Дифференциальное уравнение колебаний моста имеет вид какие из констант необходимо обнулить (3 видео)

Дифференциальные уравнения, описывающие колебания моста

Разрешающие дифференциальные уравнения колебаний моста, представленного конечно-элементной моделью, преобразуются к совокупности n типовых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка /11-12/ относительно обобщённых координат :

, (6.2)

где неизвестная функция времени, отвечающая v-й собственной форме колебаний моста; n – число удерживаемых собственных форм; , – координаты в поперечном направлении точек опирания ой оси по левой и правой сторонам трёхосного автомобиля; ординаты собственных форм.

Прогибы ортотропной плиты проезжей части под ой осью по левой и правой сторонам трёхосного автомобиля отражают влияние обратной связи в совместных колебаниях системы «автомобиль– мост» и определяются по следующим формулам:

(6.3)

В качестве инертной подвижной нагрузки принят трёхосный самосвал SHACMAN полной массой M=41,0т. При вычислении квазистатической составляющей реакции главных балок пролётного строения на проезд трёхосной подвижной нагрузки использовалось прямое интегрирование уравнений движения с помощью численной пошаговой процедуры методом Ньюмарка. При этом решении подрессоренный автомобиль рассматривался только как силовое воздействие.

Для получения динамической составляющей реакции главных балок от совместного взаимодействия движущегося автомобиля с конструкцией моста, выполнялось совместное решение дифференциальных уравнений для автотранспортного средства (6.1) и для несущей мостовой конструкции (6.2) в программном комплексе Mathcad с использованием встроенной функции, реализующей метод Рунге-Кутта с постоянным шагом интегрирования. Шаг дискретизации по времени 0,005с. Скорость движения трёхосного грузовика принимается постоянной v=16 м/с = 57,6 км/ч. Время движения автомобиля 10,25с. Начальные условия для автомобиля принимаются статическими, для несущих конструкций моста – нулевыми. В расчёте грузовой автомобиль заезжает на разрезное пролётное строение моста начиная с 0,0 с. Изучение колебаний разрезного пролётного строения продолжается и после съезда автомобиля с моста. За время в 3,016с грузовик со скоростью 16 м/с полностью съедет с пролётного строения длиной 43,1м. В расчетах удерживалось из приведенных в табл. 6.1 настоящего раздела отчета пять собственных форм колебаний разрезного пролётного строения моста, наиболее значимые из которых первая изгибная и вторая изгибно-крутильная собственные формы.

Демпфирование для металлического разрезного пролётного строения задавалось постоянным для всех удерживаемых в расчёте собственных форм колебаний. Логарифмический декремент для рассматриваемого металлического пролётного строения моста – δ = 0,06. Параметр затухания колебаний – . Коэффициент затухания колебаний – .

Пробные вычисления динамической реакции моста на проезд автомобиля по абсолютно гладкой и не имеющей неровностей проезжей части показал, что колебания моста практически не возбуждаются. Это приводит к выводу, что влияние изменчивости прогибов (так называемой «обратной» связи), на колебания движущегося автомобиля и на колебания пролетного строения незначительно. Поэтому близкие к имеющим место при натурных динамических испытаниях колебания моста могут быть объяснены влиянием неровностей на проезжей части. Поэтому продолжим расчетное моделирование совместных колебаний моста после учета в разрешающих уравнений автомобиля кинематических возмущений от неровностей на проезжей части.

Рис. 6.24. Схематичное изображение положения проезда подвижной инертной нагрузки

Одиночную неровность в месте стыка соседних разрезных пролётных строений задаём детерминированной функцией в виде впадины. При проезде самосвалов через деформационные швы при натурных динамических испытаниях было зафиксировано, что возникают колебания кузова на частоте около 2,0 Гц. С целью моделирования этого процесса математически, впадину в месте деформационного шва необходимо сделать достаточно широкой, чтобы возбудились колебания кузова. При коротких одиночных неровностях и высоких скоростях движения грузовых автомобилей, колебания кузова не успевают возбудиться. Серия пробных расчётов показала, что ширину одиночной впадины в месте стыка пролётных строений необходимо сделать около 2,0м. Глубина впадины около 30мм.

Рис. 6.25. Расчетная одиночная неровность в начале пролётного строения в виде впадины шириной 2,0м и глубиной 30мм

Рис. 6.26. Расчётные вертикальныеколебания главных балок Б1 и Б2 в середине пролёта при проезде по рассматриваемому металлическому пролётному строению одиночного самосвала SHACMAN

Рис. 6.27. Расчётные спектральные плотности амплитуд вертикальных колебаний при проезде по рассматриваемому металлическому пролётному строению одиночного самосвала SHACMAN

Результаты моделирования совместных колебаний пролетного строения моста и движущегося через одиночную гладкую неровность трехосного автомобиля представлены на рис. 6.26, где изображены графики изменения прогибов главных металлических балок Б1 и Б2 в середине пролета №1 расчетной длиной 42,5м.

Из сопоставления приведенных на рис. 6.26 графиков с полученными при натурных испытаниях моста через реку Хопер и приведенных выше на рис. 6.19, видно, что характер колебаний и амплитудные значения близки. Совпадают также приведенные на рис. 6.20 и 6.27 спектральные плотности экспериментальных и расчетных графиков реакции моста на проезд трехосного автомобиля. Это дает основание считать, что принятые для расчетного моделирования предпосылки отвечают действительным особенностям рассматриваемых колебаний.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Дифференциальное уравнение колебаний моста имеет вид какие из констант необходимо обнулить

Глава 21. Малые колебания механических систем.

21.1. Колебания систем с одной степенью свободы.

21.1.17. Колебания механической системы описываются дифференциальным уравнением 9q + 4q = 2 sin 2t, где q — обобщенная координата. Совершаются ли вынужденные колебания механической системы в фазе с вынуждающей силой? (Ответ Heт)

21.1.18. Консервативная механическая система совершает резонансные колебания, закон изменения обобщенной координаты q во времени показан на рисунке. Во сколько раз увеличатся ординаты точек огибающей N, если в два раза увеличить амплитуду вынуждающей силы? (Ответ 2)

21.1.19. Колебания механической системы описываются дифференциальным уравнением 2q + 3q = 2 sin 5t, где q — обобщенная координата, м. Определить в мм амплитуду обобщенной координаты вынужденных колебаний. (Ответ 42,6)

21.1.20. Дифференциальное уравнение малых колебаний тела имеет вид Iφ + сl 2 φ = lF. Определить в рад амплитуду вынужденных колебаний тела, если момент инерции его относительно оси вращения I = 6 кг • м 2 , коэффициент жесткости пружины с = 3 кН/м, размер l = 0,5 м, сила F = 10sin6 πt. (Ответ 3,62 • 10 -3 )

21.1.21. Определить декремент колебаний механической системы, если дифференциальное уравнение колебаний этой системы имеет вид 8q + 16q + 800q = 0, где q — обобщенная координата. (Ответ 1,88)

21.1.22. Определить логарифмический декремент колебаний механической системы, если дифференциальное уравнение этой системы имеет вид 15q + 30q + 900q = 0. где q — обобщенная координата. (Ответ 0,818)

21.1.23. Колебания нелинейной механической системы описываются дифференциальным уравнением q + 3sinq + 4q = 0, где q — обобщенная координата. Определить логарифмический декремент малых колебаний системы. (Ответ 7,12)

21.1.24. Дифференциальное уравнение движения механической системы имеет вид 20q + 120q + 720q = 0, где q — обобщенная координата. Будет ли в этом случае движение системы апериодическим? (Ответ Нет)

21.1.25. Движение механической системы описывается дифференциальным уравнением 3q+ 6q + 2q = 0, где q — обобщенная координата. Будет ли это движение апериодическим? (Ответ Да)

21.1.26. Свободные затухающие колебания механической системы описываются дифференциальным уравнением 2q + q + 8q = 0, где q — обобщенная координата. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за два периода? (Ответ 4,87)

21.1.27. Определить период свободных затухающих колебаний механической системы, если дифференциальное уравнение колебаний этой системы имеет вид 12q + 48q + 432q = 0, где q — обобщенная координата. (Ответ 1,1)

21.1.28. Свободные затухающие колебания механической системы описываются дифференциальным уравнением 2q + 3q + 5q = 0, где q — обобщенная координата, м. Определить обобщенную координату в момент времени t = 1 с, если в начальный момент времени обобщенная координата q₀ = 0, а ее производная q₀ = 1 м/с. (Ответ 0,334)

21.1.29. Колебания механической системы описываются дифференциальным уравнением 5q + 10q + 125q = 12 sin 5t, где q — обобщенная координата. Определить фазовый угол установившихся вынужденных колебании. (Ответ 1,57)

21.1.30. Движение механической системы описывается дифференциальным уравнением q + 4q + 9q = 10 sin 3t, где q — обобщенная координата. Во сколько раз уменьшится амплитуда установившихся вынужденных колебаний при увеличении коэффициента сопротивления в 2 раза? (Ответ 2)

21.1.31. Дифференциальное уравнение колебаний механической системы имеет вид 64q + 170q + 3000q = F, где q — обобщенная координата, м; F = 150 sin 8t — вынуждающая сила, Н. Определить амплитуду установившихся вынужденных колебаний. (Ответ 8,59 • 10 -2 )

21.1.32. Определить, во сколько раз уменьшится амплитуда установившихся вынужденных малых колебаний неконсервативной механической системы с одной степенью свободы, если амплитуда гармонической обобщенной вынуждающей силы уменьшится в 3 раза. (Ответ 3)

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

Дифференциальное уравнение колебаний моста имеет вид какие из констант необходимо обнулить

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИНАМИКЕ

Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

Эти задачи следующие:

2. Построение расчетной схемы .

Ф ормулировка задачи — это условие ( текст) з адачи. Она осу ществляется руководител ем работ сов местно с испол нителе м.

Рас четная схема — эт о рисунок , на ко тор ом изображены :

а) ра циональ но выбранная система координат;

Математическая моде ль — э то система д иф фере нциальных уравн ений, алгебраических уравнений и на чальн ых условий, описывающих динамическое поведение механической системы.

Дано: m₁, m₂, m₃ — массы тел механической системы, с — жесткость упру гого элемента, r ₁ — радиус одн ородн ого катка 1, r₂, R₂ — радиусы ст упеней блока 2, i₂ — рад иус инерции блока 2 , — коэффициент с опротив ления среды, — угол наклона плос кост и, по которой катится каток 1.

Определить: применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Провести численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

Порядок выполнения работы:

3) Сформулировать начальные услови я движения.

4) Найти решение дифференциального уравнения движения.

6) По дставив на йденные постоянны е интегрирования в решение дифференциального уравнения, записать закон движ ен ия объ ект а .

8) Построить алгоритм вычис лени й для реализации н а ЭВМ.

9) Произ вес ти вычисления в дисплейном классе.

10) Произв ес ти графическую обработк у результатов вычис лений.

1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1. Постановка второй основной задачи динамики механической системы

Расчетная схема представлена на рис.2

— силы тяжести,

— нормальная реакция опорной плоск ости,

— си ла сцепления ,

— упругая реакция пружины,

— реакции подшипника блока 2,

— сила вязкого сопротивления,

— возмущающая си ла.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 1 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 3.

Для пост роения дифферен циального уравнения движен ия с истемы используем теорему об изменении к инетической энергии механической системы в форме:

, (1.1)

где Т — кинетическая энергия системы,

— сумма мощностей внеш ни х сил,

— сумма мощнос тей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: «Производная по времени от кинетической энергии механической системы равн а алгебраической сумме мощностей внеш них и внутренних сил, д ейс твующих на точки механической системы».

Вычислим ки нетическую энергию сис темы как сумму кинетических эн ергий тел 1-3:

. (1.2)

Каток 1 совершает плоскопараллельное движение, поэто му его кинетическая энергия опре деляется по теореме Кенига:

где V_C1 – скорость центра масс катка;

J_C1 – момент инерции относительно центральной оси катка;

– угловая скорость катка.

Блок 2 совершает вращ ательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

, (1.4)

где J_C2 – момент инерции относительно центральной оси блока;

– угловая скорость блока.

Груз 3 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

. (1.5)

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

. (1.6)

Выразим V_C1, и через скорость груза 3. Положив V₃ = V, получим

(1.7)

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

(1.8)

, (1.9)

. (1.10)

Величину будем называть приведенной массой.

Найдем производную от кинетической энергии по времени

. (1.11)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) — сумму мощностей внешних и внутренних сил.

. (1.12)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

. (1.13)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

; (1.14)

или, раскрывая скалярные произведения,

. (1.15)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1.16)

, (1.17)

. (1.18)

Величину F _пр будем называть приведенной силой.

Преобразуем выражение (1.18). Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического f _ст и динамического S_C1 удлинений

причем из выражения (1.7) для V_С1 следует, что .

Тогда упругая сила будет равна:

. (1.19)

Сила вязкого сопротивления . Приведенную силу с учетом последних формул для F _уп и R запишем в виде:

. (1.20)

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.20) и , получаем условие равновесия системы

. (1.21)

Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины

. (1.22)

Учитывая (1.22) в (1.20), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

. (1.23)

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

. (1.24)

Запишем последнее уравнение в виде:

, (1.25)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

— циклическая частота свободных колебаний,

— показатель степени затухания колебаний.

Запишем начальные условия движения:

. (1.26)

В ыражения (1.25) и (1.26) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

1.2. Определение закона движения системы.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

где — амплитуда возмущающей силы,

р — циклическая частота возмущения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25), имеет вид:

. (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

, (2.3)

где А и — неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие

. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

. (2.5)

В зависимости от знака подкоренного выражения, корни характеристического уравнения могут быть комплексно-сопряженными или действительными. Возможны три случая:

— подкоренное выражение отрицательное, следовательно корни комплексно-сопряженные,

— подкоренное выражение равно нулю, корни действительные, кратные.

— подкоренное выражение больше нуля, корни действительные, разные.

В первом случае ( ) общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

, (2.6)

где А ₁ , А₂ – постоянные интегрирования,

нетрудно представить в виде:

где a , — постоянные интегрирования.

Во втором случае ( ) общее решение имеет вид:

В третьем случае ( ) общее решение имеет вид:

Далее предполагается, что в рассматриваемом примере имеет место случай .

. (2.11)

Частное решение ищем в виде правой части

. (2.12)

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов А и В:

;

. (2.13)

Таким образом, решение (2.12) определено. Складывая (2.8) и (2.12), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.11)

Константы а и определяются из начальных условий (1.26). Для этого найдем производную по времени от (2.14)

Подчинив (2.14) и (2.15) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

Решая эту систему, получаем:

. (2.16)

Подставляя (2.16) в (2.14), получаем закон движения механизма.

1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей.

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения

, (3.1)

и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс

. (3.2)

В соответствии с расчетными схемами (рис. 3) записываем уравнения (3.1) и (З.2) в проекциях на оси координат

, (3.3)

, (3.4)

; (3.5)

, (3.6)

, (3.7)

; (3.8)

. (3.9)

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) -(3.9) преобразуем к виду:

, (3.10)

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций

, N ₁, F _сц , T ₁₂, T ₂₃, X ₂, Y ₂.

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение движения системы, и выражения для определения реакций.

2.1. Составлени е дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.

. (4.1)

Здесь — сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

— сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4). Реакции идеальных связей не учитывают и не отображают на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю. Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

. (4.2)

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем после несложных преобразований

. (4.3)

Аналогичное выражение для приведенной силы F _пр получено ранее [см. (1.23)].

Найдем возможную работу сил инерции:

. (4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

; ;

; . (4.5)

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

; ;

; ; (4.6)

; .

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

(4.7)

, (4.8)

. (4.9)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [см.(1.10)]. Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем

. (4.10)

Поделив (4.10) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

, (4.11)

;

. (4.12)

Дифференциальное уравнение (4.11) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.25).

2.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2— го рода.

Составим теперь уравнения Лагранжа 2-го рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

, (4.13)

— обобщенная скорость.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.8):

Учитывая, что , получаем

. (4.14)

Производные от кинетической энергии

; ; . (4.15)

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис. 4) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см. (4.3)]:

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

. (4.16)

Сравнивая два последних соотношения, получаем

Подставляя производные от кинетической энергии (4.15) и обобщенную силу (4.16) в уравнение Лагранжа, получаем

. (4.18)

Полученное уравнение (4.18) совпадает с уравнениями (1.25) и (4.11).

3. Анализ колебаний механической системы с одной степенью свободы

3.1. Колебания механической системы при отсутствии сил сопротивления среды

В дифференциальном уравнении движения системы, полученном ранее (1.25), полагаем , тогда уравнение движения примет вид:

(5.1)

Начальные условия: при заданы и .

3.1.1. Свободные колебания

Если внешнее возмущение отсутствует (т.е. ), то дифференциальное уравнение движения становится однородным:

(5.2)

и называется дифференциальным уравнением свободных колебаний, т.е. таких движений системы, которые происходят под действием так называемых восстанавливающих сил. Восстанавливающие силы – это такие силы, каждая из которых стремится вернуть систему в состояние статического равновесия (силы тяжести, упругие силы).

Решение уравнения (5.2) с учетом начальных условий имеет вид:

(5.3)

где ; ; . (5.4)

Анализируя решение (5.3) можно сделать следующие выводы:

1. Свободные колебания (рис.5.1) системы с одной степенью свободы представляют собой гармонические колебания.

2. Амплитуда (максимальное отклонение системы от состояния равновесия) и начальная фаза зависят от начальных условий.

3. Циклическая частота и соответственно период колебаний от начальных условий не зависят, а зависят только от жесткой и инерционной характеристик системы.

4. Отношения амплитуд колебаний различных точек системы не зависят от начальных условий, так как начальные условия влияют на амплитуды только через множитель , общий для всех точек.

5. Все точки системы всегда находятся в одной фазе, т.е. они одновременно проходят через свои равновесные положения; координаты всех точек одновременно достигают своих максимальных значений.

3.1.2. Вынужденные колебания

При воздействии возмущающей силы решение неоднородного дифференциального уравнения (5.1) с учетом начальных условий представим в виде:

(5.5)

где .

Первые два слагаемых правой части уравнения (5.5):

(5.6)

соответствуют свободным колебаниям с частотой (рис.5.1), т.е. колебаниям, которые совершал бы осциллятор при отсутствии возмущений. При нулевых начальных условиях, т.е. когда , такие колебания во все время действия возмущающей силы не возникают.

Третье слагаемое в (5.5)

(5.7)

— гармоническое колебание, происходящее с собственной частотой системы, но с амплитудой, зависящей от амплитуды возмущающей силы

(5.8)

Эти колебания также относятся к свободным колебаниям. Они всегда сопровождают вынужденные колебания при любых начальных условиях, от которых они вообще не зависят.

Их называют сопровождающими колебаниями (рис. 5.2).

Четвертое слагаемое в выражении (4.5):

(5.9)

представляет собой вынужденные колебания системы (рис. 5.3).

Таким образом, колебания линейного осциллятора в рассмотренном случае представляют собой линейное наложение трех гармонических колебаний: свободных, сопровождающих и вынужденных (рис. 5.4).

Отметим следующие свойства вынужденных колебаний:

1. Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей силы.

2. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий, поэтому для изменения, например, амплитуды (при заданной возмущающей силе) вынужденных колебаний необходимы существенные изменения параметров конструкции: ее жесткости, распределения масс, тогда как в свободных колебаниях для этого достаточно изменить начальные условия.

3. Если , то знак отклонения будет совпадать со знаком возмущающей силы , т.е. сила и вызванн ые ею вынужденные колебания будут находиться в одной фазе.

Если , то знак отклонения будет противоположен знаку силы.

Переписав для этого случая выражение (5.9) в виде:

, (5.10)

убеждаемся, что при возмущающая сила и вызванные ею колебания находятся в противоположенных фазах.

4. Если , то выражения (5.7) и (5.9) теряют смысл. Для анализа колебаний в этой ситуации эти выражения рассматриваются совместно

(5.11)

т.е. получим неопределенность, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя , заменив дробь в (5.11) пределом

Таким образом, в этом случае общий интеграл (5.5) будет иметь вид:

. (5.12)

И здесь, как в (5.5) движение осциллятора представляет собой линейное наложение трех колебательных движений, но с одним существенным отличием от (5.5): вынужденные колебания представлены непериодическим слагаемым:

, (5.13)

в коэффициенты которого входит время t .

С течением времени он растет по абсолютной величине безгранично, причем вынужденные колебания происходят с возрастающей по линейному закону амплитудой.

Такая ситуация при колебаниях называется резонансом.

5. Если частота вынужденных колебаний не равна частоте свободных колебаний, но близка к ней, то, записав выражение (5.11) в виде:

, (5.14)

полагаем , но , , и преобразовываем (5.14) к виду:

. (5.15)

Используя тригонометрическое выражение:

, (5.16)

т.е. ,

где — есть амплитуда колебаний, являющаяся периодичной функцией времени и меняется весьма медленно с большим периодом , чем период самих колебаний , т.е. , и малой частотой .

Подобная рассмотренному случаю ситуация представляет собой биение (рис. 5.5).

Таким образом, когда частота вынужденных колебаний весьма близка к частоте свободных (или собственных) колебаний системы, но не равна ей, в колебательной системе возникает биение.

3.2. Колебания механической системы в вязкой среде

Дифференциальное уравнение движения имеет вид (1.25):

. (5.17)

Начальные условия: . (5.18)

3.2.1. Свободные колебания

Полагая в (5.17) , т.е. возмущения отсутствуют, получим

(5.19)

Ограничимся случаем малых сопротивлений и примем .

Тогда общее решение однородного уравнения (5.19) с учетом начальных условий можно представить в виде (рис. 5.6):

, (5.20)

где . (5.21)

. (5.22)

Из закона движения системы (5.20) видно, что в сопротивляющейся среде:

1) свободные колебания являются затухающими;

2) частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих колебаний ;

3) амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону;

4) период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний ;

5) отношение любых двух соседних амплитуд: и есть величина постоянная

. (5.23)

Это отношение называется декрементом затухания. Логарифм этого коэффициента

(5.24)

называется логарифмическим декрементом.

Декремент или логарифмический декремент используются для оценки быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний.

3.2.2. Вынужденные колебания в сопротивляющейся среде

Дифференциальное уравнение движения в этом случае является неоднородным:

, (5.25)

его общее решение имеет вид:

. (5.26)

При начальных условиях постоянные интегрирования будут такими

(5.27)

После подстановки постоянных интегрирования (5.27) в общее решение (5.26) получим закон движения механической системы:

(5.28)

; (5.29)

;

(5.30)

— коэффициент динамичности. (5.31)

В выражении (5.28) первое слагаемое представляет собой собственные затухающие колебания (рис. 5.6):

Второе и третье слагаемые в совокупности представляют собой сопровождающие колебания (рис. 5.7):

. (5.32)

(5.33)

— вынужденные колебания с частотой возмущающей силы (рис. 5.8).

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний при резонансе достигает значительной величины при малых сопротивлениях.

. (5.34)

Если , но близка к ней, то, положив , выражение (5.32) для сопровождающих колебаний представится в виде:

. (5.35)

Рассматривая (5.33) и (5.35) совместно и, добавив выражение

равное нулю, получим закон движения механической системы в виде:

(5.36)

Но выражение в квадратных скобках можно представить так (5.15):

. (5.37)

Тогда получим, положив ,

(5.38)

Последнее слагаемое в (5.38) представляет собой колебания биений с затухающей амплитудой

т.е. . (5.39)

Второе слагаемое в (5.38) – это незатухающие вынужденные колебания

. (5.40)

Первое слагаемое в (5.38) – это затухающие сопровождающие колебания

. (5.41)

Таким образом, в реальных условиях колебания биений, вызываемые возмущенной силой с частотой, близкой к частоте затухающих колебаний, могут иметь практическое значение только в начале движения, в так называемый переходный период, и при малом значении коэффициента затухания n . При установившемся движении, которое наступает тем быстрее, чем больше сопротивление, движение системы определяется уравнением :

3.3. Коэффициент динамичности

Как было отмечено выше (5.31), коэффициентом динамичности называется отношение максимального динамического отклонения механической системы от положения устойчивого равновесия к статическому отклонению под воздействием силы, равной амплитуде возмущающей силы (рис. 5.10).

, (5.42)