Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний формула и его стационарное решение формула

Вынужденные колебания — это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия. Рассмотрим колебания грузика на пружине (рис. 6.5), если к нему (наряду с силой упругости F = -kx и силой сопротивления F_c = -rv) приложена внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

По аналогии с формулой (5.21)

В соответствии с теорией дифференциальных уравнений установившееся решение неоднородного (с ненулевой правой частью) дифференциального уравнения вынужденных колебаний (6.10) имеет вид гармонической функции, изменяющейся с частотой внешнего воздействия

Здесь сдвиг фазы 2 + 4р 2 “в„ Равна нулю:

откуда несложно найти резонансную частоту внешнего воздействия

(сравните с частотой затухающих колебаний ш = -у/(о₍ 2 ₎ -р‘).

С ростом коэффициента затухания резонансная частота падает, при 2р- = (Од доходит до нуля, а при 2р 2 > ш₀ 2 резонанс пропадает.

Резонансная амплитуда находится подстановкой резонансной частоты в амплитуду:

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Вынужденные колебания

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Определение вынужденных колебаний

Для того чтобы в реально существующей колебательной системе получать незатухающие колебания, следует каким-либо образом компенсировать потери энергии, которые происходят в результате существования сил сопротивления. Самым простым способом реализации незатухающих колебаний является воздействие на систему при помощи внешней периодической силы. Работа внешней силы обеспечить приток энергии в систему извне. Эта энергия не даст колебаниям затухнуть, при действии сил трения.

Колебания, которые возникают под действием периодически меняющейся силы (периодически изменяющейся ЭДС), называют вынужденными механическими (электромагнитными) колебаниями.

Видео:Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)Скачать

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Допустим, на механическую колебательную систему действует гармонически изменяющаяся внешняя сила:

Рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник). Уравнение незатухающих гармонических колебаний для этой системы можно записать как:

где $x$ — координата; $delta $ — коэффициент затухания; $_0$ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний (если $delta $=0, то $_$называют собственной частотой колебаний).

Если рассматривается, например, электрический колебательный контур, то роль периодически действующей силы может играть внешняя ЭДС или переменное напряжение. Их подводят к контуру извне и изменяются они по гармоническому закону. Уравнение колебаний в электрическом контуре можно представить как:

где $q$ — заряд; $delta =frac$ — коэффициент затухания; $_0=frac<sqrt>$; $U=U_m$ — внешнее переменное напряжение.

Уравнения (2) и (3) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида:

где $s$ — колеблющийся параметр; $x_0=frac$ если колебания механические ($x_0=frac— в случае электрических колебаний$).

Решением уравнения (4) является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение при этом имеет вид:

Его общее решение:

где $A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Частное решение уравнения (4) в представлено выражением:

Слагаемое $s_1$ в решении уравнения (5) играет значительную роль в начальной стадии установления колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не будет определяться выражением (8).

Установившись, вынужденные колебания происходят с частотой $omega $ и являются гармоническими. Амплитуда и фаза этих колебаний определяются равенствами (8) и (9), и они зависят от частоты $omega $.

Видео:Свободные электромагнитные колебания. 11 класс.Скачать

Резонанс вынужденных колебаний

Если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний, то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Такое явление называют резонансом.

Из выражения (8) видно, что амплитуда имеет максимум. Для нахождения резонансной частоты (частоты при которой $A=max$), следует найти максимум функции $A(omega )$. Взяв производную $frac$ и приравняв ее к нулю получим:

Равенство (10) справедливо при:

Получается, что резонансная частота ($_r$) равна:

При $^2ll ^2_0$ резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний $_0.$ Подставим вместо частоты правую часть выражения (11) в формулу (8), получим выражение для резонансной амплитуды вынужденных колебаний:

При небольшом затухании колебаний (если $^2ll ^2_0$) амплитуда при резонансе равна:

где $Q=frac<_0>$ — добротность колебательной системы, величина, характеризующая резонансные свойства колебательной системы. С увеличением добротности увеличивается амплитуда резонанса.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Примеры задач с решением

Задание. Какова добротность колебательного контура, представленного на рис.1?

Решение. Добротность электрического колебательного контура найдем как:

При этом собственная частота колебаний в таком контуре равна:

коэффициент затухания находим как:

Подставляет правые части выражений (1.2) (1.3) вместо соответствующих величин в (1.1), в результате, добротность представленного на рис. 1 контура найдем при помощи формулы:

Ответ. $Q=10$

Задание. Пружинный маятник выполняет вынужденные колебания в вязком веществе. Масса груза на пружине равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Коэффициент сопротивления среды равен $r$. Систему заставляет совершать колебания сила $F=$Чему равна резонансная амплитуда заданных колебаний ($A_r$)?

Решение. Допустим, что груз совершает колебания вдоль прямой X, тогда уравнением данных механических колебаний будет выражение:

где коэффициент затухания равен $delta =frac$. Из функции, которая задает вынуждающую силу:

мы видим, что амплитуда силы равна единице:

Собственная частота колебаний груза на пружине:

Амплитуда при резонансе таких колебаний равна:

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

Уравнение вынужденных колебаний

Если маятник отвести от положения устойчивого равновесия и отпустить, то он начнет совершать собственные затухающие колебания под действием упругой силы и силы сопротивления. Будем считать, что упругая сила пропорциональна смещению F_упр = −kx, а сила сопротивления пропорциональна скорости движения . Здесь и r – коэффициенты упругости и сопротивления. Если кроме этого приложить к маятнику еще внешнюю периодическую силу , то он будет совершать вынужденные колебания.

Получим формулу для амплитуды вынужденных колебаний маятника, решив уравнение второго закона Ньютона

. (16.1)

Разделив на массу, приведем уравнение к канонической форме

, (16.2)

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. В нем введены обозначения: – коэффициент затухания, – циклическая частота собственных свободных колебаний.

Как показывает опыт, если на маятник начать действовать периодической силой, то вынужденные колебания устанавливаются не сразу. В течение некоторого времени на вынужденные колебания накладываются собственные колебания. Но так как собственные колебания являются затухающими, то со временем они исчезают и маятник совершает только вынужденные колебания. Их частота равна частоте внешней периодической силы. Поэтому частное решение уравнения (16.2) будем искать для установившихся вынужденных колебаний в виде

, (16.3)

где – амплитуда колебаний, наибольшее смещение маятника от положения равновесия. Чтобы убедиться, что функция (16.3) является решением, следует подставить ее и первую, вторую производные в уравнение (16.2)

. (16.4)

Это уравнение содержит две неизвестные величины: амплитуду колебаний А и сдвиг фаз между силой и смещением . Для их определения воспользуемся заменой тригонометрического уравнения его геометрическим представлением в виде векторной диаграммы (рис. 16.1).

Для этого из полюса О следует провести векторы, длины которых равны амплитудам, а углы относительно полярной оси равны начальным фазам. Теперь, если вращать векторы вокруг полюса О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной частоте ω, то их проекции будут равны членами уравнения (16.4).

На векторной диаграмме сумма векторов, изображающих слагаемые в левой части уравнения должна быть равна вектору, изображающему правую часть уравнения (16.4). Запишем теорему Пифагора для заштрихованного треугольник

. (16.5)

Отсюда получим уравнение для амплитуды вынужденных колебаний

. (16.6)

С ростом частоты амплитуда сначала возрастает от величины статического смещения , достигает наибольшего значения и затем снова уменьшается (рис. 16.2). Сильное увеличение амплитуды вынужденных колебаний при некоторой частоте называется резонансом. Чтобы получить условие резонанса, следует, как при поиске максимума функции, приравнять производную от подкоренного выражения (16.6) к нулю. Откуда получим . Как видно, резонанс наступает при частоте вынуждающей силы, близкой к частоте свободных колебаний. Подставив частоту резонансав формулу (16.6), получим для амплитуды резонанса

. (16.7)

Резонанс обусловлен тем, что направление скорости тела и направление силы совпадают в течение всего периода колебания. Поэтому отбор мощности от источника (N=F∙V)оказывается наибольший. Чем меньше сопротивление среды (β → 0), тем выше амплитуда при резонансе.

По резонансной кривой можно определить коэффициент затухания. Проведем на уровне горизонтальную линию (рис. 16.2). Абсциссы точек пересечения определим, подставив в левую часть уравнения (16.6) амплитуду при резонансе (16.7), деленную на . Решив квадратное уравнение относительно корней ω₁ и ω₂, получим, что полуширина резонансной кривой Δω = ω₁– ω₂ равна коэффициенту затухания: .

Сдвиг фаз между силой и смещением можно определить из треугольника векторной диаграммы (рис. 16.1)

. (16.8)

При малых частотах вынуждающей силы (ω

Определим центробежную силу инерции. Якорь – не болванка, а сложная конструкция и изготовить ее идеально точно крайне затруднительно. Центр масс якоря может быть смещен относительно оси вала на некоторое расстояние r₀. Уменьшают этот разбаланс методом статической балансировки, добиваясь при строго горизонтальной оси якоря безразличного равновесия в любом положении. Однако, возможно, что у одной части якоря ее центр масс находится по одну сторону оси вала, а у другой – по другую, хотя общий может быть на оси. Тогда при вращении возникает переменный момент сил. Его устраняют методом динамической балансировки, уравновешивая каждую часть якоря дополнительными грузами.

Ограничимся действием только центробежной силы инерции. Ее равнодействующая приложена к центру масс. Величина центробежной силы равна , где m_як – масса якоря, ω_як – угловая скорость вращения якоря, r – расстояние от оси вращения до центра масс якоря. Вектор силы вращается вместе с якорем. В проекции на вертикальное направление, вдоль которого происходят колебания двигателя, центробежная сила становится периодической силой, вызывающей вынужденные колебания двигателя с циклической частотой, равной скорости вращения якоря:

. (16.9)

Амплитуда колебаний двигателя относительно вагона рассчитывается по формуле (6), при подстановке амплитуды центробежной силы

. (16.10)

Проблема в приведенных расчетах заключается в том, что вал при вращении под действием центробежной силы изгибается, и расстояние от оси вращения до центра масс r не постоянно, оно зависит от скорости вращения. При малой скорости вращения центробежная сила увеличивает изгиб вала. Если частота вращения оказывается равна частоте собственных колебаний якоря на валу, наступает резонанс и расстояние центра масс от оси вращения наибольшее. А при очень большой скорости вращения сила и смещение оказываются в противофазе, как это должно быть при вынужденных колебаниях якоря на валу, и смещение стремится к нулю. Вибрации при этом почти исчезают.

Таким образом, тяговый электродвигатель может иметь даже две резонансных частоты: при колебаниях двигателя как целого в подвеске и при колебаниях якоря относительно корпуса двигателя. Если же резонанс наступил, то следует быстрее увеличить скорость вращения и пройти опасный диапазон.

Задачи

1. Определить, при какой скорости вагон начнет сильно раскачиваться в вертикальном направлении из-за ударов о стыки рельсов. Масса вагона 60 т, коэффициент упругости восьми пружин подвески 2·10 7 Н/м, длина рельса 25 м.

2. Центр масс ротора массой 400 кг тягового двигателя массой 800 кг смещен относительно оси вращения на 0,01 мм. Двигатель подвешен к раме вагона, коэффициент упругости подвески 8·10 5 Н/м. При какой частоте вращения наступит резонанс. Определить амплитуду колебаний при резонансе, если коэффициент затухания амортизаторов 0,8 1/с.

3. Определить амплитуду вынуждающей силы вибростенда по графику зависимости амплитуды от частоты вынужденных колебаний (рис.16.4) колесной пары массой 1200 кг, установленной с пружинами подвески на вибростенде. Коэффициент затухания колебаний 0,3 1/с

4. Колесная пара массой 1300 кг с подвеской установлена на вибростенде. Определить приближенно по графику (рис.16.4) коэффициент затухания амортизаторов как полуширину резонансного пика на уровне . Определить коэффициент упругости пружин подвески.

5. На вагон массой 40 т со стороны рельсов действует вертикальная переменная сила F = 300 sin 31,4 t Н. При каком значении коэффициента упругости подвески вагона наступит резонанс. Чему равна при этом амплитуда колебаний, если коэффициент затухания 0,4 1/с.

6. Определить, при какой скорости начнет сильно раскачиваться вагон, совершая галопирующие колебания из-за ударов о стыки рельсов. Масса вагона 60 т, расстояние между осями 12 м, длина вагона 15м, коэффициент упругости передней и задней подвесок 1·10 7 Н/м. Длина рельса 25 м.

7. Определить, при какой амплитуде колебаний вагона при вибрации с частотой 20 Гц незакрепленные предметы будут подпрыгивать относительно пола вагона.

17. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ

Волны – это процесс распространения колебаний в пространстве. Существует большое многообразие видов механических волн в упругих средах. Наиболее известны объемные волны. В объеме газа, жидких и твердых сред могут распространяться продольные волны, в которых частицы совершают колебания вдоль направления распространения волны. В твердых средах могут распространяться поперечные волны, в которых частицы совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны. Различные виды волн распространяются вдоль поверхности жидкости, твердых тел, по земной коре. Распространяются волны в стержнях, шнурах, проводах и так далее. Всегда, когда среда обладает упругостью и массой, в ней могут распространяться упругие волны.

Уравнение волны.

Получим уравнение волны. Это уравнение изменения параметра колебаний частиц средыв любой точке пространства в зависимости от времени и расстояния до источника колебаний. Параметром, который периодически изменяется в упругой волне, может быть смещение частиц от положения равновесия, скорость частиц, или плотность и давление в жидкости и газе, механические напряжения, т.д. Под частицей понимается сравнительно небольшой объем вещества, но содержащий огромное число молекул, которые движутся совместно.

Пусть, например, смещение источника происходят по уравнению , где А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота колебаний. Источник действует на ближайшие частицы окружающей среды, вынуждая их совершать колебания около их положений равновесия с частотой колебаний источника. Те, в свою очередь, заставляют совершать колебания следующие частицы. Происходит процесс распространения вынужденных колебаний в пространстве, который называется волной.

Поверхность среды, до которой дошло возбуждение от источника колебаний, называется фронтом волны. Форма фронта волны может быть различной. В однородной среде фронт от точечного источника (пульсирующий шарик) является сферическим. Фронт можно считать плоским на большом расстоянии от точечного источника или при излучении большой колеблющейся плоскостью, или при колебаниях поршня в цилиндрической трубе.

Пусть от источника распространяется вдоль оси x волна с плоским фронтом. Если можно пренебречь затуханием колебаний, то амплитуда колебаний частиц среды одинакова. Частицы среды начинают колебания позже, чем источник. Время запаздывания равно времени распространения волны , где V – скорость распространения фронта волны, x – расстояние от источника колебаний до частиц на фронте. Уравнение вынужденных колебаний частиц на оси x будет отличаться от уравнения колебаний источника только временем запаздывания

. (17.1)

Это уравнение является уравнением бегущей гармонической (синусоидальной) волны. Его можно изобразить графиком синусоиды, который вместе с волной перемещается вдоль оси x со скоростью фронта (рис. 17.1). За время одного периода колебаний фронт перемещается на расстояние, называемое длиной волны . Длина волны также равна расстоянию между ближайшими точками на линии распространения, разность фаз которых равна 2π радиан.

Перепишем уравнение волны, введя в него длину волны. Подставив при , получим

. (17.2)

Здесь называется волновым вектором. В общем случае это вектор, показывающий направление распространения фронта волны. Если волна распространяется в направлении против оси x, то волновой вектор в уравнении (17.2) отрицателен.

Функция (17.2) описывает распространение монохроматической бесконечной волны. Аргумент функции называется фазой. Поверхность среды, для частиц которой фаза постоянна, , называется волновой поверхностью. Для частиц на фронте фаза равна нулю. Фронт и волновые поверхности перемещаются с так называемой фазовой скоростью. Продифференцировав формулу фазы, получим .

Если волна излучается конечное время, то её описывают как группу монохроматических волн разных близких частот и скорость перемещения группы называют групповой скоростью.

При распространении волны частицы вещества, то есть масса вещества, волной не переносится. Переносится кинетическая и потенциальная энергия колебаний и импульс вследствие взаимодействия частиц.

Интерференция волн

Интерференция – это явление наложения волн, в результате которого в пространстве возникают области усиления и ослабления колебаний. Согласно принципу суперпозиции, волны при встрече не искажают друг друга, проходят друг через друга, не изменяясь. В области наложения волн происходит перераспределение энергии колебаний. Устойчивое во времени и в пространстве интерференционное распределение энергии возможно только при наложении когерентных волн. Волны являются когерентными, если разность фаз в точке наблюдения постоянна по времени и частоты одинаковы. Для поперечных волн дополнительно должно соблюдаться условие параллельности направления колебаний. Усиление колебаний будет, если в точке наблюдения разность фаз равна четному числу π радиан, (горб на горб). Волны ослабляют друг друга, если разность фаз равна нечетному числу π радиан, (горб на впадину).

Рассмотрим частный случай интерференции – образование стоячих волн. Например, в струне, концы которой закреплены в стенках. Если перпендикулярно струне действует периодическая сила, то от места возбуждения в обоих направлениях распространяются поперечные волны. Достигнув места закрепления у стенки, волны отражаются. По закону сохранения энергии амплитуда отраженной волны должна быть равна амплитуде бегущей волны. Отраженная и бегущая волны интерферируют. Около самой стенки струна закреплена, и её конец совершать колебания не может. Значит, в этой точке отраженная волна должна быть в противофазе с бегущей волной. Уравнения для бегущей и отраженной волны примут вид

;(17.3)

. (17.4)

Здесь А – амплитуда колебаний w – циклическая частота, x– координата от начала струны. Бегущая и отраженная волны накладываются. Сложив уравнения волн по формулам тригонометрии, получим уравнение для результата интерференции

. (17.5)

Как видно, частицы струны совершают колебания с частотой бегущей волны, но фазовая скорость отсутствует. Собственно говоря, это не волна, а колебательное состояние среды. Его называют стоячей волной. Выражение имеет смысл амплитуды. Точки среды, где амплитуда равна нулю, называются узлами смещения. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны. Узлы отделяют друг от друга изолированные зоны, называемые пучностями, в которых частицы совершают колебания (рис.17.2). Направления колебаний в соседних пучностях противоположны. Максимальная амплитуда в два раза больше амплитуды бегущих волн. Стоячая волна в струне может возникнуть при условии, что на её закрепленных концах будут узлы смещения. Для этого длина струны должна быть равна целому числу полуволн (рис.17.3).

Видео:Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Примеры решения задач

Видео:ЧК_МИФ_3_3_8_1 _(L2)___ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙСкачать

Колебания и волны

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

(147.2) Классическая механика или механика Ньютона изучает движение тел, которое состоит в перемещении тел или их частей друг относительно друга.

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х0 :

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных в уравнение (147.6), получаем

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h =w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна

где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что (см. (143.4)) и (см. (146.11)):

Продифференцировав Q=Qmcos(wt– a ) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

Выражение (147.14) может быть записано в ввде

где j= a – p/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j>0), если w L>1/(wС), и опережает напряжение (j w L

📽️ Видео

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

1 Лекция 12 Затухающие и вынужденные колебанияСкачать

Урок 361. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуреСкачать

Лекция №11 "Вынужденные колебания" (Попов П.В.)Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Затухающие колебания Лекция 11-1Скачать

Билеты №45 "Вынужденные колебания в линейных системах"Скачать

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Якута А. А. - Механика - Вынужденные колебания. АЧХ. ФЧХСкачать