Дифференциальное уравнение явно не содержащее переменную

Видео:Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной (часть 1). Высшая математика.Скачать

Метод решения

Рассмотрим уравнение, не содержащее независимую переменную в явном виде:
(1) .
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:

Далее считаем, что функция u зависит от переменной y , тогда:
;
;
и т. д.

В результате такой подстановки, порядок уравнения понижается на единицу.

Видео:ДУ высших порядков, не содержащие независимую переменную.Скачать

Пример

Уравнение не содержит независимую переменную в явном виде. Делаем подстановку:
.
Считаем, что функция u зависит от переменной y . Тогда
.

Подставляем в исходное уравнение:
.
Делим на u . При имеем:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Делим на и умножаем на dy . При имеем:
.
Интегрируем:
(2) .

Подставляем в (2):
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную интегрирования . Знак модуля сводится к умножению на ±1 . Включим ±1 в постоянную . То есть мы теперь полагаем, что может быть не только положительным, но и отрицательным числом. Тогда:
.

Выполняем преобразования:
;
.
При имеем:
;
.

Разделяем переменные:
.
Интегрируем:
(3) .

Вычисляем интеграл:

.
Подставляем в (3):
;
.
Возводим в квадрат и выполняем преобразования:
;
;
(4) .

При выводе формулы (4) мы предполагали, что
и .
Теперь рассмотрим случаи
.
Нетрудно видеть, что решение, охватывающее эти три равенства, есть
(5) ,
где C – произвольная постоянная. Тогда . Подставляя это в исходное уравнение нетрудно убедиться, что оно выполняется. Это особое решение. Добавим его в ответ.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-07-2013 Изменено: 27-06-2018

Видео:14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.

Видео:Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции (часть 2). Высшая математика.Скачать

Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y‘

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

с искомой функцией .

Решая его, находим . Так как , то .

Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Заменяя z произведением функций u и v , получим

Тогда получим выражения с функцией v :

Выражения с функцией u :

Дважды интегрируем и получаем:

.

.

Интегрируем по частям и получаем:

.

Итак, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Видео:Диффуры, не содержащие искомую функцию yСкачать

Понижение порядка уравнения, не содержащего y

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Интегрируем полученную функцию:

Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:

.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :

Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:

Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:

.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Понижение порядка уравнения, не содержащего x

Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:

.

Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

.

При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Используя вновь подстановку

,

получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1 , y‘(0) = −1 .

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:

.

Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Чтобы определить C 1 , используем данные условия y(0) = 1 , y‘(0) = −1 или p(0) = −1 . В полученное выражение подставим y = 1 , p = −1 :

.

.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

.

Из начального условия y(0) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 , y‘(1) = −1 .

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Таким образом, получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p , получим

Интегрируем обе части уравнения

Используем начальные условия и определим C 1 . Если x = 1 , то y = 1 и p = y‘ = −1 , поэтому

.

Из начального условия y(1) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

Видео:Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной (часть 3). Высшая математика.Скачать

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка — ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8.6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

В дальнейшем, рассматривая дифференциальные уравнения высших порядков, ограничимся уравнениями второго порядка в силу того, что чаще всего на практике встречаются именно дифференциальные уравнения второго порядка.

1. Уравнение, не содержащее явно неизвестной функции y(х):

Для понижения порядка данного уравнения введем новую неизвестную функцию z(x) = у’(х). В результате исходное дифференциальное уравнение примет вид F(x, z, z’) = 0, решая которое найдем z = φ(x, C1) .

Учитывая, что у'(х) = z(x) = φ(х, C1), получим

Пример. Найдем общее решение дифференциального уравнения х ∙ у» = у’.

Сделав замену неизвестной функции z(x) = у'(х), получим уравнение x ∙ z’ = z, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

2. Уравнение, не содержащее независимой переменной х:

Введем новую неизвестную функцию р(у(х)) = у’ и примем у за независимую переменную. Тогда у’’ = р’ ∙ у’ = р’ ∙ р и исходное дифференциальное уравнение будет иметь вид F(y, р, р’ ∙ р) = 0, которое является уравнением первого порядка относительно неизвестной функции р(у). Определив общее решение данного уравнения р = р(у, С1), получим дифференциальное уравнение для определения у: dy/dx = р(у, С1). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, метод решения которого был рассмотрен выше:

Проинтегрировав последнее соотношение, получим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример. уу’’ –у’2 = 0. Введем новую неизвестную функцию р(у(х)) = у’ и, учитывая, что у’’ = р’ ∙ р, преобразуем дифференциальное уравнение к виду ур’р — р2 = 0. Далее имеем р(ур’ — р) = 0, из чего следует два уравнения р = 0 или ур’ — р = 0.

Первое уравнение при переходе к исходной неизвестной функции принимает вид у’ = 0, которое имеет решение у = С. Это особое решение исходного уравнения.

Второе уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

Далее, возвращаясь к исходной неизвестной функции, получим дифференциальное уравнение dy/dx = C1y, которое тоже является уравнением с разделяющимися переменными:

Вводя новую произвольную постоянную получим окончательный вид общего решения исходного дифференциального уравнения:

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

💡 Видео

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной (часть 2). Высшая математика.Скачать

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции (часть 3). Высшая математика.Скачать

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции (часть 1). Высшая математика.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

Дифференциальные уравнения, 7 урок, Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядкаСкачать

ДУ высших порядков, не содержащие независимую переменную. ПримерыСкачать

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

Понижение порядка ДУ не содержащего X. Задача о математическом маятнике | Дифференциальные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать