Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки дано в виде

Глава 13. Динамика точки.

13.6. Вынужденные колебания.

13.6.1. Дифференциальное уравнение колебательного движения матери­альной точки дано в виде х + 10x = 1,5 sin (5 t + 0,4). Определить мас­су точки, если максимальное значение вынуждающей силы F₀ = 60 Н. (Ответ 40)

13.6.2. На тело, которое подвешено к пружине, действует вертикальная вынуждающая сила F = 30 sin 20t. Определить коэффициент динамич­ности, если угловая частота собственных колебаний тела k = 25 рад/с. (Ответ 2,78)

13.6.3. Дифференциальное уравнение колебательного движения мате­риальной точки имеет вид у + 36у = 50sin(5t + 0,8). Определить коэффициент динамичности. (Ответ 3,27)

13.6.4. Статическое удлинение пружины под дей­ствием груза λ = 9,81 см. Определить коэффи­циент динамичности, если на груз действует вертикальная вынуждающая сила F = 15 sin 5t. (Ответ 1,33)

13.6.5. На тело массой m = 3кг, которое подвешено к пружине, дейст­вует вертикальная вынуждающая сила F = 10 sin 5t. Определить коэффициент жесткости пружины, если коэффициент динамичности η = 4. (Ответ 100)

13.6.6. На тело массой m = 50 кг. которое подвешено к пружине, дейст­вует вертикальная вынуждающая сила F = 200sin 10t. Определить коэффициент жесткости пружины в к H/м, если амплитуда вынужденных колебаний равна 0,04 м. (Ответ 10)

13.6.7. Дифференциальное уравнение движения вертикальных колебаний тела имеет вид х + 16х = 20 sin (6t + 0,7). Определить коэффициент жесткости пружины, к которой подвешено тело, если максимальное значение вынуждающей силы F_o = 80Н. (Ответ 64)

13.6.8. Дифференциальное уравнение колебательного движения матери­альной точки дано в виде 5х + 320х = 90 sin 7t. Определить угловую частоту собственных колебаний точки. (Ответ 8)

13.6.9. На тело, которое подвешено к пружине, действует вертикаль­ная вынуждающая сила F = 40 sin 10t. Определить угловую частоту собственных колебаний, если коэффициент динамичности η = 3. (Ответ 12,2)

13.6.10. На тело массой m = 0,5 кг, которое подвешено к пружине с коэф­фициентом жесткости с = 600 Н/м, действует вертикальная вынуж­дающая сила F = 25 sin pt. Определить, при какой угловой частоте р вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний тела будет равна 0,05 м. (Ответ 14,1)

13.6.11. Дифференциальное уравнение колебаний материальной точки дано в виде х + 81х = 12 sin 5t. Определить амплитуду вынужденных колебаний. (Ответ 0,214)

13.6.12. На груз массой m = 0,1 кг, подвешенный на пружине с коэффициентом жесткости с = 0,5 Н/см, действует вынуждающая сила F = 0,3 sin t. Определить амплитуду вынужден­ных колебаний в мм. (Ответ 6,01)

13.6.13. Груз массой m = 18 кг, подвешенный к пружине с коэффициен­том жесткости с = 360 Н/м, совершает вертикальные колебания под действием вертикальной вынуждающей силы F = 36sin 3t. Опреде­лить амплитуду вынужденных колебаний. (Ответ 0,182)

13.6.14. Материальная точка массой m = 5 кг совершает колебания соглас­но уравнению у = 0,4 sin k t + 0,2 sin pt, где угловая частота собствен­ных колебаний k = 20 рад/с, а вынуждающей силы р = 10 рад/с. Опре­делить максимальное значение вынуждающей силы. (Ответ 300)

13.6.15. Дифференциальное уравнение движения вертикальных колебаний тела, подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости с = 24 Н/м, имеет вид х + 8х = 1,2 sin(4t + 0,3). Определить максималь­ное значение вынуждающей силы. (Ответ 3.6)

13.6.16. Дифференциальное уравнение колебательного движения мате­риальной точки массой m = 4 кг дано в виде х + 7х = 0,5 sin(3t + 0,6). Определить максимальное значение вынуждающей силы. (Ответ 2)

13.6.17. Вынужденные колебания материальной точки массой m = 1 кг в случае резонанса за­даны графиком функции х = x(t). Определить максимальное значение действующей на точку вынуждающей силы F = F₀ sin pt. (Ответ 1,26)

13.6.18. Тело массой m = 0,5 кг подвешено к кон­цу пружины с коэффициентом жесткости с = 200 Н/м и совершает вынужденные колеба­ния под действием вынуждающей силы F = 15 sin pt Определить угловую частоту вынуждающей силы, при которой наступит ре­зонанс. (Ответ 20)

13.6.19. Определить амплитуду вынужденных колебаний материальной точки, если дифференциальное уравнение ее движения имеет вид х + 6х + 30х = 4 sin 2t. (Ответ 0,140)

13.6.20. Определить коэффициент динамичности, если дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки у + 8у + 250у = 6 sin 10t (Ответ 1,47)

13.6.21. На тело массой m = 10 кг, которое подвешено к пружине с коэф­фициентом жесткости с = 150 Н/м, действуют вертикальная вынуж­дающая сила F = 10 sin pt и сила сопротивления R = -8v. Определить максимальную амплитуду установившихся вынужденных колебаний, которую можно достичь, изменяя значения угловой частоты вынуж­дающей силы. (Ответ 0,324)

13.6.22. Тело массой m = 5 кг подвешено к пружине с коэффициентом жесткости с = 50 Н/м. Сила сопротивления движению R = -4v. Опре­делить, при какой угловой частоте вертикальной вынуждающей силы коэффициент динамичности будет максимальным. (Ответ 3,11)

13.6.23. Дифференциальное уравнение колебательного движения матери­альной точки массой m = 12 кг имеет вид у + 8у + 60у = 15 sin 3t. Сила сопротивления движению точки R = — ηy. Определить коэффи­циент η. (Ответ 96)

13.6.24. Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки массой m = 3 кг имеет вид х + 4х + 30х = 15 sin 8t. Определить максимальное значение вынуждающей силы. (Ответ 45)

13.6.25. Тело массой m = 5 кг подвешено к пружине. Определить коэффи­циент жесткости пружины, если дифференциальное уравнение пря­молинейного поступательного движения тела имеет вид x + 6x + 40x = 5 sin 15t. (Ответ 200)

Колебательное движение

Определение и основные понятия колебательного движения

Колебательное движение (колебание) — это любое движение или изменение состояния, которое повторяется во времени, соответственно повторяются значения физических величин, которые характеризуют данное движение или состояние.

Различные физические явления представляют собой колебания: звуковые колебания, электромагнитные, механические и т.д. У всех этих явлений существует общее в законах и математических методах, при помощи которых они описываются.

Колебательное движение называется периодическим, если переменные параметры этих колебаний повторяются через равные промежутки времени.

Колебания называются свободными, если они происходят в системе, на которую не действуют внешние силы (или действие их взаимно скомпенсировано).

Такая система один раз выводится из состояния равновесия. Если колебательная система консервативная, то рассеяния энергии при колебаниях нет. В таком случае свободные колебания являются незатухающими. Свободные незатухающие колебания, которые происходят под воздействием упругих сил, являются гармоническими.

Периодом незатухающих колебаний называют минимальный промежуток времени ($T$) по истечении которого происходит повторение значений всех физических параметров, которые характеризуют колебание.

Частотой колебаний ($nu $) называют величину обратную периоду колебаний, это количество полных колебаний, которое совершает колебательная система:

Гармонические колебания

Самым простым типом колебаний считают гармонические колебания.

Колебания называют гармоническими, если изменения физической величины описывается при помощи закона синуса или косинуса.

Пусть происходят гармонические колебания никоторого параметра $s$, тогда они описываются как:

где $A=s_$ — амплитуда колебаний (постоянна во времени); $_0$ — циклическая (круговая) частота колебаний (с течением времени не изменяется); $varphi $ — начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $(_0t+varphi )$ — фаза колебаний. Величина $s$ изменяется $-Ale sle $+A.

Те же самые колебания можно описать как:

За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2pi $, поэтому:

Циклическая частота $_0$ равна числу полных колебаний, которые совершаются колебательной системой за $2pi $c:

Дифференциальное уравнение колебательного движения

Линейное дифференциальное уравнение гармонических колебаний представляет собой выражение:

Решениями уравнения (6) является выражения (2) и (3). Уравнение вида (6) называют уравнением гармонического осциллятора, а колебательную систему, которая совершает эти колебания гармоническим осциллятором (примерами гармонических осцилляторов являются: пружинный маятник, физический маятник, электрический колебательный контур).

Представление гармонических колебаний в комплексной форме

Сложение, разложение на составляющие и другие операции при изучении гармонических колебаний проще проводить, если представить уравнение гармонических колебаний в комплексной форме. При этом вместо действительной формы записи (2 и 3) используют комплексную:

Величина $tilde$ является комплексной и не дает реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной $s$ (2,3). Но мнимую часть величины $tilde$ можно рассматривать как действительной гармоническое колебание выраженное синусом. С другой стороны действительная часть (7) равная:

представляет собой вещественное гармоническое колебание. Поэтому гармонические колебания можно записывать в комплексном виде (7) и выполнять все требуемые расчёты. При получении результата нужно взять действительную или мнимую часть для перехода к физическим величинам.

Примеры задач на колебательное движение

Задание: Материальная точка, массой $m=^$кг совершает колебания согласно закону: $x=0,05$. Каково максимальное значение возвращающей силы, действующей на точку ($F_$)?

Решение:В соответствии со вторым законом Ньютона на материальную точку действует сила:

Так как колебания точки происходят по оси X, то получим:

Вычислим вторую производную от $xleft(tright)=0,05$, имеем:

Подставим правую часть выражения (1.3) в (1.2) вместо соответствующей производной, учитывая массу точки получаем:

Максимальное значение косинуса равно единице, значит:

Ответ: $left|F_right|=2cdot ^$Н

Задание: Нарисуйте траекторию колебательного движения точки, если она участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, которые описывают законы:

Решение:Определим, каким является уравнение колебательного движения точки в плоскости XY. Используем формулу косинуса двойного угла:

Из условия задачи:

Получаем, что $y$ равен:

Ответ: $yleft(xright)=A-frac<^2>$

Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки дано в виде

Тестовые вопросы по теме «Прямолинейные колебания точки»

— Как называется число полных колебаний, совершаемых за 1 с ?

1. частота колебаний

2. период колебаний

3. фаза колебаний

4. циклическая колебаний

5. амплитуда колебаний

— На рисунке представлен график колебаний. (для справки k — циклическая частота собственных колебаний; b — коэффициент вязкого сопротивления; f — коэффициент сухого трения; p — частота вынуждающей силы)

1. вынужденных при b =0, f =0, p k

2. затухающих при b k , f =0, p =0,

3. затухающих при b > k , f =0, p =0,

4. свободных при b =0, f =0, p =0.

— На представленном рисунке величина обозначенная как « α » — это.

1. период свободных колебаний

2. полупериод свободных колебаний

3. полупериод вынужденных колебаний

4. период вынужденных колебаний

— Данное дифференциальное уравнение d 2 x d t 2 + k 2 x =0 является уравнением.

1. вынужденных колебаний без учета сил сопротивления (случай резонанса)

2. свободных колебаний без учета сил сопротивления

3. вынужденных колебаний без учета сил сопротивления

4. вынужденных колебаний с учетом сил сопротивления

5. свободных колебаний с учетом сил сопротивления

— Период колебаний пружинного маятника определяется выражением?

1. 1 2 π m k

2. 2 π m k

3. 2 π k m

4. 1 2 π k m

5. m k

— Частота колебаний пружинного маятника определяется выражением?

1. 1 2 π m k

2. 2 π m k

3. 2 π k m

4. 1 2 π k m

5. m k

— Период колебаний математического мятника определяется выражением?

1. 1 2 π g l

2. 1 π g l

3. 2 π g l

4. 1 2 π l g

5. l g

— Частота колебаний математического маятника определяется выражением ?

1. 1 π g l

2. 2 π l g

3. 1 2 π l g

4. l g

— Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки дано в виде x + 10 х = 1,5sin(5 t + 0,4). Если максимальное значение вынуждающей силы равно 60 Н, то масса точки равна…

— На тело, которое подвешено к пружине, действует вертикальная вынуждающая сила F = 30sin20 t. Если угловая частота собственных колебаний тела равна 25 рад/с, то коэффициент динамичности равен…

— Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки имеет вид x + 36 х = 50sin(5 t + 0,8). Тогда коэффициент динамичности равен…

— На тело массой 3 кг , которое подвешен к пружине, действует вертикальная вынуждающая сила F = 10sin5 t. Если коэффициент динамичности равен 4, то коэффициент жесткости пружины равен…

— На тело массой 50 кг , которое подвешен к пружине, действует вертикальная вынуждающая сила F = 200sin10 t. Если амплитуда вынужденных колебаний равна 0,04 м, то коэффициент жесткости пружины в кН/м равен…

— Дифференциальное уравнение вертикального колебательного движения материальной точки на пружине дано в виде x + 16 х = 20sin(6 t + 0,7). Если максимальное значение вынуждающей силы равно 80 Н, то коэффициент жесткости пружины равен…

— Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки дано в виде 5 x + 320 х = 90sin7 t. Тогда угловая частота собственных колебаний точки равна…

— Статическая деформация пружины, к которой подвешен груз, равна λ = 2 см. Ускорение земного притяжения принять равным 10 м/с 2 . Тогда колебательное движеиие груза описывается дифференциальным уравнением.

1. x +400 x =0 ;

2. x +200 x =0 ;

3. x +450 x =0 ;

4. x +500 x =0 ;

5. x +250 x =0.

— Материальная точка массой 0,6 кг колеблется на вертикальной пружине согласно закону х = 25 + 3sin20 t (см). Тогда в момент времени 2 с модуль реакции пружины равен…

— Материальная точка массой 1 кг колеблется на вертикальной пружине в густой смазке с силой сопротивления R = — 0,1 v . В момент времени, когда ускорение точки равно 14 м/с 2 и скорость точки равна 2 м/с, то реакция пружины равна…

— Груз, подвешенный к пружине, совершает свободные колебания, график которых изображен на рисунке. Начало оси x совпадает с положением центра масс груза при равновесии системы. Начальные условия движения имеют вид.

1. x 0 = x 0 >0, x 0 = V 0 =0 ;

2. x 0 =0, x 0 = V 0 >0 ;

3. x 0 = x 0 x 0 = V 0 =0 ;

4. x 0 =0, x 0 = V 0 ;

5. x 0 = x 0 >0, x 0 = V 0 >0 .

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21