Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Содержание
  1. Решение матричных уравнений: теория и примеры
  2. Решение матричных уравнений: как это делается
  3. Решение матричных уравнений: примеры
  4. Матричный калькулятор онлайн
  5. Предупреждение
  6. Инструкция матричного онлайн калькулятора
  7. Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн
  8. Вычисление обратной матрицы онлайн
  9. Вычисление определителя матрицы онлайн
  10. Вычисление ранга матрицы онлайн
  11. Вычисление псевдообратной матрицы онлайн
  12. Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн
  13. Скелетное разложение матрицы онлайн
  14. Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн
  15. Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн
  16. LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн
  17. Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн
  18. Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн
  19. Решение матричных уравнений
  20. Что такое матричное уравнение
  21. Шаг 1. Упрощаем уравнение
  22. Шаг 2. Вводим единичную матрицу
  23. Шаг 3. Находим обратную матрицу
  24. Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
  25. Шаг 5. Проверяем уравнение
  26. Ну и что

Видео:§29 Решение матричного уравненияСкачать

§29 Решение матричного уравнения

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида AX = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видслева:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, поэтому

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Так как E — единичная матрица, то EX = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид,

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид,

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид. Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Решение. Данное уравнение имеет вид AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Пример 2. Решить матричное уравнение

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Пример 3. Решить матричное уравнение

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим неизвестную матрицу:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Решение. Это уравнение первого вида: AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим неизвестную матрицу:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Пример 5. Решить матричное уравнение

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим неизвестную матрицу:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Пример 6. Решить матричное уравнение

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Решение. Данное уравнение имеет вид AXB = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Находим матрицу, обратную матрице B :

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.

Видео:Решить матричное уравнениеСкачать

Решить матричное уравнение

Матричный калькулятор онлайн

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать

Лекция 8. Решение матричных уравнений

Инструкция матричного онлайн калькулятора

С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить, вычитать, умножить, транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень , умножить матрицу на число , сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы, проводить исключение Гаусса, решить матричное уравнение AX=B, сделать LU разложение матрицы, вычислить ядро (нуль пространство) матрицы, сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта.

Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет види Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видвводить числа в виде a или a/b, где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.

Кнопка Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видв верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, нулевой матрицы Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, очищать содержимое ячеек Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид) и т.д.

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.

Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .

Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.

Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет види Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид, а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Видео:Матричное уравнениеСкачать

Матричное уравнение

Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.

Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:

  1. Введите размерности матриц Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет види Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.
  2. Введите элементы матриц.
  3. Нажмите на кнопку «A+B «,»A-B» или «A×B».

Видео:2 13 Решение матричного уравнения AXB=CСкачать

2 13 Решение матричного уравнения AXB=C

Вычисление обратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу. Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления обратной матрицы:

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы .
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «обратное «.

Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы. Теорию вычисления обратной матрицы смотрите здесь.

Видео:§28 Матричные уравненияСкачать

§28 Матричные уравнения

Вычисление определителя матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления определителя матрицы:

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы .
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «определитель «.

Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.

Видео:МАТРИЦЫ математика УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ и простейшие операции с матрицамиСкачать

МАТРИЦЫ математика УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ и простейшие операции с матрицами

Вычисление ранга матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы.

Для вычисления ранга матрицы:

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы .
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «ранг «.

Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы. Теорию вычисления ранга матрицы смотрите здесь.

Видео:Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

Вычисление псевдообратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.

Для вычисления псевдообратной матрицы:

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «псевдообратное «.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.

Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «полный ранг строк » или «полный ранг столбцов».

Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Скелетное разложение матрицы онлайн

Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «скелетное разложение «.

Видео:Матричные уравненияСкачать

Матричные уравнения

Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.

Для решения матричного уравнения:

  1. Введите размерности матриц Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет види Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид.
  2. Введите элементы матриц.
  3. Нажмите на кнопку «решение AX=B».

Учтите, что матрицы Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет види Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет виддолжны иметь равное количество строк .

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн

Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.

Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «Треугольный вид».

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн

Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU), где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т.е. такое разложение , при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «LU-разложение».

Видео:Пример действий над матрицами (4): многочлен от матрицы.Скачать

Пример действий над матрицами (4): многочлен от матрицы.

Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн

С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.

Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы:

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «ядро (·)».

Видео:Линейная алгебра, 7 урок, СЛАУ. Матричный методСкачать

Линейная алгебра, 7 урок, СЛАУ. Матричный метод

Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн

С помощью матричного калькулятора можно сделать ортогонализацию и ортонормализацию Грамма-Шмидта матрицы онлайн.

Для ортогонализации или ортонормализации матрицы:

  1. Выберите матрицу Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видили Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видс помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «Ортогонализация Г.-Ш. (·)» или «Ортонормализация Г.-Ш. (·)».

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

  • Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
  • Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
  • Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
  • Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  • Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
  • Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Видео:Как находить обратную матрицу - bezbotvyСкачать

Как находить обратную матрицу - bezbotvy

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет вид

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видПриводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

  1. Делим единицу на определитель матрицы A.
  2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
  3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видТретье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видРешаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Даны матрицы а и в тогда решение матричного уравнения ах в имеет видПроверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Поделиться или сохранить к себе: