Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в lc контуре

Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре

Заряд q совершает гармонические колебания по закону

с циклической частотой

Эта формула называется — формула Томсона. В формуле Томсона — амплитуда колебаний заряда. Сила тока в колебательном контуре

опережает по фазе колебания заряда q на .

Здесь — амплитуда силы тока.

Разность потенциалов обкладок конденсатора также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом q

где — амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока

Величина называется волновым сопротивлением колеба­тельного контура.

15.Сложение гармонических колебаний.

Если система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах, то под сложением колебаний понимают нахождение закона,

описывающего результирующий колебательный процесс.

используем метод вращающегося вектора амплитуды (метод векторных диаграмм).

Так как векторы А₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω, то разность фаз между ними остается постоянной.

Уравнение результирующего колебания будет

где амплитуда А и начальная фаза 𝜑 задаются соотношениями

Сумма двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты есть гармоническое колебание в том же направлении и с той же

частотой, что и складываемые колебания.

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний:

1) , где (т = 0,1,2. ), тогда А = А₁+А₂;

2) , где (т = 0,1,2. ), тогда А = |А₁ — А₂|.

16.Биения.

Биениями называются периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны 𝜔 и ω+∆ω, причем ∆ω≪ω. Путь для простоты начало отсчета выбрано так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю

,

Результирующее колебание будет иметь вид — гармоническое колебание с частотой ω, амплитуда которого изменяется по закону с частотой (частота биений вдвое больше частоты изменения косинуса, поскольку А_6иений берется по модулю).

17. Разложение Фурье..

Любое сложное периодическое колебание s = f(t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω₀

Такое представление периодической функции f(t) называется разложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.

Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω₀, 2ω₀, 3ω₀ и т. д., называются первой (или

основной), второй, третьей и т. д., гармониками сложного периодического колебания s = f(t).

Совокупность этих гармоник образует спектр колебания s = f(t).

18. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.

Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты , происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты выберем начало отсчета так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю

где α — разность фаз колебаний, а А и В — их амплитуды. Уравнение траектории результирующего колебания (исключая t из уравнений) есть уравнение эллипса, произвольно расположенного относительно координатных осей,

и такие колебания называются эллиптически поляризованными.

19. Линейно поляризованные колебания.

Если разность фаз равна то

эллипс вырождается в отрезок прямой

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m, а знак минус — нечетным значениям m.

Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой со и амплитудой и совершается вдоль прямой, составляющей с осью х угол . Такие колебания называются линейно поляризованными колебаниями.

20. Циркулярно поляризованные колебания.

Если разность фаз , где

(m = 0, ± 1, ± 2. ), то уравнение траектории

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам А и В.

Если А=В, то эллипс вырождается в окружность, и такие колебания называются циркулярно поляризованными или колебаниями, поляризованными по кругу.

21. Фигуры Лиссажу.

Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическими частотам pω и qω, где qи р — целые числа

то значения координат х и у одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Т₀ равные наименьшему общему кратному периодов и колебаний вдоль осей х и у. Траектории замкнутых кривых, которые получаются в этих случаях, называются фигурами Лиссажу.

Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рисунке показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях отноше­ния (2:1, 3:2, 4:3) и разности фаз

ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

22. Затухающие колебания.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний стечением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Затухание механических колебаний вызывается главным образом трением. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.

Система называется линейной, если параметры, характеризующие те физические свойства системы, которые существенны для рассматриваемого процесса, не изменяются в ходе процесса.

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единый подход к изучению колебаний различной физической природы.

23. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

линейной системы имеет вид

где s — колеблющаяся величина,

δ=const— коэффициент затухания,

ω₀ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при δ=0).

В случае малых затуханий решение этого уравнения:

,

где: — амплитуда зату­хающих колебаний,

А₀ — начальная амплитуда,

— циклическая частота затухающих колебаний.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний.
Затухающие колебания не являются периодическими.
Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода затухающих колебаний как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся физической величины

24. Декремент затухания.

Если A(t) и A(t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

называется логарифмическим декрементом затухания.

Здесь N — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

25.Добротность колебательной системы.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени tк убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T (за один условный период затухающих колебаний)

Энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды А(t), поэтому

При малых значениях логарифмического декремента затухания , поэтому (принимая Т≈T₀) .

26. Примеры свободных затухающих колебаний

Рассмотрим затухающие колебания различной физической природы:

a. механические колебания — пружинный маятник с массой m , который совершает малые колебания под действием упругой силы F = -kx и силы трения (r — коэффициент сопротивления)

b. электромагнитные колебания — колебания в колебательном контуре состоящем из сопротивления R, индуктивности L и емкости С

Будем сравнивать оба случая с дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний линейной системы

решение которого имеет вид

27. Вынужденные колебания.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону

В случае механических колебаний таким фактором является вынуждающая сила . Закон движения для пружинного маятника

будет иметь вид

В случае электрического колебательного контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя ЭДС или переменное напряжение . Уравнение колебаний в контуре будет иметь вид

В общем виде дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

Это уравнение — линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение равно сумме общего решения однородного

уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Можно показать, частное решение имеет вид

где А и φ задаются формулами

Так для электромагнитных колебаний, если обозначить а — сдвиг по фазе между зарядом и приложенным напряжением, то можно показать, что решение дифференциального уравнения будет иметь вид где

Сила тока при установившихся колебаниях

Силу тока можно записать в виде , где —

сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Тогда можно показать, что

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды

вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (или, в случае электрических колебаний, частоты вынужда­ющего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы.

Амплитуда вынужденных колебаний имеет максимум при частоте

, которая называется резонансной частотой. (Первая производная знаменателя ( ) обращается в нуль при .)

При , амплитуда достигает предельного значения , которое называется статическим отклонением. В случае механических колебаний . В случае электромагнитных колебаний

При , амплитуда стремится к нулю.

В случае малого затухания, когда , резонансная амплитуда

где Q — добротность колебательной системы, A₀ — статическое отклонение.

Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы — чем больше Q, тем больше A_0.

29. Переменный ток.

Переменным током называются вынужденные колебания тока в цепи, совпадающие с частотой вынуждающей ЭДС.

Пусть переменная ЭДС (или переменное напряжение) имеет вид

Где U_m — амплитуда напряжения.

Тогда на участке цепи, имеющей сопротивление R, емкость С и индуктивность L, закон Ома будет иметь вид

или

Рассмотрим частные случаи цепи.

(1)R≠0, C→ 0, L→ 0: переменное напряжение приложено к сопротив­лению R. Закон Ома

Амплитуда силы тока

Колебания тока происходят в одной фазе с напряжением.

Для наглядности воспользуемся методом векторных

диаграмм и будем изображать векторами, угол между которыми равен разности фаз.

(2)R→0, C→ 0, L≠ 0: переменное напряжение приложено к катушке индуктивности.
ЭДС самоиндукции в катушке

Закон Ома , откуда после интегрирования получим

где .

Таким образом, падение напряжения U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на .

Величина называется реактивным индуктивным сопротивлением. Для посто­янного тока (ω=0) катушка индуктивности не имеет сопротивления.

(3)R→ 0, C≠ 0, L→ 0: переменное напряжение приложено к конденса­тору.

где

Таким образом,падение напряжения U_С отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на .

Величина называется реактивным емкостным сопротивлением. Для постоянного тока (ω=0) R_C=∞, т.е. постоянный ток через конденсатор течь не может.

(4) В общем случае R≠ 0, C≠ 0, L≠ 0. Если напряжение в цепи

изменяется по закону , то в цепи течет ток

где и ф определяются формулами

Величина называется полным сопротивле­нием цепи.

Величина называется реактивным сопротивлением.

Таким образом, , , причем , .

30. Резонанс напряжений.

Если , то φ=0 — изменения тока и напряжения происходят синфазно. В этом случае Z=R и ток определяется только активным сопротивлением и достигает максимально возможного значения. Падение напряжения на конденсаторе U_C и на катушке индуктивности U_L одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (последовательным резонансом).

Частота называется резонансной.

31. Резонанс токов.

К цепи переменного тока, содержащей параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L, приложено напряжение

Токи в ветаях 1С2 (R = 0,L = 0) и 1L2 (R=0, C=∞) равны

и противоположны по фазам. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Если , то I_m1=I_m2 и I_m =0. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте ω_рез называется

резонансом токов (параллельным резонансом).

В реальных цепях R≠0, поэтому сила тока I_m>0, но принимает

наименьшее возможное значение.

32. Действующее значение переменного тока.

Действующим или эффективным значением переменного тока называется среднее квадратичное значение силы тока за период Т его изменения

поскольку

Аналогично, действующее значение напряжения:

33. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока.

Мгновенная мощность тока в цепи

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью Р тока

Множитель cosφ называется коэффициентом мощности.

Так как , и , то .

Если в цепи отсутствует реактивное сопротивление (X = 0) , то cos𝜑=1 и P=IU.

Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R= 0), то cosφ=0 и Р = 0, какими бы большими ни были ток и напряжение.

Волны в упругой среде.

34. Волновой процесс.

Если возбудить колебания в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной) то, вследствие взаимодействия между частицами среды, эти колебания будут передаваться от одной точки среды к другой со скоростью, зависящей от свойств среды.

При рассмотрении колебаний не учитывается детальное строение среды; среда рассматривается как сплошная, непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Среда называется линейной, если ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых колебаниями.

Волновым процессом или волной — называется процесс распро­странения колебаний в сплошной среде.

При распространении волны частицы колеблются около своих положений равновесия, а не перемещаются вслед за волной.

Вместе с волной от частицы к частице передается только состояние колебательного движения и его энергия.

Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества.

35. Упругие волны.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Продольная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

Поперечная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких и газообразных телах).

Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига (только в твердых телах).

36. Упругая гармоническая волна.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Пусть гармоническая волна распространяется со скоростью и вдоль оси ОХ. Обозначим смещения частиц среды через ξ=ξ(x,t).

Для данного момента времени t зависимость между смещением частиц среды и расстоянием х этих частиц от источника колебаний О можно представить в виде графика волны.

Отличие графика волныот графика гармонического колебания:

1)график волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени ξ=ξ(x,t=const);

2)график гармонического колебания это зависимость смещения данной частицы от времени ξ=ξ(x=const,t).

Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется гармоническая волна за время, равное периоду колебаний Т:

где n — частота колебаний, υ — скорость распространения волны.

Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к определенному моменту времени t.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один.

37.Бегущие волны.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает с направлением распространения энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно волне.

Важными примерами бегущих волн являются плоская и сферическая волны.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центры этих сфер называются центром волны.

38. Уравнение плоской волны.

Пусть точки, которые расположены в плоскости х=0, колеблются по закону ξ(0,t)=Acos𝜔t. И пусть υ— скорость распространения колебаний в данной среде.

Колебания частицы В среды (см. рисунок), расположенной на расстоянии х от источника колебаний О, будут происходить по тому же закону. Но, поскольку для прохождения волной расстояния х требуется время , то

ее колебания будут отставать по времени от колебания источника на τ.

Уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

Следовательно, функция ξ(x,t) является не только периодической

функцией времени, но и периодической функцией координаты х.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

здесь: А = const — амплитуда волны,

ω — циклическая частота,

φ₀ — начальная фаза волны,

— фаза плоской волны.

Если определить волновое число

то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде

или в экспоненциальной форме

где физический смысл имеет только вещественная часть.

В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении имеет вид

39. Фазовая скорость.

Скорость в этих уравнениях есть скорость распространения фазы волны и ее называют фазовой скоростью.

Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна

40. Уравнение сферической волны.

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием по

закону

41. Волновое уравнение.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных

или

где υ— фазовая скорость,

— оператор Лапласа.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x.

42. Принцип суперпозиции.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения) волн:

При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.

43. Групповая скорость.

Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы одновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).

Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).

Групповой скоростью и называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).

Связь групповой и фазовой скоростей

44. Интерференция волн.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени.

Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда. Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковыми амплитудой А₀, частотой со и постоянной разностью фаз

где r₁ и r₂ — расстояния от источников до рассматриваемой точки, к — волновое число, φ₁ и φ₂ — начальные фазы волн.

Амплитуда результирующей волны

Поскольку для когерентных источников 𝜑₁+𝜑₂=const, то результат

интерференции двух волн зависит от величины (r₁-r₂), называемой

Интерференционный максимум наблюдается в точках, где (т = 0,1,2. ).

Числа (m=0,1,2. ) называются порядком интерференционного максимума.

Интерференционный минимум наблюдается в точках,ГД е (m=0,1, 2. ).

Числа (m= 0,1,2. ) называются порядком интерференционного минимума.

45. Стоячие волны.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны. Стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси х

Сложив эти уравнения, с учетом cos(𝛼±𝛽)=cosαcos𝛽±sinαsinβ и k=2𝜋/λ, получим уравнение стоячей волны

В точках среды, где
(m = 0,1,2. ) амплитуда стоячей волны достигает максимального значения A_СТ=2A

Такие точки называются пучностями cтоячей волны.

В точках среды, где

(т = 0,1,2. ), амплитуда стоячей обращается в нуль A_СТ=2A. Такие точки называются узлами стоячей волны.

Координаты узлов: .

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн. Эту

величину называют длиной стоячей волны

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн.

Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то на границе сред образуется пучность.

Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то на границе сред образуется узел стоячей волны.

46. Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона при приближении источника звука к приемнику и понижения тона звука при удалении источника от приемника.

Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; υ_i и υ_p — скорости источника и приемника (положительны при сближении и

отрицательны при удалении источника и приемника); n₀ — частота колебаний источника; υ- скорость распространения звука в данной среде.

a. Источник и приемник покоятся относительно среды.

. Длина волны . Распространяясь в среде, волна

достигнет приемника и вызовет его колебания с частотой .

b. Приемник приближается к источнику, а источник покоится.

. Скорость распространения волны относительно приемника

станет равной , при этом длина волны не меняется, следовательно

Частота колебаний, воспринимаемых приемником увеличится.

c. Источник приближается к приемнику, а приемник покоится.

. Скорость распространения колебаний υ зависит только от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние . Источник же пройдет расстояние . Поэтому к моменту окончания излучения волны длина волны в направлении движения сократится и станет . Частота колебаний которые воспринимает приемник, увеличится

d. Источник и приемник движутся друг относительно друга.

Этот случай обобщает два предыдущих. Частота колебаний, воспринимаемых приемником.

Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Если направления скоростей не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле надо брать их проекцию на направление этой прямой.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫН ВОЛНЫ.

47. Электромагнитные волны.

Электромагнитные волны — это переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений

Максвелла

Дата добавления: 2014-10-31 ; просмотров: 689 ; Нарушение авторских прав

Видео:Свободные электромагнитные колебания. 11 класс.Скачать

Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний в электрическом колебательном контуре

Свободные (собственные) колебания электрического заряда q на обкладках конденсатора и силы J электрического тока в электрическом колебательном контуре возникают, когда предварительно заряженный конденсатор замыкают на катушку с индуктивностью L (рис. 175).

Силу J электрического тока можно считать одинаковой во всех частях контура в каждый момент времени t, если выполняется условие, что электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью, равной скорости света с в вакууме

где I — линейные размеры контура, с — скорость света в вакууме, v — частота колебаний.

Переменный электрический ток, для которого выполняется данное условие, называют квазистационарным. Колебательный контур можно рассматривать, как разомкнутую электрическую цепь, концами её являются обкладки конденсатора.

Пусть в некоторый момент времени t электрический заряд на обкладках конденсатора равен q (t), а разность потенциалов (

Для участка электрической цепи 1 — L — 2 (рис. 175) запишем закон Ома, согласно которому произведение силы J электрического

тока на электрическое сопротивление R участка цепи равно сумме разности потенциалов (рр/ — 1 — циклическая частота свободных колебаний в контуре.

Согласно уравнению (19.35) сила / электрического тока опережает электрический заряд q по фазе на Д. В момент времени t,

когда сила J электрического тока в контуре максимальна (J = J _мах), электрический заряд q на обкладках конденсатора равен нулю (q = 0) и наоборот.

Напряжение U на конденсаторе со временем t изменяется по гармоническому закону, совпадая по фазе с электрическим зарядом q

где U _мах = ^ >»‘ амплитуда колебаний напряжения U (разности

Электродвижущая сила самоиндукции ? _с, а так же и энергии электрического Wи магнитного IV „_а,,„ поля изменяются со временем, совершая гармонические колебания, описываемые формулами

где ? с.мах = Ц мах ю₀ 2 — L- амплитуда колебаний ЭДС самоиндукции.

Полная энергия W _полн, сосредоточенная в колебательном контуре, описывается в любой момент времени t уравнением

Здесь учли, что со₀ = 1 и sin (со₀-Г + 1 с учётом, что J 2 _х = col ? q 2 ,

получим

Максимальные значения энергии электрического поля в конденсаторе достигаются в моменты времени, когда энергия магнитного поля катушки индуктивности равна нулю.

Согласно закону сохранения полной энергии, в колебательном контуре выполняется равенство

или

Итак, колебательный процесс в контуре характеризуется периодическим переходом энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки. Полная энергия колебательного контура в моменты времен t = 0, t = Т, t = 2Т и т. д. сосредоточена в

электрическом поле конденсатора, а в моменты времени t = Z. t = 1 Г,

t = 5 т и т. д .в магнитном поле катушки индуктивности. В

колебательном контуре дважды за период Т колебаний происходит перекачка энергии из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки индуктивности и обратно.

В начальный момент времени (t =0) на обкладках заряженного конденсатора размещается максимальный электрический заряд q (q = q _лшх) и энергия электрического поля имеет максимальную величину

Сила J электрического тока равна нулю (У = 0).

Сравним параметры свободных механических колебаний пружинного маятника и свободных электромагнитных колебаний в электрическом колебательном контуре (табл.4).

Тело массой m пружинного маятника в начальный момент времени (t =0) максимально удалено от положения равновесия Поэтому потенциальная энергия W упруго деформированной пружины имеет максимальное значение

Энергия электрического поля конденсатора является аналогом потенциальной энергии деформированной пружины пружинного маятника. Сила У электрического тока в колебательном контуре в момент времени t = >_Т достигает максимального значения (У = J _мах), 4

энергия магнитного поля в катушке с индуктивностью L максимальна (W = W_{маг мах}), а электрический заряд q на обкладках

конденсатора равен нулю (q = 0). Электрический ток не прекращается в контуре за счёт наличия катушки индуктивности и при отсутствии электрического заряда на обкладках.

Тело массой m пружинного маятника, движущееся под действием силы упругости к положению равновесия, в момент времени t = ф Т

проходит его по инерции с максимальной скоростью, имея максимальную кинетическую энергию W _мах, равную

Отсюда следует, что энергия магнитного поля катушки индуктивности является аналогом кинетической энергии пружинного маятника, а индуктивность L катушки аналогична массе т тела пружинного маятника.

Величина (J_), обратная ёмкости С конденсатора, аналогична

коэффициенту жёсткости к пружины.

Параметры свободных механических колебаний пружинного маятника и свободных электромагнитных колебаний в электрическом колебательном контуре

Электрический заряд конденсатора q

Скорость движения тела г = ^ х

Сила электрического тока _J=dq dt

Скорость изменения силы

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины

Энергия электрического поля

Кинетическая энергия движущего тела массы

Энергия магнитного поля катушки индуктивности

Индуктивность катушки L

Коэффициент жёсткости пружины к

Величина, обратная ёмкости конденсатора — 1

Частота собственных колебаний

Частота собственных электромагнитных колебаний

Видео:Физика 11 класс (Урок№7 - Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур.)Скачать

RLC-контур. Свободные колебания

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

R L C -контур

Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный R L C -контур, изображенный на рис. 2 . 2 . 1 .

Рисунок 2 . 2 . 1 . Последовательный R L C -контур.

Находясь в положении 1 , ключ К позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения δ . Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа К во второе положение и происходит через катушку индуктивности L и резистор R . При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой R L C -цепи закон Ома представляет из себя выражение:

J R + U = — L d J d t .

В данной формуле U = q C – напряжение на конденсаторе, q является обозначением заряда конденсатора, а J = d q d t – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора q ( t ) берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в R L C -контуре уравнение может быть приведено к виду:

q · · + R L q · + 1 L C q = 0 .

Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

q · · + ω 0 2 q = 0 .

Примем обозначение ω 0 2 = 1 L C . Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в L C — контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке 2 . 2 . 2 . На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения x ( t ) груза и q ( t ) конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока J ( t ) и скорости груза υ ( t ) за период T = 2 π ω 0 колебаний.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

Видео:5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

Свободные колебания

Свободные колебания в электрическом контуре носят название гармонических при условии отсутствия затухания.

Такие колебания происходят по закону:

q ( t ) = q 0 cos ( ω t + φ 0 ) .

Параметры L и C колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

«Начальными условиями», определяющими амплитуду q 0 и начальную фазу φ 0 , называют тот способ, при помощи которого систему вывели из равновесия.

Например, для процесса колебаний, который начнется в контуре, изображенном на рисунке 2 . 2 . 1 , после перевода ключа K в второе положение, q 0 = C δ , φ 0 = 0 .

Процесс свободных колебаниях провоцирует повторяющееся превращение запасенной в конденсаторе электрической энергии W э в магнитную энергию катушки W м и наоборот. В ситуации, когда потери энергии равны нулю, полная электромагнитная энергия системы не претерпевает изменений:

W = W э + W м = q 2 2 C + L J 2 2 = c o n s t

Однако любой реально существующий контур, в отличие от идеального, включает в себя некоторое сопротивление R . По этой причине, процесс свободных колебаний в подобном контуре не подчиняется гармоническому закону. Запасенная в контуре энергия с каждым периодом колебаний теряется, превращаясь в джоулево тепло, из-за чего колебания становятся затухающими (рис. 2 . 2 . 3 ).

Рисунок 2 . 2 . 3 . Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: F т р = – β υ .

В данной формуле сопротивление R электрического контура аналогично коэффициенту β . Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

q · · + 2 δ q · + ω 0 2 q = 0

Коэффициентом затухания называется физическая величина δ = R 2 L .

Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

q ( t ) = q 0 e — δ t cos ( ω t + φ 0 ) ,

Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель e x p ( – δ t ) . Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура.

Интервал времени τ = 1 δ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2 , 7 раза, называется временем затухания.

Понятие добротности Q колебательной системы:

где N является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания τ .

Любая добротность Q , относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение:

Q = 2 π З а п а с э н е р г и и в к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м е П о т е р я э н е р г и и з а 1 п е р и о д

Добротность Q , принадлежащая R L C -контуру, выражают формулой:

Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ω 0 идеального контура с такими же значениями L и C . Однако при Q ≥ ( 5 ÷ 10 ) данным различием можно пренебречь.

Рисунок 2 . 2 . 4 . Модель свободных колебаний в R L C -контуре.

🎬 Видео

Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Колебательный контур | ЕГЭ Физика | Николай НьютонСкачать

Урок 353. Колебательный контурСкачать

71. Вынужденные колебанияСкачать

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | ИнфоурокСкачать

Билеты №43,44 "Параметры колебательных контуров"Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Затухающие колебания Лекция 11-1Скачать

Колебательное движение. Уравнение гармонических колебаний | ФизикаСкачать

Тема 8. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания в контуре. Формула ТомсонаСкачать

Гармонические колебания. Вывод формул. Математический маятник. Пружинный маятник. LC-контурСкачать

Гармонические колебания | Физика 11 класс #8 | ИнфоурокСкачать

Урок 354. Математическое описание процессов в колебательном контуреСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать