Даны вершины треугольника составить уравнения его высот и найти точку их пересечения

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Задача 42958 Даны две вершины треугольника A (-1;5).

Условие

Даны две вершины треугольника A (-1;5), B(3;2) и точка O (5;-3)
пересечения его высот. Составить уравнения его сторон.

Решение

Значит, уравнение стороны BC — уравнение прямой, перпендикулярной АО([red]y=(-4/3)x+(11/3)[/red]) и проходящей через точку В(3:2)

[b]y=(3/4)x -(1/4) или 3x-4y-1=0[/b]

уравнение стороны АC — уравнение прямой, перпендикулярной ВО ( [green]y=-(5/2)x+(19/2) [/green]) и проходящей через точку А(–1;5)

y=(2/5)x+(27/5) или [b]2x-5y+27=0[/b]

Уравнение стороны АВ как прямой проходящей через две точки имеет вид:
[m]frac<x_-x_>=frac<y_-y_>[/m]

-3*(x+1)=4(y-5) ⇒ y=(-3/4)x+(17/4) или [b] 3x+4y-17=0[/b]

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Даны точки A(5; — 1), B(4; — 8), C(- 4; — 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

= , или y = — x — 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = — . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁ . k₂ = — 1. Поэтому

k₂ = — = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; — 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

= , или y = x — .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄ . k₃ = — 1. Поэтому

k₄ = — = — 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; — 8) и угловому коэффициенту k₄ = — 3:

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

Ответ

📸 Видео

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

найти уравнение высоты треугольникаСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Линейная Алгебра | задача 1.4Скачать

найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Даны координаты вершин треугольника АВС.Скачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать