Дифференциальное уравнение фильтрации идеального газа

Видео:Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. 10 класс.Скачать

Лекции № 14, 15, 16. Установившаяся фильтрация газа в пористой среде

Исследования показали, что хотя при установившейся фильтрации газа и происходит понижение температуры, оно относительно невелико даже при больших перепадах давления. Во многих случаях можно принимать для практических целей, что установившаяся фильтрация газа в пористых породах совершается в условиях изотермического изменения его состояния.

1. Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального газа.

Как было сказано ранее, для вывода дифференциального уравнения необходимо совместное решение уравнения неразрывности потока, уравнения движения и уравнения состояния.

Уравнение неразрывности потока:

(1)

(2)

Уравнение состояния идеального газа:

(3)

При установившейся фильтрации идеального газа

= 0 (4)

С учетом (2) – (4) уравнение (1) принимает вид:

= 0

или = 0 (5)

Сравнивая дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального газа (5) с дифференциальным уравнением установившейся фильтрации несжимаемой жидкости, можно сделать вывод о аналогии, т. е. решения уравнения (5) должны быть аналогичны решениям дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости. Только вместо Р необходимо брать .

2. Прямолинейно-параллельный поток идеального газа.

Дифференциальное уравнение (5) в этом случае будет иметь вид:

= 0 (6)

Примем граничные условия:

при x=0; при x=L (7)

По аналогии с установившимся движением несжимаемой жидкости решение уравнения (6) при условиях (7) дает закон распределения давления в виде:

или (8)

(9)

Дебит галереи, приведенный к атмосферному давлению

(10)

Средневзвешенное по объему пластовое давление

(11)

где , , .

Тогда

После интегрирования получим

(12)

3. Плоскорадиальный фильтрационный поток идеального газа.

Дифференциальное уравнение (5) будет иметь вид:

= 0 (13)

которое решается при следующих граничных условиях

при при (14)

Решение уравнения (13) имеет вид:

(15)

Уравнение (15) представляет собой закон распределения давления в пласте.

(16)

Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению,

(17)

Средневзвешенное по объему пластовое давление определяется по (11) при . После интегрирования (11) получим, пренебрегая величиной ,

(18)

4. Плоскорадиальный фильтрационный поток реального газа по закону Дарси.

Если пластовое давление выше 10МПа и депрессия не слишком мала ( 0,9), то уравнение состояния газа значительно отличается от уравнения состояния идеального газа и плотность газа определяется по формуле:

(19)

где z – коэффициент сверхсжимаемости газа. Кроме того, для высоких пластовых давлений нужно учитывать зависимость вязкости от давления

(20)

или при малых изменениях давления

(21)

где µ₀ — вязкость при фиксированном давлении;

α_µ — коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от состава газа.

Проницаемость пласта принимается постоянной.

Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению,

(22)

Имеется несколько способов вычисления интеграла в формуле (22), наиболее употребляем из которых следующий: по графикам зависимостей и определяются значения переменные и z под знаком интеграла заменяются постоянными, равными , .

Тогда интеграл в формуле (22) вычисляется и (22) принимает следующий вид:

.

Основная литература: 2 125

Дополнительная литература: 4 74

Контрольные вопросы:

1. Какой газ называется идеальным?

2. Уравнения состояния идеального и реального газов.

3. Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального газа.

4. Закон распределения давления при фильтрации идеального газа.

5. Дебит газовой скважины.

6. Средневзвешенное по объему пластовое давление.

7. Коэффициент сверхжимаемости.

8. Зависимость вязкости реального газа от давления.

9. Дебит газовой скважины при фильтрации реального газа.

Дата добавления: 2016-03-10 ; просмотров: 1687 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Урок 156. Уравнение состояния идеального газа. Квазистатические процессыСкачать

XIII. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА

Дифференциальное уравнение неустановившейся изотерми­ческой фильтрации идеального газа по закону Дарси имеет вид

(XIII.1)

(XIII.2)

Это уравнение является нелинейным уравнением параболи­ческого типа, оно отличается от дифференциального уравнения упругого режима тем, что искомой функцией является не дав­ление р, а квадрат давления р 2 , а вместо постоянного коэффи­циента пьезопроводности х в уравнение входит переменная вели­чина kp/mx.

Точные решения нелинейного уравнения (XIII.2) получены только для некоторых частных задач. Как правило, это урав­нение интегрируется приближенными методами.

Наиболее простым приближенным методом является метод линеаризации, предложенный И. А. Чарным, в котором переменное значение коэффициента kp/mµ заменяется усредненным значением kp_ср/mµ, где

здесь р_max и р_min — максимальное и минимальное давления в залежи за расчетный период, или

При такой замене уравнение (XIII.2) приводится к линей­ному дифференциальному уравнению теплопроводности. Это дает возможность нестационарное движение газа рассчитывать жак движение упругой жидкости по формулам упругого ре­жима фильтрации.

Л. С. Лейбензоном было лолучено решение задачи об истечении газа из полосообразного замкнутого пласта при условии постоянного давления на галерее (рис. 81). Задача сводится к интегрирова­нию дифференциального уравнения

(XIII.3)

при начальном и граничных условиях:

при t=0

при x=0

при x=l (XIII.4)

— условие на непроницаемой границе газового пласта.

Задача решалась методом последовательных приближений.

В первом приближении коэффициент, входящий в правую часть (XIII.3), считается постоянным и равным .

При этом (XIII.3) обращается в уравнение теплопроводно­сти, интеграл которого при условиях (XII 1.4) имеет вид

(XIII.5)

Во втором приближении принимается, что переменное дав­ление p, входящее в коэффициент kp/mµ, зависит только от времени t и выражается формулой

(XIII.6)

далее, введя новую переменную

(XIII.7)

приведем (XIII.3) к уравнению теплопроводности

(XIII.8)

решение которого при условиях (XIII.4) дается уравнением (XIII.5), в котором переменная t должна быть заменена на θ:

(XIII.9)

Объемный дебит галереи, приведенный к атмосферному дав­лению, можно записать в виде

(XIII.10)

Многие задачи неустановившейся фильтрации газа решаются «приближенно по методу последовательной смены стационарных состояний с привлечением уравнения материального баланса газа.

Если газовая залежь замкнута, то отобранное за время dt количество газа по объему, приведенному к атмосферному дав­лению и пластовой температуре, равное , равно изменению запасов газа в пласте за тот же промежуток времени.

Если объем порового пространства Ω постоянный, газ идеаль­ный, а фильтрация изотермическая, то изменение запасов можно представить в виде , где dp — изменение средневзвешенного по объему давления в газовой залежи за промежуток dt. Урав­нение

(XIII.11)

называется дифференциальным уравнением истощения газовой залежи.

При неустановившейся плоскорадиальной фильтрации газа средневзвешенное давление мало отличается от контурного, поэтому, заменяя на p_k записывают уравнение истощения газовой залежи в виде

(XIII.12)

Уравнение (XIII. 12) в сочетании с методом последователь­ной смены стационарных состояний позволяет определять рас­пределение давления по пласту, изменение давления с течением времени в любой точке пласта, изменение во времени дебитов таза при эксплуатации залежи с различными условиями на забое. Такими простейшими условиями являются следующие: ..a) Q_aт = const; б) p_c = const; в) , где c = 2nr_chw_max, a w_max — максимально допустимая скорость фильтрации газа, ис­ключающая возможность выноса песка и образования песчаных пробок.

Определить падение давления р_к на внешней границе полосообразной газовой залежи длиной l = 7500 м, шириной В = 800 м, мощностью h= 10 м (см. рис. 81), если коэффициент пористости пласта m = 20%, коэффициент проницаемости k = 0,5 Д, коэф­фициент вязкости µ = 0,014 мПа•с, начальное пластовое давле­ние р_н = 14,7МПа (150 кгс/см 2 ). Давление на выходе газа в галерею постоянно и равно р_г= 12,74 МПа (130 кгс/см 2 ).

Найти также приведенный к атмосферному давлению и пла­стовой температуре расход газа Q_ат и распределение давления по длине пласта через t = 30 сут после начала отбора газа из галереи.

Решение.Для определения падения давления во времени на границе пласта р_к(t) и распределения давления по длине пла­ста р(х) в момент t = 30 сут используем решение Л. С. Лейбеизона по методу последовательных приближений (XIII.9).

Прежде всего подсчитаем значение параметра

и значения переменной Q(t) в разные моменты

а результаты поместим в табл. 19.

По формуле Л. С. Лейбензона на границе пласта (при x=l) имеем

Значения величин, входящих в эту формулу, приведены в табл. 19.

На рис. 82 представлен график зависимости р_к(t).

Закон распределения давления по пласту через 30 сут = 2,59•10 6 с после начала отбора:

Результаты расчетов даны в табл. 20. На рис. 83 показана кривая изменения давления по пласту.

Расход газа, приведенный к атмосферному давлению и пла­стовой температуре, найдем по (XIII.10).

Газовая скважина расположена в центре кругового замкну­того пласта радиусом R_к=1000 м, мощностью h = 8 м и эксллуатируется при постоянном давлении на забое p_c = 6,86 МПа (70 кгс/см 2 ). .Начальное давление в газовой залежи р_н = 11,76 МПа (120 кгс/см 2 ), коэффициент проницаемости пласта k = 800 мД, коэффициент пористости пласта m=18%, динами­ческий коэффициент вязкости газа µ = 0,013 мПа•с, радиус скважины r_с= 10 см.

Найти изменение во времени давления на внешней границе залежи p_k(t) и приведенного объемного дебита скважины.

Решение.Полагая, что средневзвешенное пластовое давление газа равно давлению на внешнем контуре р_к, решим задачу методом последовательной смены стационарных состояний. За время dt при изотермическом процессе из залежи отбирается количество газа (по объему, приведенному к атмосферному давлению)

(XIII.13)

(XIII.14)

и подставляя эти выражения в уравнение материального ба­ланса (XIII.13), получим

Подставляя исходные данные подсчитаем для различных р_к значения t:

Результаты подсчетов представлены на рис. 84 и ниже.

p_k, МПа …………..11,76 10,78 9,8 8,82 7,84 6,96

t, сут ………………0 3,77 8,88 16,5 30,5 80,5

Q_ат ,м 3 /cут ……….13,4·10 6 10,1·10 6 7,2·10 6 4,51·10 6 2,11·10 6 1,99·10 5

Подставляя найденные значения р_к в (XIII.14), найдем из­менение Qат во времени

Cоответствующие значения дебатов даны на рис. 85.

Определить время истощения газовой залежи и изменение во времени давления на внешней границе и на забое скважины, считая, что скважина дренирует круговую зону радиуса R_к = = 500 м и эксплуатируется с постоянным приведенным дебитом Qaт = 500 000 м 3 /сут. Начальное пластовое давление р_н = 9,8 МПа (100 кгс/см 2 ), конечное давление на забое газовой скважины (Р_с)_кон = 0,101 МПа (1,033 кгс/см 2 ), мощность пласта h=12 м, радиус скважины r_с=10 см, коэффициент проницаемости пласта k = 500 мД, коэффициент пористости m==20%, динамический коэффициент вязкости газа µ = 0,015 мПа·с.

Решение. Из уравнения материального баланса, в котором средневзвешенное пластовое давление заменено контурным, имеем

(XIII.15)

Интегрируя (XIII. 15) по р_к в пределах от р_н до р_к и по t ют 0 до t получим

(XIII.16)

Из формулы дебита

найдем давление на забое скважины

(XIII.17)

По значению забойного давления в конце разработки р_с.кон .найдем конечное значение давления на внешней границе р_к.кон.

Подставляя полученное зна­чение р_к.кон в (XIII.16), найдем время истощения газовой залежи:

Изменение во времени р_к и р_с определяется из (XIII.16) и (ХШ.17).

Результаты подсчетов приведены на рис. 86 и ниже.

t, сут. О 50 100 150 200 291

р_к, кгс/см 2 . 100 86,3 72,6 58,9 45,2 20,2

р_с, кгс/см 2 . 97,9 83,9 69,7 55,3 40,5 1,033

Определить изменение во времени дебита газовой скважины, давления на внешней непроницаемой границе р_к(t) и давления на забое скважины р_с(t) эксплуатирующейся при поддержании постоянной скорости движения газа в призабойной зоне пласта. Начальное пластовое давление р_н =9,8 МПа (100 кгс/см 2 ), ра­диус контура зоны дренирования R_k = 750 м, мощность пласта h=10 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 Д, коэффициент пористости пласта m = 20%, динамический коэффици­ент вязкости газа в пластовых условиях µ = 0,012 сП, радиус скважины r_с = 0,1 м. Коэффициент с, который соответствует максимально допустимой скорости фильтрации в призабойной зоне, определяемый практически, равен . Принять атмосферное давление р_ат = 0,098 МПа (1 кгс/см 2 ).

Решение.Если газ отбирается при поддержании мак­симально допустимой скорости фильтрации w_max у забоя скважины, то приведенный дебит

(XIII.18)

(XIII.19)

С другой стороны,

(XIII.20)

Приравнивая соотношения (XIII.19) и (XIII.20), найдем

Обозначая , запишем

(XIII.21)

Подставляя (XIII.21) в (XIII.19), найдем зависимость дебита Q_ат от p_k

Из уравнения материального баланса, заменяя среднее пла­стовое давление контурным, найдем

(XIII.22)

Вводя новую переменную

и интегрируя дифференциальное уравнение (XI 11.22), получим

(XIII.23)

Подсчитаем объем норового пространства

Подставляя численные значения параметров а_, с, р_ат и р_н в соотношение (XIII.23), задаваясь различными значениями р_к, определим значения t. Соответствующие значения p_c(t) и Q_ат<t) найдем из выражений (XIII.19) и (XIII.21). Результаты вы­числений представлены на рис. 87, 88 и ниже.

t,сут ………………0 226 462 776 1196 1825 3130 4250 6100

p_{k ,} МПа…………9,8 8,33 6,86 5,39 3,92 2,45 0,980 0,490 0,210

p_c ,МПа…………9,62 8,15 6,68 5,22 3,74 2,28 0,822 0,345 0,098

Q_ат ·10 -5 ,м 3 /сут..2,66 2,25 1,85 1,445 1,035 0,632 0,227 0,0955 0,0271

Видео:Уравнение состояния идеального газа. 10 класс.Скачать

Сравнительный анализ прямолинейно-параллельного и плоскорадиального фильтрационных потоков идеального газа

Дифференциальные уравнения фильтрации газа

По линейному закону

Уравнение неразрывности потока сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде имеет вид:

. (7.1)

Уравнения движения в горизонтальном фильтрационном потоке записываются в виде:

,

,

. (7.2)

Введем функцию P следующим образом. Примем, что ее дифференциал равен:

,

— функция Л.С.Лейбензона. (7.3)

От дифференциала функции Л.С.Лейбензона, перейдем к частным производным:

;

;

. (7.4)

Запишем уравнения движения для массовых скоростей фильтрации с учетом соотношений (7.4):

;

;

.

Тогда уравнение неразрывности (7.1) можно записать в виде:

(7.6)

. (7.6’)

В случае установившейся фильтрации правая часть уравнений (7.6) обращается в 0, в результате чего можно записать:

(7.7)

или .

Следовательно, функция Л.С.Лейбензона удовлетворяет уравнению Лапласа.

Аналогия между фильтрацией жидкости и идеального газа

Введение функции Л.С.Лейбензона в дифференциальные уравнения теории фильтрации позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида (газа) и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости.

В наиболее простом случае можно считать K=const. При малых пластовых давлениях и небольших депрессиях можно также пренебречь зависимостью вязкости m от давления. Такое допущение справедливо для идеальных сред, в которых отсутствует внутреннее трение, обусловленное процессами внутреннего молекулярного обмена.

Тогда функцию Л.С.Лейбензона можно представить в виде:

,

при этом .

Сравним две записи закона Дарси в дифференциальной форме – для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости и для установившейся фильтрации газа.

Жидкость	Газ
где Q=const – объемный расход жидкости; f(S) – площадь поперечного сечения струи	где Qm=rQ=const – массовый расход газа

Данные уравнения однотипны, следовательно, все формулы, полученные для установившейся фильтрации жидкости, можно применять и для установившейся фильрации газа, используя аналогию следующих показателей:

Сравнительный анализ прямолинейно-параллельного и плоскорадиального фильтрационных потоков идеального газа

Исследованиями Б.Б.Лапука было установлено, что фильтрацию газа в реальных пластах можно рассматривать как изотермический процесс, для которого справедлив закон Бойля-Мариотта. При T=const

,

где m – масса газа.

— уравнение состояния идеального газа.

С учетом уравнения состояния идеального газа выражение функции Л.С.Лейбензона приобретает вид:

.

Характерис-тика	Прямолинейно-параллельный поток	Плоскорадиальный поток
Распределение давления	1. 2.	1. 2.
Градиент давле-ния	1. 2.	1. 2.
Скорость фильтрации	1. 2.	1. 2.
Дебит газа, при-веденнй к атмо-сферному дав-лению
Средневзвешен-ное пластовое давление

Анализируя соотншения, можно отметить следующее.

В прямолинейно-параллельном потоке:

а) давление по длине пласта изменяется по параболическому закону, зависимость Р 2 (x) — линейная;

б) объемный расход газа, приведенный к атмосферному давлению, постоянный по длине пласта;

в) скорость фильтрации и градиент давления возрастают при приближении к галерее. Физически возрастание скорости фильтрации вдоль газового потока происходит за счет расширения газа при снижении давления.

В плоскорадиальном потоке:

а) распределение давления подчинено логарифмическому и параболическому законам, поэтому в газовом потоке, в отличие от потока жидкости, имеет место резкое падение давления вблизи скважины и весьма малое – вдали от нее. Площадь и объем пласта с пониженным давлением вблизи скважины значительно меньше объема газового пласта в целом. Поэтому в газонасыщенном пласте давление повсюду считается одинаковым, приблизительно равным давлению на контуре питания;

б) градиент давления и скорость фильтрации вблизи забоя газовой скважины резко возрастают как за счет уменьшения r, так и за счет падения давления Р.

Индикаторная диаграмма при фильтрации газа строится в координатах и в установившемся плоскорадиальном потоке имеет прямолинейный характер.

🔥 Видео

Физика. МКТ: Уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

Физика 10 класс (Урок№20 - Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.)Скачать

Уравнение состояния идеального газа. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Уравнение состояния идеального газа | Физика 10 класс #33 | ИнфоурокСкачать

Газовые законы. Изопроцессы | Физика 10 класс #34 | ИнфоурокСкачать

5. Однородные дифференциальные уравнения. Часть 2.Скачать

Урок 145. Идеальный газ. Основное ур-ние МКТ ид. газа - 1Скачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Уравнение состояния идеального газаСкачать

Решение задач на основное уравнение МКТ идеального газа | Физика 10 класс #29 | ИнфоурокСкачать

идеальный газ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗАСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Уравнение идеального газа: PV = nRT | Газы.Молекулярно-кинетическая теория | Химия (видео 1)Скачать