Даны вершины пирамиды а1 а2 а3 а4 найти уравнение прямой а1а2 и объем пирамиды

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Контрольная работа по мат. анализу 06

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Контрольная работа 1

1. Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длину рёбер А1А2 и А1А3; 2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3; 3) Площадь грани А1А2А3; 4) Объём пирамиды; 5) Уравнение прямой А1А2; 6) Уравнение плоскости А1А2А3; 7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Координаты вершин: А1(5;1;0), А2 (0;1;2), А3(3;0;1), А4(2;2;2).

Координаты векторов находим по формуле: X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi

Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj; Для вектора A1A2 : X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1

X = 0-5; Y = 1-1; Z = 2-0

1) Длина рёбер А1А2 и А1А3;

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3;

Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3

, γ = arccos(0.91) = 24.50

3) Площадь грани А1А2А3;

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

4) Объём пирамиды;

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим Определитель матрицы

∆ = (-5) • ((-1) • 2-1 • 1)-(-2) • (0 • 2-1 • 2)+(-3) • (0 • 1-(-1) • 2) = 5

5) Уравнение прямой А1А2;

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2

6) Уравнение плоскости А1А2А3;

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3

(x-5)(0 • 1-(-1) • 2) — (y-1)((-5) • 1-(-2) • 2) + (z-0)((-5) • (-1)-(-2) • 0) = 2x+y+5z-11=0

7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

2. Линия задана уравнением В полярной системе координат

1. построить линию по точкам, начиная от До И придавая значения через промежуток ;

2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1) Построим линию по точкам, начиная от До и придавая Значения через промежуток

2) Построим уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3) Найдём уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Используем формулы перехода от полярной системы координат к декартовой:

Тогда

По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определяем, что это линия — гипербола.

Элементы линейной алгебры

Контрольная работа 2

I. Даны две матрицы А и В. Найти (2АТ-3В)*(А+2ВТ)

,

, ,

, ,

II. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

Исходная матрица имеет вид:

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(5 — λ)x1-2×2 + 2×3 = 0

0x1 + (5 — λ)x2 + 0x3 = 0

0x1 + 2×2 + (3 — λ)x3 = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

(5 — λ) • ((5 — λ) • (3 — λ)-2 • 0)-0 • (-2 • (3 — λ)-2 • 2)+0 • (-2 • 0-(5 — λ) • 2) = 0

После преобразований, получаем: — λ3 + 13λ2 — 55λ + 75 = 0

Один из корней уравнения равен λ1 = 3

Тогда характеристическое уравнение можно записать как

(λ -3)( — λ2 + 10λ — 25)=0.

D = 102 — 4 • (-1) • (-25) = 0

Получили собственные числа: λ1 = 3,

Найдём собственный вектор для λ1.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Подставляя λ = 3 в систему, имеем:

Пусть x1 — свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные x1.

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1= 3 , имеет вид: , где x1 — любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x1 = 1: .

Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственным числам:

. Следовательно, — любое,

Множество собственных векторов, отвечающих собственным числам , имеет вид: . При x1 = 1 и x3 = 0: , при x1 = 0 и x3 = 1: .

Ответ: Собственные числа: λ1=3, , собственные векторы: , , .

III. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) Найти все корни уравнения w3+z=0

1) — алгебраическая форма

— тригонометрическая форма

2) Найдем корни уравнения w3 =0,

Применим формулу извлечения корней из комплексного числа:

, к=0,1,…,n-1

,

Так как a=, то

Контрольная работа 3

I. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.

2.

3.

4.

1.

3.

Использовали эквивалентности бесконечно малых величин при :

4.

II. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж

Построим график заданной функции:

Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.

Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .

Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,

, . Так как , Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок

, . Так как , то в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок.

III. Найти производные первого порядка данных функций.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

4) ;

Прологарифмируем данную функцию:

Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.

Тогда

5)

Дифференцируем обе части равенства по х:

Разрешаем равенство относительно :

Окончательно:

IV. Найти и для заданных функций:

1) ;

2)

1) ;

2)

Приложение дифференциального исчисления

Контрольная работа 4

Контрольная работа 5

I. Вычислить определённые интегралы. В п. 1) и 2) результаты проверить дифференцированием.

1)

2)

3)

4)

1)

— верно

— верно

3)

Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:

II. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

III. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии

По формуле .

В нашем случае

Тогда

Имеем

Ответ:

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Примеры решений по аналитической геометрии в пространстве

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии в пространстве, которые относятся к исследованию пирамиды. Обычно в такой задаче нужно найти длины ребер, углы между ребрами, уравнения граней пирамиды и их площади, объем пирамиды, угол между ребром и гранью, уравнение высоты, длину высоты пирамиды и т.д.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Решения задачи о пирамиде онлайн

Задача 1. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды $$A(12;11;17), B(14;12;14), C(13;14;15), D(12;21;12).$$ Найти:
— объем пирамиды;
— площадь грани $ABC$;
— уравнение плоскости, проходящей через точки $B,C,D$;
— длину высоты пирамиды, опущенной на грань $ABC$.

Задача 3. Пирамида $АВСD$ задана координатами своих вершин: $$А(4, -1,0), B(2, 3, 4), C(-1, 4, 1), D(4, -3, 5).$$ Найдите:
1. угол между ребрами $АВ$ и $АС$,
2. уравнение ребра $АВ$,
3. уравнение грани $АВС$,
4. уравнение высоты, опущенной из вершины $D$, на грань $АВС$,
5. выясните, образуют ли векторы $АВ, АС, АD$ линейно независимую систему,
6. координаты вектора $MN$, если $М$ – середина ребра $AD$, $N$ – середина ребра $ВC$,
7. разложите вектор $MN$ по базису $AB, AC, AD$, если он таковым является.

Видео:Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Как рассчитать объем пирамиды по координатам вершин? Методика и пример задачи

Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу — ответит приведенная ниже статья.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Что представляет собой пирамида?

Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее.

Вам будет интересно: Какую роль играет репродуктивная клетка животных и растений?

Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания — это высота фигуры.

Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.

Видео:Решение пирамидыСкачать

Как рассчитывается объем пирамиды?

Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так:

Здесь So — это основания площадь, h — расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды.

Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика

Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон.

Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид:

d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2).

Здесь (x1; y1; z1) — координаты точки.

Уравнение плоскости имеет вид:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Задача с треугольной пирамидой

Решим задачу на примере самой простой пирамиды — треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена:

Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯:

Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем:

n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7).

Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть:

So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.

Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем:

D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.

Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму:

8 * x — 10 * y — 7 * z + 13 = 0.

Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем:

d = |(8 * 4 — 10 * 3 — 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.

Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры:

V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.

Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.

📺 Видео

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Задача про пирамидуСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

№972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2)Скачать

§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

#34. ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА на объем пирамидыСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать