Даны вершины треугольника составить каноническое уравнение биссектрисы его внутреннего угла

Видео:найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

Уравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задач

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

1. На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
2. В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

1. Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
2. Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
3. Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
4. Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Делящая пополам угол линия

Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.

Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.

Способы построения

В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:

1. С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
2. С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.

Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.

В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

Основные свойства

Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.

Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.

Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.

В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:

Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.

Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:

Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.

Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

Видео:Уравнение биссектрисы углаСкачать

Уравнение биссектрисы треугольника

Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.

В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):

1. Сначала требуется определить уравнения двух сторон угла по их координатам. Это легко сделать в векторной форме, а затем, преобразовать ее в выражение общего типа.
2. Далее, необходимо найти уравнение биссектрис первого координатного угла, прировняв расстояния от ее точек до соответствующей стороны. Рабочая формула имеет вид: |A1*x + B1*y + C|/(A1 2 + B1 2 )^0,5 = |A2*x + B2*y + C|/(A2 2 + B2 2 )^0,5. Следует обратить внимание на наличие двух различных решений этого равенства, поскольку в числителе стоит модульное выражение. Два полученных уравнения говорят о наличии взаимно перпендикулярных биссектрис для углов треугольника внутреннего и внешнего.
3. Для внутреннего угла искомое уравнение можно найти, если определить точку пересечения соответствующей прямой с противоположной исходному углу стороной треугольника. Та точка, сумма расстояний от которой до концов отрезка будет равна длине стороны, принадлежит искомой биссектрисе.

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Пример решения задачи

Пусть, треугольник задан координатами A (1, -1), B (0, -2), C (3,0). Следует уравнение биссектрисы найти для угла B и ее длину вычислить.

Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:

• AB: (x, y) = (1, -1) + α*(-1, -1) ==> y — x + 2 = 0;
• CB: (x, y) = (3, 0) + α*(-3, -2) ==> 3*y — 2*x + 6 = 0.

Составить уравнения биссектрис можно так:

| y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.

Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:

• y*(6−3*3 0,5 ) + x*(3*3 0,5 −4)+12−6*3 0,5 = 0;
• y*(3*3 0,5 +6) -x*(4+3*3 0,5 )+12+6*3 0,5 = 0.

Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид:

Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:

При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:

• D1A = 1,4; D1C = 3,635;
• D2A = 0,621; D2C = 1,614.

Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2:

BD2 = 2,014 единицы.

Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.

Видео:Вычисляем угол через координаты вершинСкачать

IV. Примеры решения задач. Задача 1. Определить координаты нескольких точек, лежащих на прямых: а) ; б) ; в)

Задача 1. Определить координаты нескольких точек, лежащих на прямых: а) ; б) ; в) . Какие из точек М₁(–2;–9;7), М₂(–3;0;4), М₃(3;1;1) принадлежат этим прямым?

а) Положим x = 1 и подставим это значение в уравнение прямой, получим y = 0, z = 4.

Точка М(1;0;4) принадлежит прямой.

Положим x = 3 и подставим это значение в уравнение прямой, получим y = 6, z = 2.

Точка N(3;6;2) принадлежит прямой.

б) Из первого уравнения выразим параметр : и подставим найденное выражение в оставшиеся уравнения: .

Положив x = 3, получим y = 0, z = 5.

Точка М(3;0;5) принадлежит прямой.

Если , то , , .

Точка N(7;6;5) принадлежит прямой.

в) Решим систему двух уравнений с тремя неизвестными. Из первого уравнения системы имеем x = 3.

Положив y = 2, получим z = 0.

Точка М(3;2;0) принадлежит прямой.

Положив y = –3, получим z = 5.

Точка N(3;–3;5) принадлежит прямой.

Проверим, какие из точек М₁, М₂, М₃ принадлежат данным прямым. Подставим координаты точки М₁ в уравнение прямой а): . Получим верное равенство, значит М₁ принадлежит прямой а). Аналогично проверяем, что точка М₃ принадлежит прямой в), а точка М₂ не принадлежит ни одной из этих прямых.

Задача 2. Даны вершины треугольника А(2;3;–1), В(1;–2;0) и С(–3;2;2). Составить канонические уравнения медианы AP.

Следовательно, P(–1;0;1). Так как медиана проходит через точки A и P, то подставив координаты этих точек в уравнения прямой, проходящей через две точки, получим:

или .

Задача 3. Через точку М₀(2;–3;–4) провести прямую, параллельную прямой

Найдем направляющий вектор данной прямой:

, т.е. .

Этот же вектор будет направляющим и для искомой прямой, т.к. она параллельна данной прямой, поэтому ее канонические уравнения запишутся в виде:

.

Параметрические уравнения этой прямой имеют вид:

Задача 4. Привести уравнения прямой к каноническому и параметрическому виду.

Определим координаты какой-нибудь точки данной прямой. Пусть, например, z = 0, тогда

Отсюда x = 27, y = 15. Точка М(27;15;0) принадлежит данной прямой. Определим координаты направляющего вектора прямой , , .

или .

В качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор коллинеарный , в частности .

Запишем канонические уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения прямой:

Задача 5. Даны вершины треугольника A(1;–1;3), B(3;–4;9), C(–5;11;7). Найти канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.

– орт вектора , . Найдем координаты и длины векторов и :

.

Найдем координаты векторов и :

, .

Тогда . В качестве направляющего вектора биссектрисы угла BAC можно взять любой вектор коллинеарный , в частности, вектор . Биссектриса AL треугольника ABC задана точкой A(1;–1;3) и направляющим вектором . Составим канонические уравнения прямой AL:

.

Дата добавления: 2014-12-30 ; просмотров: 37 ; Нарушение авторских прав

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Даны вершины треугольника ABC: А(4; 6), Б(-4; 0), С(-1; -4). Составьте уравнение биссектрисы угла В.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Ваш ответ

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,423
• гуманитарные 33,634
• юридические 17,906
• школьный раздел 608,194
• разное 16,858

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Написать уравнение биссектрисы

Даны вершины треугольника ABC:A(1;1),B(5;3),C(4,7).Написать уравнение биссектрисы внутреннего угла A данного треугольника.

Пусть искомая биссектриса пересечкает сторону ВС в точке М.

1. Найти длину АВ.
2. Найти длину АС.
3. Используя свойство биссектрисы найти координаты точки М.
4. Зная координаты точек А и М, найтим уравнение искомой биссектрисы.

🎦 Видео

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Даны координаты вершин треугольника АВС.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Построение биссектрисы углаСкачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать