Дифференциальные уравнения альфа бета r s

К однородным уравнениям первого порядка приводится уравнение вида:
(1) ,
где f – функция.

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Как определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному

Для того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы:
a ₁ x + b ₁ y + c ₁ , a ₂ x + b ₂ y + c ₂ ,
и выполнить замену:
a ₁ x + b ₁ y + c ₁ → t ( a ₁ x + b ₁ y + c ₁ ) ;
a ₂ x + b ₂ y + c ₂ → t ( a ₂ x + b ₂ y + c ₂ ) .
Если, после преобразований, t сократится, то это уравнение приводится к однородному.

Пример

Определить, приводится ли данное дифференциальное уравнение к однородному:
.

Выделяем две линейные формы:
x + 2 y + 1 и x + 4 y + 3 .
Первую заменим на t ( x + 2 y + 1) , вторую – на t ( x + 4 y + 3) :
.
По свойству логарифма:

.
t сокращается:
.
Следовательно, это уравнение приводится к однородному.

Видео:Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Решение дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению

Решаем систему уравнений:
(2)

Здесь возможны три случая.

1) Система (2) имеет бесконечное множество решений (прямые a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 совпадают). В этом случае
;
.
Тогда
.
Это простейший вид уравнения с разделяющимися переменными:
.
Его решение:
y = Ax + C .

2) Система (2) не имеет решений (прямые a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 параллельны). В этом случае a ₁ b ₂ = a ₂ b ₁ .
Применим это соотношение.

.

Это означает, что a ₂ x + b ₂ y + c ₂ является функцией от a ₁ x + b ₁ y + c ₁ . Поэтому является функцией от a ₁ x + b ₁ y + c ₁ . То есть f является функцией от a ₁ x + b ₁ y + c ₁ . Обозначим такую функциею как g . Тогда исходное уравнение (1) имеет вид:
.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
z = a ₁ x + b ₁ y + c ₁ .

3) Система (2) имеет одно решение (прямые a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 пересекаются в одной точке). Обозначим это решение как x ₀ , y ₀ . Тогда
(3)
Делаем подстановку x = t + x ₀ , y = u + y ₀ , где u – это функция от t . Тогда
dx = dt, dy = du ;

.
Или
.
Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается подстановкой u = z t , где z – это функция от t .

Видео:Решение диффура, приводящегося к однородному #1Скачать

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению первого порядка

Решить уравнение
(П.1) .

1) Проверим, приводится ли это дифференциальное уравнение к однородному. Для этого выделяем две линейные формы:
2 x – y + 4 и x – 2 y + 5 .
Первую заменим на t (2 x – y + 4) , вторую – на t ( x – 2 y + 5) :
.
Делим на t :
.
t сократилось, поэтому это уравнение приводится к однородному.

2) Решаем систему

Из первого уравнения y = 2 x + 4 . Подставляем во второе:
x – 2(2 x + 4) + 5 = 0 ;
x – 4 x – 8 + 5 = 0 ;
– 3 x = 3 ;
x = – 1 ;
y = 2 x + 4 = 2·(–1) + 4 = 2 .
Итак, мы нашли решение системы:
x ₀ = –1 , y ₀ = 2 .

3) Делаем подстановку:
x = t + x ₀ = t – 1 ;
y = u + y ₀ = u + 2 ,
где u – функция от t . dx = dt, dy = du , ;
;
.
Подставляем в (П.1):
(П.2) .
Это – однородное уравнение.

4) Решаем однородное уравнение (П.2). Делаем подстановку:
u = z · t , где z – функция от t .
u′ = ( z · t ) ′ = z′t + z t′ = z′t + z .
Подставляем в (П.2):
.
Сокращаем на t и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделяем переменные – умножаем на dt и делим на t ( z 2 – 1) . При z 2 ≠ 1 получаем:
.
Интегрируем:
(П.3) .
Вычисляем интегралы:
;

.
Подставляем в (П.3):
.
Умножим на 2 и потенцируем:
;
.
Заменим постоянную e 2 C → C . Раскроем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C . Умножим на ( z + 1) 2 и применим формулу: z 2 – 1 = ( z – 1)( z + 1) .
.
Сократим на ( z – 1) :
.
Возвращаемся к переменным u и t , используя формулу: u = z t . Для этого умножим на t :
;
;
.
Возвращаемся к переменным x и y , используя формулы: t = x + 1 , u = y – 2 .
;
(П.4) .

Теперь рассмотрим случай z 2 = 1 или z = ±1 .
;
.
Для верхнего знака «+» имеем:
;
.
Это решение входит в общий интеграл (П.4) при значении постоянной C = 0 .
Для нижнего знака «–»:
;
.
Эта зависимость также является решением исходного дифференциального уравнения, но не входит в общий интеграл (П.4). Поэтому к общему интегралу добавим решение
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-07-2012 Изменено: 22-06-2015

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент

Данный пост является продолжением моей статьи [1] на Хабрахабре об аттракторе Лоренца. Здесь рассмотрим метод построения приближенных решений соответствующей системы, уделив внимание программной реализации.

Динамической системой Лоренца является автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

где , r и b являются положительными числами. Для исследования поведения решений системы обычно берут классические значения параметров системы, т.е.

Как было отмечено в статье [1], в этом случае в системе (1) имеет место неустойчивость ее решений на аттракторе. По сути, это делает некорректным применение классических численных методов на больших отрезках времени (а на таких отрезках и строятся предельные множества динамических систем). Одним из вариантов преодоления этой проблемы является переход к высокоточным вычислениям, но такой подход ставит исследователя в жесткие рамки: во-первых, малая степень свободы для уменьшения ошибки (изменение величины шага интегрирования и точности представления вещественного числа для управления вычислительным процессом), во-вторых, большой объем вычислений при очень малых .

Другим вариантом решения данной проблемы может быть применение метода степенных рядов. В работе [2] описана модификация этого метода для динамических систем вида (1), позволяющая достаточно быстро определять коэффициенты разложений

где коэффициенты , и определяются начальными условиями; также получена длина (шаг) отрезка сходимости рядов (2):

если , то , иначе ,

— любое положительное число.

Заметим, что приведенная в статье [2] схема получения длины отрезка сходимости степенных рядов может по аналогии перенесена на другие динамические системы третьего порядка с нелинейностями вида (1) (например, система, описывающая поведение саморазвивающейся рыночной экономики [3, с. 261]).

Несмотря на то, что все траектории системы (1) ограничены и ее правая часть всюду аналитична, первоначальный вычислительный эксперимент показал, что радиус сходимости рядов (2) ограничен и зависит от выбора начальных условий. Поэтому описанным способом мы можем получить только часть траектории. Процедура построения дуги траектории на любом отрезке времени заключается в сшивке частей траектории, составляющих искомое решение, на которых сходятся ряды (2). Ошибкой интегрирования, накапливаемой при переходе от дуги к дуге траектории из-за погрешности нахождения текущего приближенного решения, можно управлять за счет варьирования точности разложения в степенной ряд. Использование при этом высокоточных вычислений позволяет продолжить решения на очень большие промежутки времени, поскольку невозможно сделать сколь угодно малой из-за ограничения на машинный эпсилон.

По формулам (3) вычисляем , и до такого значения i, при котором имеет место оценка

Понятно, что значительного накопления ошибки интегрирования на длинных временных отрезках нам и здесь не избежать, поэтому будем реализовывать высокоточные вычисления с плавающей точкой на базе библиотеки GNU MPFR Library, а точнее, C++-интерфейса библиотеки MPFR для работы с вещественными числами произвольной точности — MPFR C++. Она удобна тем, что в ней имеется класс mpreal с перегруженными арифметическими операциями и дружественными математическими функциями. Для установки библиотеки в Ubuntu Linux выполним

Кроме пакета libmpfr-dev менеджеров пакетов потянет еще и libgmp-dev. Это devel-пакет библиотеки GNU Multiple Precision Arithmetic Library или GMP (MPFR является ее расширением).

Рассмотрим пример кода на C++ вычисления значений фазовых координат в конечный момент времени, а также проверки найденных значений.

Для компиляции файла lorenz.cpp с этим кодом выполним следующее

Как видно из листинга программы, для хранения значений коэффициентов степенных рядов используются векторы из библиотеки STL. Было принято, что количество бит под мантиссу вещественного числа равно 180. Диапазон изменения экспоненты — по умолчанию от до (на 32-битных платформах). Функция machine_epsilon() определения машинного эпсилон была использована для того, чтобы узнать его значение для заданного представления вещественного числа. В данном случае

Приведем результаты вычислительного эксперимента. В качестве начальных условий возьмем значения, близкие к аттрактору Лоренца:

Отрезок времени, на котором производилось вычисления, — . Первоначально точность оценки общего члена ряда бралась равной . Этого достаточно, чтобы получить результат

;

(уменьшая значение , значения координат не изменятся). При этом можно брать вещественные числа с меньшим объемом памяти.

Значения производных, как и значения координат, приведены для того, чтобы проиллюстрировать факт возвращения траектории в окрестность начальной точки, но незамыкания, как это следовало бы ожидать из гипотезы существования циклов в системе (1). После такого сближения точка траектории уходит от своего начального положения, но потом опять возвращается в ее окрестность. Такое поведение предсказывает качественная теория дифференциальных уравнений (устойчивость по Пуассону точек рекуррентных траекторий на аттракторе; это было указано в [1] и обсуждено на конференции [4]).

Указанная разрядность для вещественного числа была выбрана с целью отследить не только возврат траектории системы Лоренца в окрестность начальных условий [1, рис. 1], но и для прохода назад по времени от конечной точки к начальной по дуге траектории (равенство параметра way функции calc() -1). Тогда в расчетах нужно брать . В результате получаются значения, совпадающие с начальными до седьмого знака после запятой (метод toString() класса mpreal, вызванный без параметров, говорит о преобразовании числа в строку с максимальным количеством знаков после запятой):

x = 13.412656286837273085165416945301946328440634370684244
y = 13.4643000297481126631507883918720904312092673686014399
z = 33.4615641630148784946354299167181879731357599130041067

Такое малое значение выбрано потому, что при движении по траектории в отрицательные значения времени наблюдается сильная неустойчивость решений — они сразу уходят в бесконечность от аттрактора, поскольку мы при расчетах находимся вблизи от него, а не непосредственно на нем.

В программе также предусмотрено фиксированное значение шага. Проверено, число 0.02 может быть использовано для построений приближенных решений вблизи аттрактора Лоренца. Это значение гораздо больше того, которое получается из приведенной оценки из работы [2] (флаг FL_CALC равен 1) для любых начальных условий, но при удалении начальной точки на значительное расстояние от аттрактора метод перестает работать (ряды не сходятся).

В работе [5, с. 90, 91] для исследования траекторий системы (1) применяется метод Эйлера с переменным шагом интегрирования. Величина выбирается с отслеживанием ошибки на текущем шаге (т.е. локальный контроль), используя интервальную арифметику. Однако нет проверки общей ошибки интегрирования. Проход назад по времени, описанный выше, нам гарантирует правильность построения приближенного решения. Варьируя точностью оценки общего члена ряда, можно уменьшить ошибку на шаге, что не позволяет метод Эйлера. Также в рассмотренной модификации метода степенных рядов преимуществом перед общей схемой метода рядов Тейлора является быстрый расчет по формулам (3) коэффициентов разложения по сравнению с процедурой символьного дифференцирования правых частей уравнений системы (кроме того, в нелинейном случае под символьные выражения требуется много памяти для их хранения при вычислении производных высших порядков).

Таким образом, зная состояние системы Лоренца в прошлом, мы с достаточной степенью точности можем предсказать поведение ее траекторий в течение длительных интервалов времени, а также вернуться назад. По сути здесь нарушается формальное определение хаоса [6, с. 118, 119].

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Частный случай: уравнение второго порядка Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка где р, Р2 — действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем искать их в виде где тогда Подставляя эти выражения для у и ее производных в уравнение (1), получаем .

Так как , то должно выполняться равенство Следовательно, функция у = eAz будет решением уравнения (1), т. е. будет обращать его в тождество по х, если А будет удовлетворять алгебраическому уравнению Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1), а его левая часть называется характеристическим много-членом.

Уравнение (3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через А] и 1 они могут быть 1) действительными и разными; 2) комплексными; 3) действительными и равными. Рассмотрим каждый случай в отдельности. 1. Если корни Л|, Аг характеристического уравнения действительные и разные, то частными решениями уравнения (1) будут функции Эти решения линейно независимы (Aj Ф А2) и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения.

Общее решение уравнения

Общее решение уравнения имеет вид — произвольные постоянные). Пример 1. Найти общее решение уравнения М Составляем характеристическое уравнение: Оно имеет корни Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Отсюда получаем искомое общее решение 2.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты р], р2 характеристического уравнения действительные, комплексные корни входят попарно сопряженными. Положим, что Частные решения дифференциального уравнения (1) можно записать в виде Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем заниматься лишь действительными решениями.

С помощью формул Эйлера частные решения ij и у2 уравнения (1) можно представить в виде Воспользовавшисьтеоремой 4, получим, что частными решениями уравнения (1) будут также функции _ Эти решения линейно независимы, так как Решения образуют фундаментальную систему решений уравне-ния (1), общее решение которого в этом случае имеет вид или Пример 3.

Найти общее решение уравнения 4 Характеристическое уравнение имеет кратные корни Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения: Замечание. Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (вообще, с переменными коэффициентами) Пусть — частное решение уравнения. Введем новую искомую функцию ti(x) соотношением (разрешимым относительно н(х) в тех интервалах, где yi(x) не обращается в нуль).

Из этого соотношения найдем производные от у : и подставим их в уравнение (5): Для функции и(х) получаем опять уравнение порядка п, но коэффициент при м(х) есть £(yil-Он тождественно равен нулю, так как yi (х) есть решение уравнения (5). Следовательно, в полученном уравнении порядок понизится, если ввести новую искомую функцию z(x) = и'(х).

Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на yi(x) Ф 0, приведем его к виду Итак, если известно частное решение уравнения (5), то задача интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию линейного однородного уравнения порядка п — . Можно показать, что если известны два частных линейно независимых решения, то порядок уравнения может быть понижен на две единицы. Вообше, если известно г частных линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения, то порядок этого уравнения может быть понижен на г единиц. 6.2.

Физические приложения: уравнение колебаний Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Рассмотрим уравнение свободных механических колебаний, причем независимой переменной будем считать время t: где у — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, rh — масса точки, h — коэффициент трения (считаем, что сила трения пропорциональна скорости), к > 0 — коэффициент упругости восстанавливающей силы (считаем, что эта сила пропорциональна отклонению).

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение для (6) имеет корни Если трение достаточно велико, h2 > Атк, то эти корни действительные и отрицательные. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид Так как то из (7) заключаем, что при большом трен и и отклонение точки от положения равновесия с возрастанием t стремится к нулю, не совершая колебаний. Если трение мало, Атк, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни Общее решение уравнения (6) в этом случае определяется формулой или Отсюда видно, что в случае малого трения происходят затухающие колебания. Пусть теперь трение отсутствует, .

В этом случае характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни Решение уравне- ния (6) имеет вид . в этом случае происходят незатухающие гармонические колебания с частотой ш = и произвольными амплитудой А и начальной фазой 6. Задача. При каких 1) все решения уравнения стремятся к нулю при 2) каждое решение уравнения обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? 6.3. Общий случай: уравнение произвольного порядка Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение произвольного порядка п (п ^ 1) с постоянными коэффициентами ) гдерьрг,,Рп — действительные числа.

Общее решение дифференциального уравнения (8) находим так же, как и в случае уравнения второго порядка. Ищем решение в виде Подставляя вместо у величину еХх в уравнение (8), получаем , что приводит к характеристическому уравнению 2. Находим корни характеристического уравнения. 3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения уравнения (8), руководствуясь тем, что: а) Каждому действительному однократному корню А характеристическою уравнения соответствует частное решение уравнения (8).

б) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней соответствуют два линейно независимых частных решения уравнения (8). в) Каждому действительному корню А кратности г соответствует г линейно независимых частных решений уравнения (8). Рассмотрим случай в) подробнее. Пусть число А есть корень кратности г характеристического уравнения . Функцию будем рассматривать как функцию двух аргументов: ж и А.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Она имеет непрерывные производные по а: и по А всех порядков, причем Поэтому частные производные функции по х и по А не зависят от порядка дифференцирования (операции дифференцирования функции у по х и по А перестановочны), так что Воспользовавшись этой перестановочностью, а также тем, что Если А есть г-кратный корень характеристического уравнения то стало быть, правые части (10) и (11) тождественно по х равны нулю: Это означает, что функции являются в этом случае решениями уравнения (8).

Легко проверить, что функции линейно независимы на любом интервале (a, b) изменения х. г) Приведенные в пункте в) рассуждения сохраняют силу и для комплексных корней.

Поэтому каждой паре комплексно сопряженных корней p кратности l отвечает 2/х частных решений уравнения 4. Число построенных таким образом частных решений уравнения (8) равно порядку п этого уравнения. Можно показать, что все эти решения линейно независимы в совокупности. Имея п линейно независимых частных решений 3/i(x), skfc). уп(я) уравнения (8), получаем общее решение этого уравнения, где произвольные постоянные. Прммер 4. Найти общее решение уравнения Составляем характеристическое уравнение: 2. Находим корни характеристического уравнения: 3.

По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения: 4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид Схема решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение действительные числа). Характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения Частные линейно независимые решения дифференциального уравнения Общее решение уравнения — произвольные постоянные). §7.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Существуют линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, которые с помощью замены переменных преобразуются в уравнения с постоянными коэффициентами. К их числу принадлежит уравнение Эйлера где pi.tp2, —tPn — постоянные числа.

Ограничимся рассмотрением уравнения Эйлера 2-го порядка (оно встречается в задачах математической физики): Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Положим Подставляя выражения для , получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Последнее интегрируется обычным приемом: составляем характеристическое уравнение находим его корни и по характеру корней выписываем общее решение уравнения (2), после чего возвращаемся к старой переменной х. Пример. Найти общее решение уравнения Замена переменной х = приводит к уравнению характеристическое уравнение которого имеет корни Общее решение преобразованного уравнения равно Учитывая, что , для общего решения исходного уравнения получаем выражение Замечание 1.

Для преобразованного уравнения (2) в случае действительных и различных корней характеристического уравнения (3) частные решения имеют вид Поэтому можно сразу задаться этим видом частного решения. Подставляя в уравнение (1), получим для к уравнение ) совпадающее с (3). Каждому простому действительному корню уравнения (4) отвечает частное решение уравнения (1); двукратному корню отвечают два решения уравнения (1).

Паре комплексных сопряженных корней уравнения (4) будут соответствовать два решения уравнения (I). Замечание 2. Уравнение постоянные числа) подстановкой также приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. §8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид Здесь заданные на некотором интервале (а, р) функции. Если ао(ж) Ф 0 на (а, то после деления на ац(х) получим уравнение.

Из теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши получаем: если на отрезке [а, 6] коэффициенты Рк(х) и правая часть /(х) уравнения (2) непрерывны, то это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям Уравнение (2) можно записать в виде где, как и выше, Теорема 12. Если у(х) есть решение неоднородного уравнения есть решение соответствующего однородного уравнения мПо условию, В силу линейности оператора £ имеем Это означает, что функция есть решение уравнения Теорема 13.

Если у(х) есть решение уравнения есть решение уравнения та функция есть решение уравнения По условию, используя линейность оператора £, получаем Последнее означает, что функция есть решение уравнения Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения). Теорема 14. Если уравнение где все коэффициенты и функции действительные, имеет решение то действительная часть решения и(х) и его мнимая часть v(x) являются соответственно решениями уравнений.

По условию имеем Отсюда получаем: Теорема 15 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение в области — уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами , и правой частью f(x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения у(х) неоднородного уравнения, т. е. Надо доказать, что где произвольные постоянные, линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения £[у] = 0, является общим решением неоднородного уравнения.

Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций у(ж), определяемое формулой (4), удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в этом определении. В самом деле, функция у(х), определяемая формулой (4), является решением уравнения (2) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо решения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного уравнения есть решение неоднородного уравнения.

Так как для уравнения (2) при х 6 [а, Ь] выполнены условия теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором постоянных С, в (4) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям где хо € (а,6), т.е. можно решить любую задачу Коши. Ограничимся случаем, когда п = 3.

Потребовав, чтобы решение (4) удовлетворяло начальным условиям (5), приходим к системе уравнений для отыскания Эта линейная по отношению к система трех уравнений с тремя неизвестными допускает единственное решение относительно з при произвольных правых частях, так как определитель этой системы есть определитель Вронского W(x$) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля в любой точке ж € (а, Ь), в частности в точке ж = жо.

уо, Уо> Уо» найдется решение С?, С?, Cj системы (6) такое, что функция будет решением дифференциального уравнения (2), удовлетворяющим начальным условиям Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Из этой теоремы следует, что задача нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения сводится к отысканию какого-либо частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных 155 Пример 1.

Найти общее решение уравнения М Нетрудно заметить, что функция является частным решением данного неоднородного уравнения. Чтобы найти общее решение этого уравнения, остается отыскать общее решение соответствующего однородного уравнения Это уравнение есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению , есть корни его Поэтому общее решение уравнения (*) имеет вид . Общее решение исходного неоднородного уравнения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🔥 Видео

Урок 223 (осн). Альфа- и бета-распад. Правила Содди.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Составить дифференциальное уравнение семейства кривыхСкачать