Дифференциальное уравнение 2 закона ньютона

Видео:Дифференциальные уравнения, не формально на примере закона Ньютона.Скачать

Общие сведения

Знакомство с правилами Ньютона начинается в старших классах средних образовательных школах. Формулу 2 закона Ньютона можно сформулировать в таком виде: a = F / m, где F — результирующая сила, m — масса тела и a — ускорение. Расшифровка формулы (формулировка правила) следующая: ускорение тела в инерциальных системах отсчета прямо пропорционально зависит от результирующей силы, действующей на него, и обратно пропорционально его массе.

Правило и высшая математика

В высших учебных заведениях на уроках по физике (динамика) II правило Ньютона записывается в дифференциальной форме: d (p) / d (t) = F. В этом случае второй закон Ньютона, формулировка которого имеет вид: сила, действующая на материальную точку, прямо пропорционально зависит от ее производной импульса в определенный момент времени.

Исходя из формулы d (p) / d (t) = F, можно произвести некоторые математические преобразования для получения упрощенного соотношения. Импульс тела (p) определяется при помощи такого уравнения: p = m * v, где m — масса материальной точки (тела), а v — ее скорость. Если произвести подстановку этого соотношения в дифференциальную запись, то получится такое выражение: d (m * v) / d (t) = F. Используя свойства дифференциалов, константу (m) можно вынести: m * (d (v) / d (t)) = F.

Величина d (v) / d (t) является ускорением, следовательно, формула записывается следующим образом: m * a = F или a = F / m.

Основные величины

Один из элементов формулы II закона Ньютона — масса тела, показывающая реакцию тела на воздействие внешних сил и являющаяся количественным показателем инертных свойств вещества. Она обладает такими характеристиками:

1. Отсутствие зависимости от скорости перемещения.
2. Эквивалентность сумме масс всех частиц, из которых состоит тело.
3. Не изменяется (константа).
4. Не является векторной величиной (отсутствует направление движения).

Единицей измерения в международной системе является килограмм (кг). При решении задач рекомендуется переводить производные значения (тонны, граммы и т. д. ) в кг.

Следующим компонентом формулы является ускорение (а), которое показывает, какое будет изменение скорости движения тела или материальной точки в текущий момент. Если тело движется равномерно, а = 0. При равноускоренном движении объекта величина «а» растет до определенного значения с течением времени. Ускорение обладает такими характеристиками:

1. Зависит от скорости и времени.
2. Векторная величина.
3. Зависит от воздействия внешних сил.
4. Всегда направлено в сторону действия результирующей силы.

Единицей измерения является м/с 2 . Она вычисляется по формуле: a = v / t, где v — скорость в текущий момент времени t. Физический смысл a: изменение скорости тела, равной 1 м/с за единицу времени 1 с. Кратко запись выглядит так: 1 м/с 2 = 1 м/с * 1 с.

​Силой называется векторная величина, которая воздействует на материальные объекты со стороны других тел. Она бывает результирующей и единичной. Первая состоит из группы сил — трения, тяжести, реакции опоры, тяги и т. д. Вторая представляет только одну единицу, т. е. силу тяжести или тяги, трения или реакцию опоры. Параметры, характеризующие F:

1. Количественная величина.
2. Точка, к которой приложена F.
3. Направление действия.

В учебниках по физике можно встретить понятие равнодействующей силы. Она эквивалентна результирующей. Например, в известной басне Крылова персонажи тянут воз в разные стороны, который не двигается. Из этого следует, что равнодействующая сила тяги равна сумме векторов всех сил, приложенных персонажами (Ft = -Ft1 + Ft2 — Ft3 + Ft4 = 0, т. к. по условию Ft1, Ft2, Ft3 и Ft4 имеют различные векторы воздействия).

Величина F измеряется в ньютонах. Физический смысл 1 Н может формулироваться следующим образом: сила в 1 ньютон, действующая на тело массой 1 кг, сообщает ему ускорение, равное 1 м/с 2 Математически уравнение записывается таким образом: 1 Н = 1 кг * 1 м/с 2 .

Алгоритм перевода значений

При решении задач каждая единица должна переводиться в стандарт СИ. Физики разработали специальные алгоритмы, позволяющие выражать одно значение через другое. Если требуется перевести массу, нужно знать основные производные величины:

1. 1 тонна (1 т) = 10 3 кг.
2. 1 грамм (1 г) = 10^(-3) кг.

Значение силы (F) дается в ньютонах или килоньютонах (10 3 Н). В основном сложности возникают у новичков при переводе значений ускорения в стандарт СИ.

Для этой цели следует воспользоваться следующими правилами:

1. Записать значение.
2. Сравнить единицу измерения с м/с 2 .
3. Если указана км/с 2 , требуется умножить искомое значение на 10 3 .
4. При дм/с 2 (дм — дециметр) — на 10.
5. Если см/с 2 , необходимо разделить на 10 2 .
6. 1 м/(мин)^2 = 1 м/c 2 / 60 (1 мин = 60 секунд).
7. 1 м/ч 2 = 1 м/c 2 / 3600 (1 час = 3600 секунд).

Для примера требуется разобрать единицу измерения, равную 20 км/ч 2 . Воспользовавшись правилами перевода, можно записать следующее: 20 * 1000 / 3600 = 5,6 (м/с 2 ).

Видео:Второй закон НьютонаСкачать

Пример решения задачи

Формула позволяет решать задачи простой и повышенной сложности. Последние относятся к тем, в которых не дано 2 элемента соотношения, а известен всего лишь один. Чтобы узнать практическое применение формулы, нужно решить задание. Например, требуется найти массу тела, которому сообщается сила (F), равная 2 кН. Кроме того, оно движется равноускоренно. Значение скорости (v) эквивалентно 57 км/ч в текущий момент времени (t), равный 2 с. Чтобы было понятно, необходимо решать задачу по такому алгоритму:

1. Произвести перевод значений в систему СИ: 2 кН = 2 * 10 3 (Н) и v = 57 * 1000 / 3600 = 15,83 (м/с). Необходимо обратить внимание на запись единиц измерения величины при выполнении вычислений.
2. Записать основную формулу II правила Ньютона: a = F / m.
3. Выразить массу (m) через силу (F) и ускорение (а): m = F / a.
4. Выполнить определение ускорения: a = v / t = 15,83 / 2 = 7,92 м/с 2 .
5. Подставить в формулу (пункт 3) и вычислить: m = 2 * 10 3 / 7,92 = 252,5 (кг).
6. Проверить единицу измерения результата вычисления: m = Н / м / с 2 = Н * с 2 / м = [(кг * м) / (с 2 )] * [с 2 / м] = кг. Масса измеряется в килограммах, следовательно, результат проверки эквивалентен единице измерения, т. е. кг = кг.

Необходимо отметить, что расчет ускорения в 4 пункте можно упустить, подставив «а» в конечную формулу: m = F / (v / t) = F * t / v.

Таким образом, применение II закона Ньютона позволяет решать практически любые задачи на движения, поскольку он является базовым соотношением динамики.

🌟 Видео

ЭТО ОБЯЗАТЕЛЬНО НУЖНО ЗНАТЬ — Второй Закон Ньютона или от чего зависит ускорение телаСкачать

1.4. Законы Ньютона как уравнение движения | Динамика | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Три Закона Ньютона. Простое ОбъяснениеСкачать

Законы Ньютона🍎Скачать

Первый закон НьютонаСкачать

База физики: что значат три закона Ньютона на самом деле?Скачать

Второй закон Ньютона | Физика 9 класс #11 | ИнфоурокСкачать

Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 1| Физика TutorOnlineСкачать

Иллюстрация 1 и 2 закона НьютонаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

Взаимодействие тел. Второй закон Ньютона | Физика 10 класс #10 | ИнфоурокСкачать

Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Физика - первый и второй законы НьютонаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Применение II закона Ньютона. Разбор на примерахСкачать

Смысл второго закона Ньютона. ПримерыСкачать