определяться требованиями профилизации обучения, учета индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития личности. В связи с этим выделяют основные приоритеты методики изучения элективных курсов [15]:
· учет индивидуальных особенностей и потребностей учащихся;
· интерактивность (работа в малых группах, ролевые игры, имитационное моделирование, тренинги, метод проектов);
· личностно-деятельностный и субъект-субъективный подход
· (большее внимание к личности учащегося, а не целям учителя, равноправное их взаимодействие);
Ведущее место в обучении следует отвести методам поискового и исследовательского характера, стимулирующим познавательную активность учащихся. Значительной должна быть доля самостоятельной работы с различными источниками учебной информации. При этом главная функция учителя – фасилитация – лидерство, основанное на совместной деятельности, направленное на достижение общей образовательной цели. Такой подход позволяет создать лишенный духа соперничества, конкуренции, агрессивности, доверительный психологический климат, в основе которого- взаимообучение, взаимопомощь, сотрудничество. Из единственного источника знаний в традиционном обучении учитель – фасилитатор превращается в «проводника» в мир знаний: эксперта и консультанта- при изучении теоретического материала и выполнения самостоятельных заданий, ведущего – в имитационной игре и тренинге, координатора и консультанта- при выполнении учебного проекта.
При определении форм организации учебных занятий следует исходить прежде всего из специфических целей курса. Преобладающие формы организации учебной деятельности на элективных курсах: лекции, семинары, лабораторно-практические занятия, коллоквиумы, зачеты.
Поскольку не исключается изучение элективного курса даже одним учащимся, необходимо предусмотреть варианты изучения как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. В то же время, если содержание курса может быть освоено только в групповых или коллективных формах, то следует оговорить минимальную численность учебной группы.
Важно предусмотреть использование таких методов и форм обучения, которые давали бы представление учащимся об условиях и процессах будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем обучения, т. е. в какой-то степени моделировали бы их.
1.7.Формы контроля уровня достижений учащихся.
Не менее важно продумать систему форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки. Необходимо разработать как формы промежуточного контроля, так и формы итоговой зачетной работы по курсу. Оценка может выставляться как в форме «зачтено/не зачтено», так и по балльной шкале. С целью повышения привлекательности курса для учащихся и повышения шансов его продвижения на рынке образовательных услуг желательно, чтобы формы и содержание контроля уровня достижений учащихся в рамках элективного курса согласовывались с требованиями контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по базовым предметам.
Для контроля уровня достижения учащихся могут быть использованы такие способы, как наблюдение активности на занятии, беседа с учащимися, родителями, экспертные оценки педагогов по другим предметам, анализ творческих, исследовательских работ, результатов выполнения диагностических заданий учебного пособия или рабочей тетради, анкетирование, тестирование. Важно использовать оценку промежуточных достижений, прежде всего как инструмент положительной мотивации, а также своевременной коррекции деятельности как учащихся, так и учителя.
Для проведения итоговой аттестации по результатам изучения курса можно использовать:
— специальную зачетную работу (экзамен, тест);
— портфолио ученика (совокупность самостоятельно выполненных работ и документально подтвержденных достижений;
— накопительную систему оценивания (когда результаты выполнения всех предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса).
Важным элементом методической системы элективного курса является определение ожидаемых результатов изучения курса [16]. Ожидаемый результат изучения курса подразумевает ответы на следующие вопросы: какие знания, умения, опыт, необходимые для построения индивидуальной образовательной траектории в школе и успешной профессиональной карьеры по ее окончании, будут получены, какие виды деятельности будут освоены, какие ценности будут предложены для усвоения [15].
1.8.Правила оформления программ
Структурными элементами программы элективного курса являются[22]:
1) титульный лист;
2) пояснительная записка;
3) требования к подготовке учащихся
4) учебно-тематический план;
5) содержание изучаемого курса;
6) методические рекомендации;
7) список литературы.
Пояснительная записка включает:
· аннотацию, обоснование необходимости введения данного курса в школе. Аннотация должна включать в себя название, основное содержание, для кого предназначен курс. Важно, чтобы аннотация была краткой и в то же время давала потребителю достаточно полное представление о курсе: в чем привлекательность курса для учащихся, для учителей, родителей, школьного сообщества в целом;
· указание на место и роль курса в профильном обучении (важно показать, каково место курса в соотношении как с общеобразовательными, так и с базовыми профильными предметами; какие межпредметные связи реализуются при изучении элективных курсов, какие общеучебные и профильные умения и навыки при этом развиваются, каким образом создаются условия для активизации познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения);
· цель и задачи элективного курса (цель курса – для чего он изучается, какие потребности субъектов образовательного процесса удовлетворяет: учащихся, учителей, школьного сообщества, общества; задача курса – что необходимо для достижения целей);
· сроки реализации программы (продолжительность обучения, этапы);
· основные принципы отбора и структурирование материала.
Содержание изучаемого курса включает перечень тем, вопросов теоретической и практической части и их описание.
Список литературы состоит из списка книг, использованных при разработке элективного курса и списка литературы, рекомендованной учащимся.
1.9 Элективные курсы в образовательной области «Математика»
В старших классах школы изучаются два предмета, составляющих образовательную область “Математика”, – алгебра и основы математического анализа и геометрия.
Сейчас наметилась тенденция наличия в учебном плане школы одного предмета – математики. Можно предположить, что в создаваемой профильной школе, скорее всего, в классах естественнонаучного математического профиля, сохранится раздельное обучение алгебре и геометрии. А вот в классах других профилей в учебном плане, вероятнее всего, будет присутствовать интегрированный курс математики.
Специфика преподавания математики в старших классах во многом определяется еще и тем, что экзамен по математике ( в данное время по алгебре и началам анализа) является обязательным для всех школьников. В настоящее время этот экзамен проводится в виде ЕГЭ. Единый государственный экзамен по математике – процедура серьезная, требующая специальной подготовки.
Математику, в отличие от других предметов, сдают в вузах разного профиля (математических, естественнонаучных, технических, экономических, военных, связанных с математической лингвистикой и т. д.). С введением ЕГЭ на учителя математики явно или неявно возлагается еще большая ответственность за сдачу его выпускниками вступительных экзаменов в вуз.
Из всего вышеизложенного можно сделать вывод, что в профильной школе математика займет весьма важное место, учитель математики независимо от профиля будет, так или иначе, стремиться к увеличению числа учебных часов по своему предмету, поэтому, скорее всего, абсолютное большинство учителей математики будут заинтересованы во введении элективных курсов.
Вывод по параграфу: изложенные выше цели, задачи, типы, требования к элективным курсам необходимо учитывать при разработке любого элективного курса.
2.1.Общие методы решения уравнений
В методической литературе [25], [26] принято все методы, на которых основана школьная линия уравнений и неравенств с 7 по 11 классы, делить на три группы:
— метод разложения на множители;
— метод введения новых переменных;
В данной работе мы рассмотрим третий метод, а именно, использование графиков функций и различных свойств функций.
К применению функционально-графического метода школьников необходимо приучать с самого начала изучения темы «Уравнения».
Решение некоторых задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности и т.п. входящих в них функций.
Проанализировав учебники, можно сделать вывод, что данная тема рассматривается только в учебниках математики нового поколения [2], [3], [5], [6] Построение курса в этих учебниках осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. В остальных учебниках функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен. Использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. В новых учебниках содержится также достаточное количество заданий этого типа. В учебнике [2] содержатся задания повышенного уровня. Приведена наиболее полная система заданий, систематизированная по каждому свойству функции.
А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеоб-разовательных учреждений[5], [6]
А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) [3]
С.М.Никольский и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений[2]
А.Н. Колмогоров и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений[4]
Ш.А. Алимов и др. «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеобразовательных учреждений[1]
Глава 8 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)
Глава 6 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)
Глава II «Уравнения, неравенства, системы»
Нет отдельно выделенной темы. Но в теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» формулируется теорема о корне, которая используется в дальнейшем изучении
Нет отдельно выделенной темы
— §56 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)
— §27 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)
— Уравнения (неравенства)вида ;
— §12*Нестадартные методы решения уравнений и неравенств (использование областей существования функций, неотрицательности функций, ограниченности, использование свойств sin и cos, использование производной)
Свойство монотонности функции, четности-нечетности (при выводе формул корней тригонометрических уравнений)
Упоминается свойство монотонности при разборе примера в теме «Показательная функция»
Примеры рассматриваемых уравнений и неравенств
(;
);
Решить уравнение.
Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет уравнение?
Решить уравнение
2.3.Анализ ЕГЭ (текстов и результатов)
Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим.
Анализ текстов ЕГЭ показал, что задания, при решении которых используются свойства функций встречаются каждый год.
В 2003 году в заданиях А9 и С2 при решении можно применить свойства функций:
· А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения . (выполнили верно 64,1% учащихся).
· С2. Найдите все значения p , при которых уравнение не имеет корней. (104 учащихся получили 4 балла, 36 – 3балла, 56 – 2балла, 261 – 1балл, не справились с заданием 13696 учащихся) [33].
В 2004 году – задание В2. Сколько корней имеет уравнение . (выполнили верно менее 40% учащихся) [34].
В 2005 году задание С2 (решите уравнение ) выполнили 37% учащихся [42].
В 2007 при выполнении задания «Решите уравнение» в части В выпускники при решении уравнения рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля. Хотя внимательный анализ условия задания показывает, что на промежутке , на котором следует искать корни уравнения, выражение принимает только положительные значения [42].
Анализ ответов участников экзамена показывает, что даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя «шаблонные» методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.
Очевидно, что при выполнении приведенных выше заданий хорошо подготовленный выпускник должен был показать не только знание известных методов решения уравнений или преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т.п., то есть показать определенный уровень развития математического мышления.
Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления. Для реализации поставленной цели могут служить элективные курсы.
2.4. Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств
1. Использование области определения функции. Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве M, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).
Если множество M, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет [2], [31].
Пример 1. Решить уравнение
ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям . Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.
Пример 2. Решить неравенство
Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.
Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.
Ответ: .
2. Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях [21], [31]:
2.1Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f(x)=c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.
2.2.Пусть f(x) и φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного решения на этом промежутке.
2.3.Пусть функция f(x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f(x)>c достаточно решить уравнение f(x)=c . Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f(x).
Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.
Пример 3. Решить неравенство. Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части — убывает. Из этого следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если x0 – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение легко подбирается: .
Ответ: .
Пример 4. Решить уравнение
Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: .
3. Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения [2], [5], [31]:
1) пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение будет равносильно системе ;
2) если множество M совпадает с R , то уравнения и равносильны;
В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:
3) уравнение равносильно системе (При условии, что );
4) для любого натурального числа 2m уравнение равносильно системе .
Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.
Пример 5. Решить уравнение
Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня . Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.
Ответ: .
4. Использование понятия области изменения функции . При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?
Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).
Пусть дано уравнение f(x)= ,где f(x) и — элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2 . Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x , которые принадлежат обоим множествам, то есть A=X1 ∩X2 . Если множество A пустое (A= ), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠.
Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2 . Если x1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1 )= , где f(x1 ) – значение функции f(x) при x=x1 , а значение функции при x=x1.
Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f(x) и имеют общие элементы (Y1 ∩Y2 ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y1 ∩Y2 ≠ , еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками [41].
Пусть дано неравенство f(x)≤ ,где f(x) и — элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2 , причем X1 ∩X2 ≠. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2 . Если промежуток является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f(a)≤ , где f(a) – значение функции f(x) при x=a , а значение функции при x=a. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f(x) и имеют общие элементы (Y1 ∩Y2 ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет.
Пример 7. Решить уравнение.
ОДЗ – множество действительных чисел. Область изменения функции f(x)=‑ множество Y1 =, область изменения функции = ‑ множество Y2 = . Тогда Y1 ∩Y2 =∩= . Следовательно, если уравнение имеет решения, то ими могут быть только те значения x , при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Функция принимает это значение только один раз, при x= 0. Нетрудно убедиться, что f (0)=2.
5. Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций . Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.
Пусть имеем уравнение или неравенство F (x )=0, F (x )>0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (или x 0 (F (x ) 0 (или x 0).
Если функция F (x ) – периодическая, то решение уравнения F (x )=0 или неравенства F (x )>0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (или x 0 (F (x ) 0 (или x 0).
Решение задач. Список заданий написан на доске. Первое и второе учитель подробно разбирает. Остальные учащиеся самостоятельно решают в тетради и по желанию демонстрируют свое решение на доске.
1) Решить уравнение
Период, входящих в уравнение функций Т=200p. Возведем обе части в квадрат и получим ; . Проверим корни в пределах периода:
Решением уравнения является .
2) Решить уравнение ;
Заметим, что в обеих частях уравнения стоят четные функции, поэтому решим данное уравнение с использованием свойств четной функции. С учетом сказанного выше для четной функции, достаточно найти решения для x≥ 0. Но x= 0 не есть корень уравнения. Рассмотрим два промежутка (0, 2], (2, ∞). На промежутке (0, 2] имеем ; ; x= . На промежутке (2, ∞) имеем ; ; 3x =2x ; x= 0. Но так как x =0 не является корнем уравнения, то для x> 0 данное уравнение имеет корень x=. Но тогда x= ‑ также является корнем уравнения.
3) ;
4) .
3.Подведение итогов занятия.
Учитель выставляет баллы учащимся по одному баллу за решение домашнего задания и за решение у доски.
Постановка домашнего задания . На этом занятии завершается теоретическая часть курса. Следующий урок посветим решению разных задач. Поэтому вам нужно повторить всю теорию, посмотреть приемы решения уравнений и неравенств, рассмотренные нами на предыдущих занятиях. Занятие пройдет в форме игры. Класс нужно разделить на команды. Каждая команда готовит название, девиз.
Занятие №9 «Морской бой»
Цели: закрепить имеющиеся знания учащихся по изученному материалу.
Занятие проводится в форме игры «Морской бой». Основой игры является детская игра «Морской бой». Поле с проставленными на нем очками является игровым полем для данной игры. Например, для морского боя 5*5 клеток игровое поле и поле ведущего будут выглядеть следующим образом:
На игровом поле проставлены очки и буквы «Б» блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов), «М» — музыкальный конкурс (спеть песни, в которых содержаться числительные, кто больше), «К» — конкурс капитанов.
На поле у ведущего расположены корабли, координат которых играющие не знают.
Команды распределяют между собой поровну корабли (по 2 корабля каждой команде) и ведущий называет командам в тайне от других координаты этих кораблей.
Та команда, которой выпадает по жребию начинать игру, называет координату первого «выстрела». Если на этой клетке стоит корабль, то команда получает в плюс очки, проставленные на клетке и продолжает стрельбу. Если на этой точке нет корабля, то ведущий предлагает команде вопрос той сложности, сколько очков стоит на этой клетке. Если команда ответила правильно, то очки засчитываются в плюс, если неправильно или не ответила, то в минус. Ход переходит к противнику.
Команда выбывает из игры, если «потоплены» все её корабли. Выигрывает та команда, которая к моменту, когда сбиты все корабли, наберет больше очков (победителем может считаться и та команда, у которой остался последний корабль «на плаву»).
Участники: команды по 10 человек.
Продолжительность игры: около 90 минут.
Система судейства: воспитатели и группа детей.
Реквизит: игровое поле, табло для очков, модели кораблей для жеребьевки, фломастеры, для обозначения ходов на игровом поле.
1. Представление команд.
2. С помощью жребия выбирают, кто ходит первым.
Задания. 5 баллов:
1.;
2.;
1.;
2.;
3.;
1.;
2.;
3.;
4.;
1.;
2.;
3.;
4.;
5.;
1.;
2.;
3.;
4.;
5.;
6.;
7..
«К» — конкурс капитанов.
1. «БУКВЫ»: для проведения этого конкурса понадобится подготовить буквы алфавита по 3 – 4 пары каждой. Капитаны команд вытягивают из ящика (коробки) заранее оговоренное ведущим число букв (8 – 10). Задание – из букв сложить возможное количество слов. Победителем становится тот, кто быстрее и правильнее выполнит задание.
2. «СЛОГИ»: капитаны обмениваются слогами, перебрасывая, друг другу мяч. Например, первый говорит «да», второй «ча». И так до тех пор, пока кто-нибудь не запнется, не сможет составить слово. (Составляемые слова должны быть по изученной теме)
«М» — музыкальный конкурс (спеть песни про математику или в тексте которых содержится числительное, кто больше).
«Б» — блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов).
‑Что называется функцией?
‑Перечислите основные свойства функций.
‑Что называется областью определения функции?
‑Что называется множеством значений функции?
‑Какая функция называется четной?
‑Какая функция называется четной?
‑Приведите пример ограниченной функции.
‑Какая функция называется монотонной?
‑Приведите пример функции возрастающей на всей области определения.
Подведение итогов: выяснить допущенные ошибки, недостатки в проведении игры. Узнать мнение участников и зрителей о проведенном мероприятии. Команде-победителю вручается диплом и каждому члену команды ставится 5 баллов. Команде, занявшей второе место ставится 4 балла. Можно наградить отдельных участников в номинациях «Приз зрительских симпатий», «Лучший капитан», и т.д.
В конце урока напомнить учащимся, что следующее занятие зачетное.
Занятие №10 Зачет.
Цели: проверить знания учащихся по теме «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций».
Оборудование и средства: карточки с заданиями на 2 варианта.
1.Организационный момент. Постановка целей занятия, настрой на работу. На занятии ученикам предстоит выполнить зачётную работу, составленную по типу контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена, поэтому её можно считать непосредственно подготовкой к сдаче ЕГЭ, который предстоит пройти по окончании школы.
2.Проверка уровня знаний и умений. В работе предлагается три задания уровня А, с выбором ответа, три заданий уровня В, где требуется написать свой ответ. Далее учащиеся выполняют одно задание поля С, где требуется привести полное подробное решение. После проверки учителем выставляется итоговая оценка.
При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.
А1. Решите уравнение .
1) -2; 2) 2; 3)1; 4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корень только один, и он положительный;
2) корень только один, и он отрицательный;
3) корней два, и они разных знаков;
4)корней два, и они отрицательные.
А3. Найдите область значений функции .
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение
В3. Решите неравенство
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
С1. Найдите нули функции
При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.
А1. Решите уравнение .
1) -5; 2) 5; 3)4; 4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корней два, и они разных знаков;
2) корней два, и они положительные;
3) корень только один, и он положительный;
4) корень только один, и он отрицательный.
А3. Найдите область значений функции .
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение
В3. Решите неравенство
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
Рис. 5 Алгоритм решения уравнений на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами. [15]
1.3 Способы развития познавательного интереса к математике
Что может заставить младшего школьника задуматься, начать размышлять над тем или иным математическим заданием, вопросом, задачей, когда эти задания необязательны для него? Во всяком случае — не принуждение. Принуждение извне может лишь угнетать, а не возбуждать мыслительную деятельность ребенка. Не всегда могут активизировать мысль ученика и словесные просьбы и убеждения.
Основным источником побуждения младшего школьника к умственному труду на занятиях математики может послужить интерес. Поэтому учитель должен искать и находить средства и способы возбуждения интереса детей к тем математическим, логическим заданиям, которые он предлагает в процессе работы. Вызванный у детей интерес к отдельным заданиям, к математике вообще послужит стимулом для их участия в выпуске математической газеты, создания математического уголка, активного участия в математических викторинах, экскурсиях и т.п. Происходит и обратное влияние: участие в интересных математических экскурсиях, викторинах, выпуске газет, в занятиях, на которых предлагаются занимательные упражнения, могут возбудить интерес и к самой математики.
Чтобы возбудить интерес к математике надо постараться не только привлечь внимание детей к каким-то ее элементам, но и вызвать у ребенка удивление. У детей удивление возникает тогда, когда они видят, что сложившаяся ситуация не совпадает с ожидаемой. Если при этом удивление связано с возникновением некоторого удовольствия, то оно и превращается в приятное удивление. При непродуманной ситуации может быть и наоборот: возникнуть неприятное удивление. Надо учитывать, что удивление вызывает у детей более острое, сосредоточенное внимание. Удивление должно соседствовать с любопытством ребят, со стремлением их увидеть на математическом фоне что-то новое, узнать что-то до сих пор им не известное.
Удивление в сочетании с любопытством поможет возбудить активную мыслительную деятельность учащихся.
Привлечь первоначальное внимание детей к математике, например, можно разными средствами: особым, красочным оформлением классного помещения, в котором отражалось бы удивительное сочетание знакомого детям мира сказок с таинственным миром математики, необычными вступительными словами учителя, создавшего этим ситуацию, в которую включены детьми герои современных сказок и рассказов. Математика и сказки! Математика и любимые герои! Разве это не привлечет внимание ребят и не вызовет у них радостного удивления? Удивление и интерес вызывают у детей занимательно сформулированные вопросы, задачи, загадки, шарады, ребусы, несложные логические упражнения.
Интерес, как и другой вид эмоционального состояния, имеет явное внешнее выражение на лицах детей, в их поведении, словесных откликах. По этим внешним признакам учитель всегда может судить о том, вызван ли у детей интерес к данному внеклассному виду работы или нет. Однако приходится иногда сожалеть, что некоторые учителя на внеклассных занятиях в моменты повышенного интереса детей, во время вдохновенной мыслительной их работы, сопровождаемой внешним их возбуждением, бывают слишком строги к поведению ребят, стараясь заглушить в зародыше естественное внешнее проявление детьми своих чувств. С полной уверенностью мы утверждаем, что при соблюдении определенной меры на занятиях можно допускать более свободное переживание детьми удовольствий, с более свободным внешним их проявлением. Тогда у детей будет дольше сохраняться тот заряд интереса, который возник во время внеклассной работы, и служить стимулом к участию в последующих видах этой работы. Значительно лучше, скорее и прочнее запоминаются те мысли, которые были эмоциональны, вызвали живые, яркие чувства, чем те, которые оставили человека равнодушным.
Привлечь внимание детей и вызвать их удивление — это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко; труднее удержать интерес к работе по математике и сделать его достаточно стойким. Выше мы отметили, что для сохранения дальнейшего интереса к работе по математике нужно, чтобы дети не растеряли те чувства удовольствия, которые возникли у них на занятиях. Но это лишь один из приемов.
Поддерживая интерес различными приемами, надо его постепенно воспитывать: вначале как интерес к своей непосредственной деятельности во время занятий, затем чтобы он перерастал в интерес к математике как науке, в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям в области математики. Этот процесс сложный, длительный и его результаты зависят, главным образом, от педагогического мастерства учителя. В этом процессе нет готовых рецептов. Однако есть некоторые общие положения, которые не новы, но которых следует придерживаться в процессе воспитания интереса к математике. При организации работы по математике надо добиваться максимальной деятельности каждого ученика — организаторской, трудовой, особенно мыслительной для выполнения всевозможных заданий. Надо, чтобы каждый представлял себя или был действительно активным участником той ситуации, которую организовал учитель. (Это относится и к ситуации, описанной в задаче, к проводимой игре, к изготовлению наглядных пособий, к выпуску стенной газеты, плакатов, к созданию математического уголка и т.п.)
Материал, преподносимый учителем или предлагаемый отдельными учениками, должен быть понятен каждому ученику, иначе он не вызовет интереса, так как будет лишен для них смысла. Для поддержания интереса во всяком новом должны быть определенные элементы старого, известного детям. Только при условии установления связи нового со старым возможны проявления сообразительности и догадки. По отношению к большинству участников работы необходимо для выполнения математических заданий предусматривать оптимальные соотношения между новыми и старыми знаниями и умениями. Перегрузка заданий применением только старых знаний и умений или только новыми снижает интерес к этим заданиям. Оптимальное соотношение между указанными знаниями и умениями создает условия для достаточно длительного сохранения интереса детей к математическим заданиям.
Для облегчения перехода от известного к неизвестному в процессе занятий по математике полезно использовать различные виды наглядности: полную предметную наглядность, неполную предметную наглядность, символическую и представления по памяти, — исходя из того уровня развития в сознании учащихся, на котором находятся соответствующие математические понятия. Особенно умело и вовремя надо использовать детское воображение. Оно у них яркое, значительно сильнее интеллекта. Поэтому неудивительно, что волшебные сказки и для младших школьников еще не заметно вплетаются в действительность и служат прекрасным средством не только развлечения, но и воспитания и развития.
Устойчивый интерес к внеклассной работе по математике и к самой математике поддерживается тем, что эта работа проводится систематически, а не от случая к случаю. На самих занятиях постоянно должны возникать маленькие и доступные для понимания детей вопросы, загадки, создаваться атмосфера, возбуждающая активную мысль учащихся. Учитель всегда может выявить силу возникшего интереса к математике. Она выражается в той настойчивости, которую проявляют ученики в процессе решения математических задач, выполнения различных заданий, связанных с разрешением математических проблем.
Вывод в 1 главе
Большую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.
Глава 2. Разработка и анализ уроков
Мною были разработаны 3 урока по математике (приложение) в 3 классе на тему «Решение уравнений». Эти уроки были проведены мною в СШ№ 31 г. Могилева, в 3 «Г» классе (учитель Короткевич И.И.). Анализ уроков был проведен совместно с учителем 2 категории Короткевич И.И. и учителем высшей категории Пшенко М.В.
2.1 Анализ проведенных уроков
Урок был организованным, дисциплина на уроке хорошая. На уроке присутствовали различные формы работы. Рабочее место учителя и ученика было рационально организованным. В начале урока была проведена интересная разминка, что способствовало более быстрому включению детей в урок, повышению интереса к уроку. Для того чтобы у учащихся появился интерес к уроку, чтобы мобилизовать внимание всего класса, было прочитано стихотворение. Цели урока определялись совместно с детьми. На уроке присутствовала письменная и устная работа. Урок был посвящен решению уравнений. Материал урока был разнообразным, и отражал основные задачи развития и обучения младших школьников по этой теме. Структура урока соответствовала типу и целям урока.
Учитель на уроке закреплял вычислительные навыки. Этому способствовали задания, предлагаемые учителем, особенно устный счет в начале урока. Учитель на уроке использовал дополнительный материал, что увеличило методическую ценность урока.
Учащиеся на уроке выполняли разнообразные задания: примеры, уравнения, задачи, логические цепочки (они содержали элемент занимательности).
Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная. Учитель использует на уроке следующие приемы: сравнение, анализ, сопоставление; методы обучения: беседа, рассказ, практические методы, элементы проблемного обучения.
Учащиеся на уроке были активными, работоспособность была хорошей. Психологическая атмосфера на уроке положительная. Учитель соблюдает валеологический подход (делает замечания по поводу осанки, проводилась физминутка). На мой взгляд, урок целей достиг. Урок также ценен своей воспитательной составляющей.
После проведения уроков, с учащимися был проведен тест на определение знаний по теме «Решение уравнений» (приложение 4). Результаты теста показали, что все учащиеся усвоили правила решения уравнений. Это свидетельствует о том, что применение связи математики с другими науками (историей, географией, обществоведением и др.) повышает познавательную активность учащихся на уроках математики и способствует хорошему усвоению учебного материала.
Выводы по 2 главе
В разработанных нами уроках просматривается различные виды уравнений, их практическое применение.
В разработанных уроках, уравнения показывали не только числовые характеристики того или иного предмета, но и способствовали повышению интереса к изучению математики, показывали ее практическое применение и связь с другими науками (биологией, географией).
В данной курсовой работе мы рассмотрели методику преподавания темы «Уравнения» в начальной школе.
Уравнение — это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел.
Большую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.
Это свидетельствует о том, что применение связи математики с другими науками (историей, географией, обществоведением и др.) повышает познавательную активность учащихся на уроках математики и способствует хорошему усвоению учебного материала.
В разработанных нами уроках просматривается различные виды уравнений, их практическое применение.
Список использованных источников
1.Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М., 2006.
.Гончарова М.А. и др. Учись размышлять: развитие математических представлений у детей. М.: Антал, 1999.
.Ивашова О.А. Ошибки в порядке выполнения действий и пути их пре-дупреждения // Начальная школа. 1998. — №4.
.Истомина Н.Б., Шмырева Г.В. Методика работы над уравнениями // Начальная школа. 2003. — №3.
.Истомина Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах: Пособие для учителя.- М.: Просвещение, 2005.- 64 с., ил.
.Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. 3-е изд., стереотип. М.: Издательский центр Академия, 2000. 288 c.
7. Материалы сайта8. Популярная энциклопедия для детей. Всё обо всём. Т.6.- М.: «Ключ — «С», 1995. С.26.
. Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие. М.: Академия, 1997.
. Чабатарэўская Т.М., Дрозд У.Л., Столяр А.А. Математика. 3 класс. В 2-х частях. — Народная асвета, 2007.
11. Чеботаревская Т.М., Дрозд В.Л. Математика. 4 класс. В 2-х частях. — Народная асвета, 2008.
. Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. Рабочая тетрадь. III класс. Пособие для учащихся. — Аверсэв, 2011, 2012.
. Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. Рабочая тетрадь. IV класс. Пособие для учащихся. — Аверсэв, 2011, 2012.
. Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. III-IV классы. Пособие для учителя. — Аверсэв, 2010, 2012;
. Методика работы над уравнениями в начальной школе. О. А. Коростелева// Начальная школа, №6 2008
Тема урока: «Решение уравнений»
Цели: отработка навыков составления и решения простых уравнений; преобразование простых уравнений в сложные; решение сложных уравнений; решение составных задач путем составления сложного уравнения. Развитие внимания, памяти, математической речи, мышления. Воспитание патриотизма и чувства гордости за историческое прошлое России.
Ход урока.. Организационный момент.
Сегодняшний наш урок математики посвящен решению уравнений. Решение уравнения — это всегда нахождение неизвестного. А сегодня на эту проблему мы посмотрим не только с точки зрения математики, но и с точки зрения географии. И поэтому на сегодняшнем уроке мы не только будем находить неизвестные корни уравнений, но и будем мысленно проходить по дорогам географических открытий.
Девиз нашего урока: Дерзать, искать, найти и не сдаваться!
Повторим: — Что такое уравнение?
Что значит решить уравнение?
Что такое корень уравнения?
Какие виды уравнений вы знаете?. Логическая разминка .
Одним из основных инструментов путешественника является географическая карта. На ней есть символы, указывающие направления сторон горизонта. Это — север , юг , запад , восток .
) Решим ребус, расставив условные обозначения так, чтобы не было повторов в строчках и столбцах:
2) Следующим основным инструментом путешественника является компас с его магнитной стрелкой, определяющей направление север — юг . Давайте сориентируемся и мы, выбрав правильный курс.
Найдем неизвестное число, составив и решив простые уравнения:
Эти числа имеют смысл. 28 января 1820 г. произошло очень знаменательное событие в мировой географической науке. Русские флотоводцы Фаддей Беллинсгаузен и Михаил Лазорев (Рисунок1 ) совершили географическое открытие, затем их плавание продолжалось 100 дней, и через 750 дней они прибыли в порт Кронштадт. А какое они совершили открытие, мы с вами сейчас узнаем.
) Алгоритм . Выполним вычисления по алгоритму и узнаем об открытии:
Это был открыт материк Антарктида 28 января 1820 г. русскими мореплавателями (Рисунок 2 ).. Повторение о признаках простых уравнений.
А готовы ли мы с вами пройти по дорогам исследователей Антарктиды? Испытаем себя.
. В какой строчке записано уравнение?
А 46 — 20 = 26 Б в : 7 = 2 В 16 + а > 30 Г к ? m = n — Какие строчки можно переделать в уравнения? Что в них будет неизвестно? — Что обозначает В? Чему оно равно?
. 4 млн км 2 составляет ледовый щит Антарктиды.
В каком уравнении неизвестное число равно 4?
А в + 9 = 17 Б 27 : с = 3 В 36 : х = 9 Г z ? 2=4
Что означает х? До 4 км в высоту над уровнем моря возвышается ледовый щит Антарктиды.
. В каком уравнении неизвестно слагаемое?
А а — 52 = 43 Б 26 + m = 96 В 84 — k = 48 Г в : 6 = 9
Чему равно m? До -70° С может достигать температура зимой в Антарктиде на полюсе холода.
. Решите уравнение: х 3=81
А х = 78 Б х = 27 В х = 84 До -27° С градусов по достигает температура в Антарктиде летом на полюсе холода.
. Какое уравнение решить нельзя? Почему?
А в — 14 = 0 Б 6 ? n = 0 В 8 : a = 0 Г 9 + k = 0 Без хороших знаний о предмете своего исследования и подготовки нельзя отправиться в путешествие. Иначе может возникнуть опасность для жизни путешественника.. Решение и усложнение простых уравнений.
Как материк Антарктида была открыта в 1820 г. Но пройдет чуть меньше столетия и у нее будет открыт и достигнут исследователями Южный полюс. Попробуем и мы приблизится к этому открытию.
y 7 = 56 y + 13 = 60 54 : у = 3 y — 6 = 26 y : 2 = 7 80 — у = 71Посмотрите на данные уравнения. На какие группы их можно разделить?
Решим систему неравенств:
10 ). Но на обратном пути экспедиция Р.Скотта погибла от голода и холода, не дойдя всего несколько км до базового лагеря. В ноябре 1912 г. спасательный отряд нашел палатку, а в ней замерзшие тела (Рисунок 4 ).. Решение сложных уравнении.
Шло время, и на антарктическом мысе Адер высадились 10 человек во главе с норвежцем Карстеном Борхгревинком. Это были первые люди, которые решили остаться на год в ледяных неведомых краях.
Составим сложное уравнение и узнаем дату высадки:
Я задумала число, вычла из него сумму 587 и 396 и получила разность 980 и 64.- (587 + 396) = 980 — 64 (Решение у доски с комментарием.)= 1899. Это событие произошло в 1899 г.. Решение составной задачи путем составления сложного уравнения.
А в середине XX века в 1958 г. зафиксирован рекорд численности населения в Антарктиде. Тогда на 20 станциях зимовали 872 человека. В настоящее время в Антарктиде ежегодно зимует около 600 человек из разных стран мира: Россия, США, ЮАР, Великобритания, Австралия и др. (Рисунок 5 ).
В настоящее время в Антарктиде действует 12 иностранных станций и 4 российских.
Составим по краткой записи задачу и решим ее с помощью уравнения:
x — человек на 1 российской станции; 4 — человек на всех российских станциях;
12 — человек на всех иностранных станциях;
Решив данное уравнение, получаем корень: x = 30.
Ответ: 30 человек зимует на каждой российской станции в Антарктиде.. Итог.
· Чему мы учились на уроке?
· Что было самым трудным?
· Что было интересным?
Антарктида не принадлежит ни одному государству. Из-за жестоких природных условий состав экспедиции там часто меняется. Исследователи обычно работают не более одного года. По международным соглашениям на ее территории запрещается проведение любых мероприятий военного характера. Неслучайно Антарктиду называют континентом мира и науки. Охрана природы Антарктиды закреплена международными законами.
Тема урока: «Решение уравнений»
Цель урока: сформировать у учащихся навыки и умения работы с уравнениями при решении задач. Основные навыки и умения учащихся в области решения уравнений должны быть направлены на решение задач, в которых нет ни одного известного количественного параметра, но имеются данные о сумме этих компонентов.
1. Устный счет-разминка
2. Актуализация основных знаний и умений учащихся в проверочном диктанте
. Упражнения на составление выражений с буквенными величинами
. переход к решению задач с неизвестными величинами при помощи составления уравнений
. Формирование умений у учащихся работать по опорной схеме
. закрепление нового материала с помощью тренировочных заданий
. Обобщение в устной форме полученных знаний на уроке
а) назовите какие числа в произведении дают 36 (36 и 1, 4 и 9, 6 и 6, 12 и 3);
Б) какое число можно разделить на 48 и получить в частном 2;
В) назовите примеры чисел в первом десятке чисел, которые делятся на 3;
Г) При вычитании из какого числа 9 -ки можно 45;
Д) При сложении с каким числом 25 дает в сумме 69;
Е) При умножении какого числа на 9 можно получить 72;
Ж) что надо вычесть из 390 чтобы получить 100.
Ценность проведения устной разминки в данной форме состоит в том, что у ребят начинают работать аналитические и синтетические функции мышления, некоторую трудность представляет эта разминка для учащихся со слабо развитым вниманием и восприятием на слух.
После таких примеров ученики переходят к решению уравнений на доске (2 ученика решают уравнения за закрытыми досками, а затем класс после сдачи своих работ, выполненных в домашних тетрадях, проверяет «по горячим следам» правильность решения, сверяя их с результатами на доске).
Для решения на два варианта предлагаются следующие уравнения
1. 64+ Х=96 1. 6*Х=192
2. Х-253=241 2. 100: Y=10
. 564-х= 53 3. 239- х=114
. х : 7 =23 4. 189: Y=3
. 17*Y= 68 5. Х-527=313
. 96: X=12 6. 125*х=250
. 2*Y+37 =47 8. 3*Х+48=138
. 24: (y-5)=6 9. 35: (Y+3)=7
При решении отвечающий на доске называет неизвестный компонент уравнения, если компонент неправильно определен, то учащиеся класса (по желанию) называют компонент и предлагают путь решения. Максимальная оценка за все правильно решенные задания на доске и в тетради -11 баллов, при этом задания №8 и 9 оцениваются по два балла.
Ценностью такой формы проведения опроса является то, что ребята привыкают самостоятельно мыслить, а необходимый контроль и коррекция результатов приводит к более глубокому осмысливанию и запоминанию, первые семь заданий рассчитаны на безусловное знание решения простейших уравнений.
После проведения данной формы фронтального опроса с опорой на уже сформированные знания и навыки учащихся учитель плавно переходит к формированию знаний при решении задач на составление уравнений.
Для этого вначале возникает необходимость в формировании отвлеченных понятий на базе заданий подобных следующему. Учитель просит ребят составить выражение для следующей задачи « В одной корзине содержалось а груш, а в другой на 5 груш больше. Сколько груш содержалось во второй корзине?». Правильный ответ это а+5. Для ребят с проблемами логического мышления данная задача может быть проиллюстрирована предварительно подготовленным рисунком (рис.1).
Рис.1. Иллюстрация для составления выражения с буквой
Следующий вопрос будет логически верным для формирования у ребят навыков в составлении уравнений для задач. Необходимо не отвлекаясь от данного условия спросить у учащихся о том, сколько же груш будет содержаться в этих двух корзинах и записать с их слов полученное выражение, а именно (рис. 2). Представленную запись хорошо бы снабдить пояснительным указанием с подчеркнутой принадлежностью к разным корзинам
Рис.2. Запись выражения с буквой (пояснительные указания)
Несколько тренировочных заданий, подобных описанному выше помогут закрепить навыки составлений выражений с переменной. Эти упражнения можно записать на доске, например:
1. В одном ящике было в килограмм огурцов, а в другом на 25 кг больше. Сколько огурцов было во втором ящике. Сколько огурцов было в двух ящиках?
2. В одном мешке было с кг муки, а во втором на 9 кг больше. Сколько
Сколько кг муки было во втором мешке и сколько кг было в двух этих мешках вместе?
Также ребята должны уметь самостоятельно составляет подобные упражнения по рисункам, например по такому рисунку (рис. 3).
Рис.3. Иллюстрация для составления выражений
При составлении зданий самостоятельно у учащихся также включаются процессы анализа и обобщения. Теперь можно переходить к рассмотрению решения задачи на составление уравнения. Задачу также хорошо проиллюстрировать опорной схемой или рисунком.
Задача: «В двух кусках ткани было 208 метров. Во втором куске ткани было больше ткани на 4 метра. Сколько метров ткани в каждом куске?»
Для решения задачи хорошо составить рисунок (рис. 4).
Рис.4. Иллюстрация для облегчения работы с составлением уравнения в задаче
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что неизвестные части в обоих куска равны, то есть представляют собой одинаковое количество материала. Наиболее сообразительные учащиеся могут предложить рецепт решения этой задачи устно, как то вычесть из 208 4 и затем поделить на 2, так как неизвестные куски и в первом и во втором рулоне ткани одинаковы. После изучения условия задачи необходимо задать учащимся вопросы:
1. сколько ткани было в первом куске ткани
2. сколько ткани было во втором куске ткани
. на сколько больше ткани было во втором куске
. сколько ткани хранилось в дух кусках вместе
. если обозначить первый кусок за х, то как можно определить длину второго куска, используя х (используя опыт составления выражений ребята легко ответят на этот вопрос — х+4)
. Попросите составить учащихся выражение для ответа на вопрос, сколько будет материала хранится в двух кусках — ответ Х+Х+4
. Обратите теперь внимание на то, что нам известно количество материала, хранящееся в двух кусках одновременно, то есть в сумме и предложите им сопоставить выражение с буквой и условие задачи, то есть ребята должны поставить знак равенства между Х+Х+5 и числом 208.
. Теперь на доске можно записать уравнение и снабдить еще раз его описательными стрелками
Рис.5. Схема для анализа задачи
Процесс решения уравнения теперь не представляет ля ребят трудности, только необходимо обратить внимание на то, что Х+Х =2Х , а затем перейти к уравнению с неизвестным слагаемым 2х +4=208; 2*Х=208-4; 2*Х=204; Х=204/2 ; Х=102.
Фактически найдена длина первого куска и теперь, обратив внимание на условие или на схему, ребята могут найти и длину второго куска, то есть 102+ 4=106.
Необходимо выполнить проверку рассуждением найденного и сопоставлением имеющихся в задаче данных, то есть еще раз обратить внимание на то, что найденные куски первого рулона, то есть 102 и второго, то есть 106, в сумме должны дать нам 206, что соответствует данному условию задачи.
Предложите теперь ребятам в качестве самостоятельной работы решить задачу по схеме с условием
Рис.6 Схема к анализу задачи
После решения задачи спросите у ребят какие моменты решения задачи непонятны и попросите решить эту же задачу без составления уравнения.
Задание на дом должно содержать 25% от решенного в классе на уроке, поэтому можно определить его так:
Повторить основные компоненты уравнений
1. Решить уравнения, используя проверку
.Составить и решить задачу
Рис. 7 Рисунок для составления задачи
После обсуждения домашнего задания, необходимо провести заключительный этап урока, то есть попросить ребят ответить на вопросы и сделать главный вывод урока.
Вопросы могут быть следующего содержания
. когда возникает необходимость составления уравнения в задаче
. Как мы обозначаем неизвестный нам компонент задачи
. Сколько будет Х+Х
. как найти неизвестной слагаемое в уравнении
. Для чего нам нужно делать проверку после решения уравнения и задачи
Урок математики в 3 классе на тему: «Решение уравнений»
Закреплять умение решать уравнения разных видов: х + 86 ? 87; 28 — х ? 10; х × 2 ? 80; 21: х ? 3.
Совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки и умение работать самостоятельно.
Формировать познавательный интерес учащихся к предмету.
Воспитывать взаимоуважение и доброжелательное отношение к товарищам.
. Индивидуальные карточки с цифрами, головоломки, красный карандаш для каждого ученика, цветные фишки — звёзды, рисунок чемоданчика.
. Тесты для каждого ученика.
I. Организационный момент.
— Повторяйте за мной!
Я желаю тебе сегодня добра.
Ты желаешь мне сегодня добра.
Мы желаем друг другу сегодня добра
Если тебе будет трудно, я тебе помогу!
Ребята, вы любите путешествовать?
— Мы посетим удивительное место и во время путешествия закрепим умение решать уравнения.
. Решение примеров с «окошками». Работа в парах.
Куда мы отправимся, — вы сейчас догадаетесь сами. Перед вами примеры с пропущенным числом. Прежде, чем приступить к выполнению задания, вспомним правила нахождения неизвестного компонента. Работать будем в парах. Главное правило — доброжелательность и взаимовыручка. Расскажите соседу по парте, как найти неизвестное число в выражении, затем поменяйтесь. Во время работы мы проверим, как вы знаете эти правила.
— А теперь догадайтесь, какое число пропущено в «окошечке», найдите его на рисунке и назовите рядом стоящую букву. Сейчас вы узнаете, куда мы отправимся
— Что вы знаете о Минске?
— Тогда в путь. ( Звучит песня « Если с другом вышел в путь»). [5]
. Решение уравнений. Работа по вариантам.
Отправиться можно на машине или на поезде.
I в. Верно решив уравнение, узнаете, сколько времени мы затратим на дорогу, если поедим на машине.
II в. Верно решив уравнение, узнаете, сколько времени мы затратим на дорогу, если поедем на поезде.
Ответы сказать « по секрету» — на ушко.
— Вот мы на главной площади страны — Октябрьской площади. Кто знает, почему её так называют?
— Какую отметку ставит учитель, если у ученика в тетради записано всё верно и красиво?
— Возьмите листочки с напечатанными цифрами и за 1 минуту зачеркните все 10. (На листочке вразброс напечатаны разные цифры, количество «10» соответствует дате проведения урока.)
Сосчитайте, сколько зачеркнули цифр? (24)
Проверим, все ли внимательны?
Запишите число, классная работа.
Пропишите красиво строчку числа 10.
Надеюсь, что в конце урока вы заслужите эту отметку.
IV. Решение уравнений.
— Сейчас мы с вами поговорим о национальной библиотеке.
. — Решив первое уравнение, вы узнаете высоту Национальной библиотеки.
Дети: — 74 метров.
. — Решив второе уравнение, вы узнаете сколько этажей в Национальной библиотеке
Дети : — 23 этажа.
. — Решив 3 — е уравнение, вы из скольких граней состоит здание национальной библиотеки
Дети: — 26 граней
.Физ. минутка. ( Под музыку песни « А я иду, шагаю по Москве»). [5]
VI. Самостоятельная работа.
— Подходит к концу наше путешествие. Давайте проверим свои знания по теме: «Уравнение» и вспомним, что нового мы узнали о Минске. У вас на столах тесты. Нужно выбрать верный вариант ответа и раскрасить соответствующую цифру в головоломке.
.Выбери правильное утверждение.
1) Уравнение — это пример, в котором пропущено число.
) Уравнение — это выражение с неизвестным компонентом.
) Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную величину.
2.Среди данных выражений найди уравнение.
3.Среди уравнений выбери только то, которое решается умножением.
— Покажите, какой рисунок получился в головоломке. (5)
Это ваша отметка за работу.
Рис. 1 Головоломка:
— Пора возвращаться в класс.
А сейчас каждый из вас оценит работу на уроке. Кому было на уроке всё понятно, со всеми заданиями справились уверенно — возьмите зелёную звёздочку. Кто сомневался в выполнении некоторых заданий — жёлтую, а кто испытывал затруднения — красную. На своей звёздочке напишите одним словом, чего бы вы хотели пожелать своему другу-однокласснику. Положите свои пожелания в чемоданчик «Счастливых путешествий».(Рисунок чемоданчика на доске.)
VIII. Релаксация «Улыбка». (Звучит медленная музыка). [3]
— Дети, посмотрите друг на друга, улыбнитесь друг другу. Закройте глаза и послушайте меня: другой человек есть радость для тебя… Окружающий тебя мир есть радость для тебя. Теперь откройте глаза и посмотрите вокруг. Ты всегда радость для другого… Береги себя и другого береги… Уважай, люби всё, что есть на Земле — это чудо! И каждый человек — тоже чудо! Спасибо всем за работу, за то, что вы есть! Спасибо!
. Выбери правильное утверждение.
1) Уравнение — это пример, в котором пропущено число.
) Уравнение — это выражение с неизвестным компонентом.
) Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную величину.
. Среди данных выражений найди уравнение.
. В каком уравнении неизвестное число равно 4?
А в + 9 = 17 Б 27 : с = 3 В 36 : х = 9 Г z ? 2=4
. В каком уравнении неизвестно слагаемое?
А а — 52 = 43 Б 26 + m = 96 В 84 — k = 48 Г в : 6 = 9
Чему равно m? До -70° С может достигать температура зимой в Антарктиде на полюсе холода.
. Решите уравнение: х 3=81 А х = 78 Б х = 27 В х = 84.
. Какое уравнение решить нельзя? Почему?
А в — 14 = 0 Б 6 ? n = 0 В 8 : a = 0 Г 9 + k = 0
7. Среди уравнений выбери только то, которое решается умножением.
Теги: Решение уравнений в начальной школе Курсовая работа (теория) Математика
🔥 Видео
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |ПОДРОБНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ / ПРОСТЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 КЛАСС МАТЕМАТИКАСкачать
, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)
, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)
; 
;
);
.
?
. (выполнили верно 64,1% учащихся).
не имеет корней. (104 учащихся получили 4 балла, 36 – 3балла, 56 – 2балла, 261 – 1балл, не справились с заданием 13696 учащихся) [33].
. (выполнили верно менее 40% учащихся) [34].
) выполнили 37% учащихся [42].
рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля. Хотя внимательный анализ условия задания показывает, что на промежутке 
, на котором следует искать корни уравнения, выражение 
принимает только положительные значения [42].
. Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.
.
. Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка 
. Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.
.
, принадлежащие области определения f( x).
. Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 
0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части — убывает. Из этого следует, что уравнение 
имеет не более одного решения, причем если x 0 – решение этого уравнения, то при 
будет 
, а решением данного неравенства будет 
. Значение 
легко подбирается: 
.
.
. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на 
, получим 
. Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.
.
. При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения [2], [5], [31]:
есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение 
будет равносильно системе 
;
и 
равносильны;
равносильно системе 
(При условии, что 
);
равносильно системе 
.
. Уравнение имеет два корня 
. Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.
.
,где f( x) и 
— элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2 . Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x , которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X1 ∩ X2 . Если множество A пустое (A=
), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠
.
, где f( x1 ) – значение функции f( x) при x= x1 , а 
значение функции 
имеют общие элементы (Y1 ∩ Y2 ≠
). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y1 ∩ Y2 ≠
,где f( x) и 
. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2 . Если промежуток 
является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f( a)≤ 
, где f( a) – значение функции f( x) при x= a , а 
значение функции 
.
‑ множество Y1 =
, область изменения функции 
‑ множество Y2 =
. Тогда Y1 ∩ Y2 = 
∩
= . Следовательно, если уравнение имеет решения, то ими могут быть только те значения x , при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Функция 
; 
. Проверим корни в пределах периода:
. 
;
; 
; x=
. На промежутке (2, ∞) имеем 
; 
; 3x =2x ; x= 0. Но так как x =0 не является корнем уравнения, то для x> 0 данное уравнение имеет корень x=
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
.
и укажите верное утверждение о его корнях.
.
. (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
.
и укажите верное утверждение о его корнях.
.
. (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
.
