Даны вершины треугольника составить уравнения его высот и найти точку их пересечения

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Задача 42958 Даны две вершины треугольника A (-1;5).

Условие

Даны две вершины треугольника A (-1;5), B(3;2) и точка O (5;-3)
пересечения его высот. Составить уравнения его сторон.

Решение

Значит, уравнение стороны BC — уравнение прямой, перпендикулярной АО([red]y=(-4/3)x+(11/3)[/red]) и проходящей через точку В(3:2)

[b]y=(3/4)x -(1/4) или 3x-4y-1=0[/b]

уравнение стороны АC — уравнение прямой, перпендикулярной ВО ( [green]y=-(5/2)x+(19/2) [/green]) и проходящей через точку А(–1;5)

y=(2/5)x+(27/5) или [b]2x-5y+27=0[/b]

Уравнение стороны АВ как прямой проходящей через две точки имеет вид:
[m]frac<x_-x_>=frac<y_-y_>[/m]

-3*(x+1)=4(y-5) ⇒ y=(-3/4)x+(17/4) или [b] 3x+4y-17=0[/b]

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

Даны точки A(5; — 1), B(4; — 8), C(- 4; — 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

= , или y = — x — 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = — . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁ . k₂ = — 1. Поэтому

k₂ = — = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; — 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

= , или y = x — .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄ . k₃ = — 1. Поэтому

k₄ = — = — 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; — 8) и угловому коэффициенту k₄ = — 3:

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

Ответ

🎦 Видео

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

найти уравнение высоты треугольникаСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Линейная Алгебра | задача 1.4Скачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Даны координаты вершин треугольника АВС.Скачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать