Дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда в контуре и его решение (4 видео)

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Содержание

Характеристики затухающих колебаний
Уравнения затухающих колебаний
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в электрическом контуре
Вывод дифференциального уравнения затухающих колебаний
💡 Видео

Видео:Затухающие колебания Лекция 11-1Скачать

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:

m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,

Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q = R L C = R ω 0 L .

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .

Функция изображается аналогично рисунку 2 .

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение

Для нахождения I ( t ) :

I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .

Запись полной энергии будет иметь вид:

W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .

Где sin α = β ω 0 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.

Видео:70. Затухающие колебанияСкачать

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в электрическом контуре

В электрических цепях колебания затухают из-за наличия омических сопротивлений в элементах цепи. Для анализа затухающих электрических колебаний рассмотрим эквивалентную схему контура (рис. 19).

Рис. 19. Эквивалентная схема электрического колебательного контура

Электрический ток I в контуре существует благодаря кулоновским силам заряженного конденсатора С и сторонним силам, возникающим в катушке индуктивности L. В некоторый момент времени конденсатор имеет заряд q , а напряжение между его пластинами равно U. При разряде конденсатора в катушке возникает э.д.с. самоиндукции e_L, пропорциональная скорости изменения тока:

Согласно закону Ома ток в цепи:

Преобразуем уравнение (3.4) к уравнению одной переменной, а именно, — напряжения U на обкладках конденсатора.

Ток в цепи равен убыли заряда q на конденсаторе:

Заряд конденсатора равен:

Подставив формулы (3.7), (3.8) в формулу (3.4), получим

Данное дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания напряжения на обкладках конденсатора в электрическом контуре. Решение дифференциального уравнения (3.9) имеет вид

где (3 — коэффициент затухания

со — циклическая частота затухающих колебаний

где ю₀ — частота колебаний в отсутствии затуханий:

Период затухающих колебаний Т равен

При значении коэффициента затухания (3 = о>₀ возникает апериодический режим разряда конденсатора (режим критического затухания). Из формул (3.12-3.14) следует, что колебания возможны лишь при условии

то есть, если

Если R > , то частота и период становятся мнимыми, колебания

не возникают, разряд конденсатора становится апериодическим. Сопротивление контура, равное

[Г

называется критическим сопротивлением. Величина, равная J—,

называется волновым сопротивлением контура.

По аналогии с механическими затухающими колебаниями введем понятие декремента затухания. Декрементом затухания называется отношение двух последующих (разделенных интервалом временем равным периоду) амплитуд колебаний:

Декремент затухания D характеризует быстроту затухания колебаний и показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное одному периоду. Натуральный логарифм отношения (3.18) называется логарифмическим декрементом затухания:

Логарифмический декремент X затухания колебаний в электрическом контуре будет иметь следующее выражение:

Амплитуда колебаний в контуре убывает по экспоненциальному закону:

При t = амплитуда затухающих колебаний уменьшается в

2,72 раза, (т.е., в е раз). Это время обозначается т и называется временем релаксации колебательной системы. Время релаксации колебательной системы любой природы — это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,72 раза.

Из формул (ЗЛ1), (3Л 8) -(3.20) следует

Кроме коэффициента затухания, декремента, логарифмического декремента и времени релаксации для характеристики затухающих колебаний используется понятие добротности. Добротность Q электрического контура (как и любой колебательной системы) пропорциональна отношению полной энергии колебаний W(t) к потерям энергии AW за один период Т:

Полная энергия колебательного контура равна максимальной энергии магнитного поля в катушке индуктивности:

потери энергии AW равны тепловым потерям энергии на активном сопротивлении контура R за один период колебаний:

где 1_эфф = -4L — действующее или эффективное значение силы тока в

Следовательно, добротность электрического колебательного контура будет равна:

Видео:Затухающие колебания на экране осциллографа.Скачать

Вывод дифференциального уравнения затухающих колебаний

Выведем дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника (упругого осциллятора). На колебательную систему при колебаниях действуют упругая сила F _vnp и сила трения F _тр, равные

где г — постоянный положительный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления.

Знак “минус “ говорит о том, что сила трения направлена всегда в сторону, противоположную направлению скорости движения тела. По второму закону Ньютона или отсюда

Введём обозначения: со₀ = _- циклическая (круговая) частота

свободных незатухающих колебаний пружинного маятника, когда нет потерь энергии, её называют собственной частотой системы.

Обозначим отношение —= 2/?, р =— = const >0

С учётом введённых обозначений уравнение (18.60) примет вид

Формула (19.61) является дифференциальным уравнением свободных механических затухающих колебаний пружинного маятника.

Рассмотрим свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре, содержащем, кроме конденсатора, катушки индуктивности, так же и активное сопротивление, которое складывается из сопротивления резистора, проводов и катушки индуктивности (рис. 187).

Запишем закон Ома для колебательного контура, т. е. неоднородного участка электрической цепи 1 L — R — 2

где U = — Д — разность потенциалов на обкладках 1, 2 конденсатора,

f, = L-— — ЭДС самоиндукции.

Сила J электрического тока в колебательном контуре равна

Знак “ минус “говорит о том, что положительному направлению электрического тока соответствует убывание электрического положительного заряда q на первой обкладке конденсатора. Тогда уравнение (19.673 запишется r чипе

Уравнение (19.63) дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний электрического заряда q в колебательном контуре.

Из сравнения уравнений (19.63) и (19.61) следует, что дифференциальные уравнения затухающих механических и электрических колебаний аналогичны друг другу. Эти уравнения запишем в общем виде

где S — колеблющаяся физическая величина.

Для пружинного маятника физическая величина S означает смещение тела относительно положения равновесия (S = х), а для колебательного контура под S понимают электрический заряд q обкладки конденсатора (S = ц).

Решение дифференциального уравнения (19.64) имеет вид

где S о,max — начальная амплитуда колебаний величины S,

(р₀ — начальная фаза колебаний.

со — циклическая частота затухающих колебаний, она равна or = col — 0 1 ?

где со₀ — собственная частота колебаний колебательной системы.

Начальная амплитуда S ₀.тах и начальная фаза ^ ^ и подставить их в дифференциальное

уравнение (19.63). В результате в правой части уравнения получим нуль. Так как

то закон изменения со временем амплитуды затухающих колебаний имеет вид

где А₀ — начальная амплитуда колебаний (Aq = So,_max), е — основание натурального логарифма.

Из уравнения (19.66) видно, что амплитуда А (?) затухающих колебаний убывает со временем по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше величина коэффициента затухания /?. График зависимости амплитуды затухающих колебаний физической величины S со временем ? приведён на рис. 188.

Затухание колебаний нарушает их периодичность. Колебания не являются периодическим процессом и к ним не применимо понятие периода или частоты. Но если затухание колебаний мало, то можно условно использовать понятие периода, как интервала времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины S. Но максимальное значение величины S, достигаемое в некоторый момент времени ?, в дальнейшем никогда не повторяется.

При затухающих колебаниях величина S через равные интервалы времени Т достигает максимального, минимального значения и обращается в нуль. Интервал времени Т между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся величины S, называется условным периодом, равным где со — условная циклическая частота затухающих колеЬаний, со₀ — собственная частота колебаний.

Циклическая частота со затухающих колебаний за счёт потерь энергии меньше собственной частоты со₀ колебаний. Свободные затухающие колебания не являются гармоническими. При малом затухании их можно рассматривать, как квазигармонические с частотой со и амплитудой А, убывающей со временем по экспоненциальному закону.

Рассмотрим изменение полной энергии W _пол колебательной системы для затухающих колебаний. Полная энергия W _пол пружинного маятника, совершающего механические колебания, равна

а полная энергия колебательного контура

Из уравнений (19.68) и (19.67) следует, что полная энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды и при затухающих колебаниях со внеменем убывает по закону