Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами операционным методом

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения:

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. 
2. f(t)— кусочно-непрерывная при т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
3. Существуют такие числа что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста f(t).

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить ), степенные и другие (для функций вида ( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция (не удовлетворяет второму условию).

Замечание:

Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид она считается оригиналом, если действительные функции являются оригиналами.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде или (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема:

Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости — показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости .

Докажем первую часть теоремы. Пусть произвольная точка полуплоскости (см. рис. 302).

Учитывая, что находим:

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости

Следствие:

Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда

Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости

по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой или на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема:

О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)

Пример:

Найти изображение единичной функции Хевисайда

Решение:

По формуле (78.1) при находим:

т. e. , или, в символической записи,

В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что

Пример:

Найти изображение функции — любое число.

Решение:

Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем

если Re(p — a) > 0. Таким образом,

Пример:

Найти изображение функции f(t) = t.

Решение:

В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

Замечание:

Функция является аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

— постоянные числа, то

Используя свойства интеграла, находим

Пример:

Найти изображения функций — любое число), с (const),

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

Аналогично получаем формулу

Далее, т. е.

Аналогично получаем формулу

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть . Тогда

Смещение (затухание)

т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной р.

В силу формулы (78.1) имеем

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Положив , получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц

Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).

можно записать так:

Пример:

Найти изображение f(t) = t — 1.

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, а), то, зная, что (см. формулу (78.4)), и, используя свойство линейности, находим

Если же понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции и обобщенной единичной функции . Поэтому

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда :

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Изображение функции f(t) будет равно

Замечания:

1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,

есть

применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если и функции являются оригиналами, то

По определению изображения находим

Итак, Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):

Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):

Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти изображение выражения

Решение:

Пусть Тогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем

Дифференцирование изображения

Если то

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).

Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим

Пример:

Найти изображения функций

Решение:

Так как , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем т. е.

Продолжая дифференцирование, получим

С учетом свойства смещения получаем

Согласно формуле (78.5), Следовательно,

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Интегрирование оригинала

т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.

Функция является оригиналом (можно проверить).

Пусть Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

(так как ). А так как

Интегрирование изображения

Если и интеграл сходится, то т. е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Пример:

Найти изображение функции найти изображение интегрального синуса

Решение:

т. е. Применяя свойство интегрирования t оригинала, получаем

Умножение изображений

Если то

Можно показать, что функция является оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).

Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции и обозначается символом , т. е.

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е.

Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.

Пример:

Найти оригинал функций

Решение:

Следствие:

Если также является оригиналом, то

Запишем произведение в виде

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать или

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример:

Найти оригинал, соответствующий изображению

Решение:

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Умножение оригиналов

где путь интегрирования — вертикальная прямая (см. рис. 310) (примем без доказательства).

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

6. Дифференцирование изображения

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Видео:Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами операционным методомСкачать

Обратное преобразование Лапласа

Теоремы разложения:

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).

Теорема:

Если функция F(p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

Примем эту теорему без доказательства.

Пример:

Найти оригинал f(t), если

Решение:

Следовательно, на основании теоремы 79.1

Запишем лорановское разложение функции в окрестности точки:

где Следовательно,

Теорема:

Если правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) то функция

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Отметим, что дробь должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения

не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

где — неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на :

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

Итак, Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на найдем

Подставляя найденные значения в равенство (79.2), получим

Так как по формуле (78.3)

то на основании свойства линейности имеем

Замечание:

Легко заметить, что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):

Можно показать, что если правильная дробь, но корни (нули) знаменателя В(р) имеют кратности соответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:

Если изображение является дробно-рациональной функцией от — простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой

Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

где интеграл берется вдоль любой прямой .

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

Замечание:

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

корни знаменателя и, согласно формуле (79.1),

Пример:

Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как

Решение:

— простой корень знаменателя, — 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь

на сумму простейших дробей:

Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение и так как пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

где — заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.

Пусть Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.

В этом случае

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).

Замечание:

Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при ).

Пример:

Решить операционным методом дифференциальное уравнение при условиях

Решение:

Пусть Тогда

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Отсюда Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших но так как корни знаменателя простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой

Пример:

Найти решение уравнения

при условии

Решение:

График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.

С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:

Таким образом, имеем

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

то по теореме запаздывания находим:

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Система операторных уравнений принимает вид

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Статья на тему: «Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Операционный метод приобрел большое значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эффективность применения операционного исчисления при решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в удобстве и простоте вычислений. Прежде всего это относится к решению систем таких уравнений [4, с. 131].

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

(1)

где коэффициенты -постоянные величины, при начальных условиях

x(0)= , (0) , . , (0)= (2)

где — заданные числа [3, с. 126].

Операционный метод решения состоит в том, что мы считаем как искомую функцию x(t), так и правую часть f(t) оригиналами и переходим от уравнения (1) , связывающего оригиналы, к уравнению, связывающему их изображения X(p) и F(p), тогда x(t) ≑ X(p) , а f(t) ≑ F(p) . Воспользуемся теоремой о дифференцировании оригинала:

,

,

Применяя свойство линейности получаем вместо уравнения (1) алгебраическое соотношение, которое назовем изображением, или операторным уравнением:

+ +. + ( )+ [2, с. 127—128]

В результате мы получили уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения X(p).

где ,

-алгебраические многочлены от p степени n и n-1 соответственно [1, с. 264].

Из последнего уравнения находим

(3)

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (1). Остается по полученному изображению X(p) найти оригинал x(t) , применяя для этого соответствующие правила операционного исчисления. Найденный оригинал x(t) будет являться частным решением дифференциального уравнения (1) [3, с. 128].

Пример: найдем решение дифференциального уравнения операционным методом при условиях

=

Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение: . Отсюда X(p)=

Для нахождения оригинала разложим дробь на простейшие

A(p+1)+B(p-3)(p+1)+C =1

Ap+A+B -2Bp-3B+C -6Cp+9 С =1

Составим систему уравнений:

Решив ее, получаем

Итак X(p)= , откуда

x(t)= — решение данного дифференциального уравнения.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционными методами совершенно так же, как и отдельные уравнения; все отличие заключается лишь в том, что вместо одного изображающего уравнения приходим к системе таких уравнений, причем система эта в отношении изображений искомых функций будет линейно алгебраической. При этом никаких предварительных преобразований исходной системы дифференциальных уравнений производить не требуется [3, с. 134].

Метод решения таких систем покажем на примере.

Пример: решить систему дифференциальных уравнений

при начальных условиях x(0)=2 , y(0)=0.

Подставим эти выражения в систему дифференциальных уравнений, система операторных уравнений принимает вид:

Решая эту систему уже алгебраических уравнений , находим:

X(p)= ,

Y(p)=

Раскладывая найденные изображения на простые дроби находим:

X(p)= ,

Y(p)= .

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

x(t)=

y(t)= .

Таким образом операционный метод позволяет в ряде случаев значительно упростить процедуру нахождения решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.

1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. -М., Главная редакция физико-математической литературы, 1968 г., — стр. 416. — Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов. — 263—268 с.

2.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. — 127—132 с.

3.Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. второе, доп.Учебное пособие для вузов М. «Высшая школа», 1972 — 126—139 с.

4.Штокало И.3. Операционное исчисление (обобщения и приложения) Киев, Издательство «Наукова Думка», 1972 —131—144 с.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:ЛОДУ с переменными коэффициентами. Примеры.Скачать

Применения операционного исчисления

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами

Пример 1.

Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin &x»’+2x»+5x’=0,\ &x(0)=-1, ,, x'(0)=2, ,, x»(0)=0. end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: begin &x(t) risingdotseq X(p),\ &x'(t) risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p)+1,\ &x»(t) risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)+p-2,\ &x»'(t) risingdotseq p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x»(0)=p^3X(p)+p^2-2p-0. end Справа стоит $0$, изображение для него тоже $0$.

Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: begin p^3X(p)+p^2-2p+2(p^2X(p)+p-2)+5(pX(p)+1)=0. end И найдем из него неизвестное $X(p)$: begin X(p)=-frac

. end Используя теоремы, приемы, таблицы операционного исчисления получим оригинал: begin X(p) risingdotseq x(t)=-displaystylefrac15-displaystylefrac45 e^mbox,2t+displaystylefrac35e^mbox,2t. end

Пример 2.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x»-2x’-3x=e^,\ x(0)=x'(0)=0. end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: begin &x(t) risingdotseq X(p),\ &x'(t) risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p),\ &x»(t) risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p), end Справа стоит $e^$, изображение равно $displaystylefrac$.

Запишем операторное уравнение: begin (p^2-2p-3)X(p)=frac. end Находим $X(p)$: begin X(p)=frac. end Используя, например, вторую теорему разложения, получим оригинал: begin X(p) risingdotseq displaystylefrac14,te^-displaystylefrac,e^+displaystylefrac,e^. end

Пример 3.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x»+3x’=mbox,2t,\ x(0)=2, ,, x'(0)=0. end

Пример 4.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. begin x»+x’=e^t,\ x(1)=1, ,, x'(1)=2. end Так как начальные условия даны не при $t=0$, сразу применить теорему о дифференцировании оригинала мы не можем. Поставим вспомогательную задачу для функции $y(t)=x(t+1)$: begin y»+y’=e^,\ y(0)=1, ,, y'(0)=2. end Записываем операторное уравнение begin (p^2Y(p)-p-2)+(pY(p)-1)=displaystylefrac. end

Решаем полученное уравение: begin Y(p)=displaystylefrac+displaystylefrac

. end begin y(t)=displaystylefrac12e^+left(displaystylefrac-2right)e^+(3-e). end Со сдвигом на $1$ находим решение исходной задачи: begin x(t)=y(t-1)=displaystylefrac12e^+left(displaystylefrac-2right)e^+(3-e). end

Видео:2. Линейные уравнения с переменными коэффициентамиСкачать

Решение задачи Коши для систем линейных ДУ

Пример 5.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’ = 2x+8, \ &y’ = x+4y+1, \ &x(0)=1,, y(0)=0. \ end right. end

Запишем изображения: begin begin x(t) risingdotseq X(p), & x'(t) risingdotseq p,X(p)-1, \ y(t) risingdotseq Y(p), & y'(t) risingdotseq p,Y(p). end end begin 8 risingdotseq displaystylefrac

, ,, 1 risingdotseq displaystylefrac

. end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < beginpX(p)-1 &= 2X(p)+displaystylefrac

, \ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+displaystylefrac

.\ end right. end

Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac

risingdotseq x(t)=-4+5e^. end begin Y(p)=displaystylefrac

risingdotseq y(t)=displaystylefrac34-displaystylefrac52,e^+displaystylefrac74,e^. end

Пример 6.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’ = 2x+8y, \ &y’ = x+4y+1, \ &x(0)=1,, y(0)=0.\ end right. end

begin begin x(t) risingdotseq X(p), & x'(t) risingdotseq p,X(p)-1, \ y(t) risingdotseq Y(p), & y'(t) risingdotseq p,Y(p),\ 1 risingdotseq displaystylefrac

. &\ end end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < beginpX(p)-1 &= 2X(p)+8Y(p), \ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+displaystylefrac

.\ end right. end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac

risingdotseq x(t)=frac49-frac43,t+frac59,e^. end begin Y(p)=displaystylefrac

risingdotseq y(t)=-displaystylefrac+displaystylefrac13,t+displaystylefrac,e^. end

Пример 7.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. begin left < begin&x’-2x-4y = mbox, t, \ &y’+x+2y = mbox,t, \ &x(0)=0,, y(0)=0.\ end right. end

Операторная система уравнений принимает вид: begin left < begin(p-2)X(p)-4Y(p) &= frac

, \ X(p)+(p+2)Y(p) &= frac

.\ end right. end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: begin X(p)=displaystylefrac

+displaystylefrac

-displaystylefrac

risingdotseq x(t)=2+4t-2,mbox,t-3,mbox,t. end begin Y(p)=-displaystylefrac

+displaystylefrac

risingdotseq y(t)=-2t+2,mbox,t. end

Видео:Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами МЕТОДОМ ЛАПЛАСАСкачать

Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля

Введем обозначения:
Уравнение: $x^(t)+a_1,x^(t)+ldots+a_n,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=ldots=x^=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.

Запишем алгоритм решения.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^(t)+a_1,y^(t)+ldots+a_n,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: begin begin y(t) & risingdotseq Y(p),\ y'(t) & risingdotseq p,Y(p),\ y»(t)& risingdotseq p^2Y(p),\ &cdots\ y^(t)& risingdotseq p^nY(p). end end Вспомогательное операторное уравнение запишем в виде: begin Y(p)cdot h(p) = frac

,\ h(p)=p^n+a_1p^+ldots+a_n. end $$Y(p) risingdotseq y(t).$$

2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде begin h(p)=frac. end Тогда $$ X(p) = F(p),pY(p).$$ Для нахождения $x(t)$ необходимо найти оригинал для $pY(p)F(p)$, то есть вычислить интеграл из формулы Дюамеля: $$ p F(p) Y(p) risingdotseq y(0)cdot f(t)+intlimits_0^t f(tau),y'(t-tau),dtau,$$ где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения.

Пример 8.

Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. begin x»+2x’=frac<1+e^>, ,, x(0)=0, ,, x'(0)=0. end Решаем через интеграл Дюамеля в два этапа, как было описано выше.

2. Исходное уравнение в операторном виде: begin (p^2+2p)X(p)=F(p). end Правая часть этого уравнения такая же, как и для вспомогательного. Левую часть $frac<1+e^>$ обозначим $f(t)$, ее изображение $F(p)$. Тогда begin X(p)=frac

. end Решая вспомогательное уравнение, мы находили: begin (p^2+2p)Y(p)=frac

,, Rightarrow ,, p^2+2p=frac. end Тогда begin X(p)=frac<frac>=pF(p)Y(p). end

Теперь по формуле Дюамеля получаем: begin X(p)=p F(p) Y(p) risingdotseq x(t)=y(0)cdot f(t)+intlimits_0^t f(tau),y'(t-tau),dtau, end где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения: begin begin & y(t)=-frac14+frac12t+frac14 e^,\ & y(0)=0,\ & y'(t-tau)=frac12-frac12e^. end end

Видео:Как распознать талантливого математикаСкачать

Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда

Пример 9

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). begin left < begin&x»+x=eta(t)-eta(t-2), \ &x(0)=0,\ &x'(0)=0. end right. end

Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: begin &x»+x risingdotseq p^2,X(p)+X(p),\ &eta(t)-eta(t-2) risingdotseq frac

-frac<e^>

. end Для правой части, содержащей функцию Хэвисайда, воспользовались теоремой запаздывания.

Находим изображение для $displaystylefrac

$ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: begin &frac

risingdotseq mbox,t ,, Rightarrow\ &frac

risingdotseq intlimits_0^t,mbox,tau,dtau=-mbox,t+1. end Тогда изображение для $displaystylefrac<e^>

$ по теореме запаздывания будет равно: begin frac<e^>

risingdotseq (-mbox,(t-2)+1)eta(t-2). end

Решение заданного уравнения: begin x(t)= (1-mbox,t)eta(t)-(1-mbox,(t-2))eta(t-2). end

Пример 10

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). begin left < begin&x»+4x=f(t). \ &x(0)=0,\ &x'(0)=0. end right. end

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: begin &f(t)=2teta(t)-4(t-1)eta(t-1)+2(t-2)eta(t-2),\ &F(p)=frac

(1-2e^+e^). end Операторное уравнение имеет вид: begin &X(p)(p^2+4)=frac

(1-2e^+e^),, Rightarrow\ &X(p)=frac

(1-2e^+e^). end

Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: begin frac

=frac-frac risingdotseq frac12t-frac14,mbox,2t. end Для остальных слагаемых воспользуемся теоремой запаздывания: begin X(p)risingdotseq x(t)= frac12left(t-frac12,mbox,2tright)eta(t)-\ -left((t-1)-frac12,mbox,2(t-1)right)eta(t-1)+\ +frac12left((t-2)-frac12,mbox,2(t-2)right)eta(t-2). end

Видео:Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Решение задачи Коши с периодической правой частью

Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда.

Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: begin f_0(t)=begin f(t),& 0 oplaplace/seminar5_2.txt · Последние изменения: 2021/05/28 18:23 — nvr

📽️ Видео

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать