Дифференциальные уравнения движения точки в векторной координатной и естественной формах

Для решения задач динамики используют одну из двух систем уравнений.

Уравнения в декартовой системе координат

Движение точки в декартовой системе координат задается уравнениями:

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная законы движения, определить действующую наточку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон движения. Следовательно, для решения задач динамики необходимо, используя второй закон динамики, связать координаты точки и действующие на них силы.

Пусть на материальную точку с массой т действуют силы F_l,F₂. F_n. Точка движется в инерциальной системе отсчета 0_т.

Основное уравнение динамики точки запишем в виде: та =’LF_k и спроецируем обе части равенства на координатные осих, у и z- Учитывая, что

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в прямоугольных декартовых координатах.

Если точка движется в плоскости, то взяв координатные оси ох и оу в плоскости движения точки, получим вместо трех два дифференциальных уравнения:

Если точка совершает прямолинейное движение, то получим одно дифференциальное уравнение:

Уравнение (1.54) — дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки.

Уравнения в проекциях на естественные оси координат

Для получения этих уравнений спроецируем обе части уравнения та = ЦР_к на касательную, нормаль и бинормаль к траектории.

Уравнение (1.55), где V =

^ > представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в проекциях на естественные оси. Они были впервые получены Эйлером и носят название естественных уравнений движения материальной точки. С помощью этих уравнений многие задачи динамики точки, особенно такие, в которых известна ее траектория, решаются проще, чем при помощи уравнений в прямоугольных декартовых координатах.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике

Содержание:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей

Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 3):

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

Рис. 3

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки

Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость , имеем

Так как , то, следовательно, . В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось , получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки

Так как при движении , то, следовательно, . Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:

где и — соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что

где — радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид

Второе уравнение из (12) можно преобразовать:

где — угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, — угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.

Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде

Рис. 4

Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда будет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения

Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):

(153)

имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.

(154)

равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.

(155 / )

или в проекциях на оси координат:

(155)

Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.

Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.

Пример решения задачи №1

Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.

Рис. 171

Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна

Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:

x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.

где Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:

Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.

Ответ.

Пример решения задачи №2

Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью каждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.

Рис. 172

Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.

Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила

Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φ_e—переносной и Φ_c-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: и направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен .

Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.

При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:

mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.

Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом

Ответ. и не зависит от положения хорды.

Пример решения задачи №3

Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.

Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.

Поворотная сила ползуна Φ_с=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид

mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),

причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.

• Две основные задачи динамики точки
• Прямолинейное движение точки
• Криволинейное движение материальной точки
• Движение несвободной материальной точки
• Сложное движение точки
• Сложение движение твердого тела
• Кинематика сплошной среды
• Аксиомы классической механики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются движения материальных точек и материальных тел под действием приложенных к ним сил

Дифференциальные уравнения движения точки

Кинематические характеристики движения точки, изучаемые в кинематике, обусловлены действующими на них силами. Законам движения точки в пространстве соответствуют собственные виды представления дифференциальных уравнений ее движения: векторный, координатный и естественный.

Уравнения движения точки в векторном виде

Уравнения движения материальной точки, масса т которой не изменяется, основаны на втором законе Ньютона

где a — ускорение точки; F — равнодействующая приложенных к точке сил.

Векторное уравнение (8.1) называют основным законом динамики.

Пусть t — время; О — неподвижная точка

пространства; гиг — радиус вектор ОМ и скорость движения точки М(рис. 8.1). Согласно определениям скорости и ускорения

и равенство (8.1) можно записать в виде

Силы, действующие на точку, могут зависеть от времени, положения точки в пространстве, ее скорости и в некоторых случаях ускорения. Системы отсчета, в которых справедливо уравнение (8.1), называются инерциальными.

Уравнения движения точки в координатном виде

Пусть Oxyz — неподвижная прямоугольная декартова система координат с началом в точке О (рис. 8.2); г и х, у, z — радиус-вектор движущейся точки М и его проекции на координатные оси: г = = ; v_x, v_y, v_z — проекции вектора скорости точки М на координатные оси; X, Y, Z — проекции равнодействующей F приложенных к точке сил на координатные оси: F = <.X, Y, Z>.

Проецируя обе части векторных равенств (8.2) на оси координат, получим три дифференциальных уравнения движения точки в системе декартовых координат:

Величину F равнодействующей силы и углы fi_x, (З_у, (3_Z, образуемые равнодействующей с осями Ox, Оу, Oz координат, можно определить по следующим формулам (рис. 8.2):

При движении точки в плоскости Оху число дифференциальных уравнений движения сокращается до первых двух уравнений, а по

прямой Ох — до одного: = X.

Пусть к свободной точке приложено гг сил F_1? F₂. F_n; Z), У^, Z* — проекции i-й силы на оси координат: Fj = <Х^,У^, ZJ.

Дифференциальные уравнения (8.3) движения точки можно записать так:

Уравнения движения точки в естественном виде

Пусть траектория движения точки — плоская кривая, и положение точки М на траектории однозначно определяется дуговой координатой s. Напомним обозначения, принятые в кинематике точки: т — орт касательной к траектории точки М п — орт нормали к траектории; v_x — проекция скорости точки М на касательную к траектории; а_Т> а_п — проекции вектора ускорения точки М на оси касательной и главной нормали к траектории; р — радиус кривизны траектории в точке М.

Пусть F_T,F_n— проекции равнодействующей F на оси касательной и

нормали (F = F_r + F_n); а — угол образуемый векторами F и т (рис. 8.3).

Спроецируем обе части векторного равенства (8.1) на оси касательной и нормали к траектории:

После подстановки в уравнения (8.6) выражений (2.16) для величин касательного а_Т и нормального а_п ускорений точки получим

Уравнения (8.7) называются дифференциальными уравнениями движения точки по плоской кривой в естественном виде.

Если траектория точки — не плоская кривая, то к уравнениям (8.7) следует добавить равенство нулю проекции Fp равнодействующей на бинормаль к траектории, перпендикулярную к касательной и нормали (Fp = 0). Это означает, что траектория движения точки такова, что равнодействующая приложенных к ней сил находится в плоскости, натянутой на орты касательной и нормали к траектории.

iSopromat.ru

Составление систем дифференциальных уравнений движения материальной точки, на которую действует некоторая система сил для определения движения точки под действием этих сил.

Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.

Уравнение второго закона динамики для материальной точки массой m запишется в виде

Спроецировав уравнение (1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений

В зависимости от того, что известно о движении точки, дифференциальные уравнения записывают или в декартовых или в естественных координатах.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Решение задач, контрольных и РГР

По желанию можете добавить файл или фото задания

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

НАБОР СТУДЕНТА ДЛЯ УЧЁБЫ

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку