Даны координаты вершин пирамиды а1а2а3а4 найти уравнение прямой на которой лежит ребро а1а2 (4 видео)

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Решение математических задач

Дана система линейных уравнений:

Доказать её совместность и решить двумя способами:

1) Методом Гаусса;
2) средствами матричного исчисления.

Докажем совместность системы. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

rang(A)= rang()=3по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

1) Решим систему по формулам Крамера:

2) Решим систему средствами матричного исчисления.

Решение системы АХ=В находится по формуле:

где А -1 — матрица, обратная к матрице А.

А -1 находится по формуле:

Даны векторы а(4; 7; 8),b (9; 1; 3),c(2; -4; 1) и d(1; -13; -13) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Условием линейной независимости векторов служит следующее условие: смешанное произведение векторов отлично от нуля.

Вычислим смешанное произведение векторов .

векторы линейно независимы, а значит образуют базис.

Пусть координаты вектора в базисе следующие: . Разложение вектора по базису имеет вид: . Подставим координаты векторов:

Решим систему методом Крамера:

Ответ: координаты вектора в базисе следующие: (-2;1;0).

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:

1)длину ребра А₁А₂;
2)угол между ребрами А₁А_{2 И}А₁А₄;
3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;
4)площадь грани А₁А₂А₃;
5)объем пирамиды;
6)уравнение прямой А₁А₂;
7)уравнение плоскости А₁А₂А₃;
8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

1) Длина ребра А₁А₂ совпадает с длиной вектора

2) Угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄ найдем используя формулу скалярного произведения:

3) Угол между прямой (L) и плоскостью () Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле:

(m;n;p)-это координаты направляющего вектора прямой А₁А₄.

Вектор является направляющим вектором прямой А₁А₄.

Для нахождения уравнения плоскости, содержащей грань А₁А₂А₃ используем уравнение плоскости, проходящей через три точки:

4) Площадь треугольника, построенного на векторах и находится по формуле:

— векторное произведение векторов

5) Площадь пирамиды, построенной на векторах , и находится по формуле:

где — смешанное произведение векторов.

6)Для нахождения уравнение прямой А₁А₂ воспользуемся каноническим уравнением прямой:

где (m;n;p) — координаты направляющего вектора прямой А₁А₂.

Вектор является направляющим вектором прямой А₁А₂.

7) Уравнение плоскости А₁А₂А₃:
8) Высота (Н), опущенная из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ перпендикулярна плоскости А₁А₂А₃, а значит направляющий вектор прямой Н параллелен вектору-нормали плоскости А₁А₂А₃, поэтому в качестве направляющего вектора прямой Н можно взять вектор-нормаль плоскости . Высота Н проходит через вершину А₄, поэтому можно записать каноническое уравнение высоты:

Даны уравнения одной из сторон ромба x — 3y + 10 = 0 и одной его диагоналей x + 4y — 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке P(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

Найдем точку М — точку пересечения стороны и диагонали:

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому Р(0;1) — середина отрезка MN, где M и N противоположные вершины ромба.

Запишем уравнение стороны NK, проходящей параллельно стороне (МТ):

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

— уравнение прямой NK

Найдем уравнение второй диагонали ромба (ТК). Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты связаны соотношением: .

(ТК)
(ТК)

Найдем точку Т — точку пересечения диагонали ТК и прямой МТ:

Запишем уравнение прямой ТN, используя формулу прямой, проходящей через две точки:

— уравнение стороны ТN

Сторона КМ параллельна стороне TN, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны.

— уравнение стороны МК

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (-1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x = -4.

Пусть М(x;y) — точка, лежащая на искомой прямой.

Расстояние от точки (х₀;у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется формулой:

Расстояние от М до прямой равно:

По условию задачи , т.е.

Возведем обе части равенства в квадрат:

— уравнение искомой линии.

График полученной линии — парабола, ветви направлены вправо, вершина параболы в точке (-2,5;0), пересечение с осью ординат в точках (0;) и (0;).

Линия задана уравнением в полярной системе координат

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью;
3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1) Построим линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4. Средствами векторной алгебры

Даны координаты вершин пирамиды
А1 А2 А3 А4.
Средствами векторной алгебры отыскать: 1) угол Меж рёбрами А1А2и А1А4;
2) площадь грани А1 А2 А3; 3) проекцию вектора А1А3на вектор А1А4; 4) объём пирамиды

А1(2, 4, 3),
А2(7, 6, 3),
А3(4, 9, 3),
А4(3, 6, 7).

Москальцова Дарина
Математика 2019-09-04 09:40:57 2 1

1) Определяем векторы А1А2 и А1А4:
А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0),
А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4).
Угол между рёбрами А1А2 и А1А4:
=1,197487 радиан = 68,61098 градуса.

2) площадь грани А1 А2 А3:
Площадь треугольника интеллигентного векторами a и b одинакова половине модуля векторного творения этих векторов.
Вектор А1А2 найден.
Обретаем вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0).
S = (1/2)*a b.
c =a b = (20 — 05) — (50 — 02) + (55 — 22) = = (0 — 0) — (0 — 0) +
+ (25 — 4) = 0; 0; 21
a x b = (cx + cy + cz ) = (0 + 0 + 21) = (0 + 0 + 441) = 441 = 21.
Найдем площадь треугольника: S = (1/2)*21 = 10.5.

3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4.
Пр ba = ( a b)/ b
Найдем скалярное произведение векторов : a b = ax bx + ay by + az bz =
5 1 + 2 2 + 0 4 = 5 + 4 + 0 = 9
Найдем модуль вектора : b = (bx + by + bz ) = (1 + 2 + 4) =
(1 + 4 + 16) = 21
Пр ba = 9/ 21 = 321/ 7 1.963961.

4) Объём пирамиды.
Объем пирамиды равен: (ABx1, y1, z1 ; ACx2, y2, z2 ; ASx3, y3, z3)= x3a1+y3a2+z3a3
Обретаем 3-ий вектор :
AS = Sx — A x; Sy — A y; Dz — A z = 3 — 2; 6 — 4; 7 — 3 = 1; 2; 4.
V = (1/6)AB [AC AD].
Находим смешанное творение векторов:
AB (AC AS) = 554 + 201 + 022 — 051 — 224 — 502 = 100 + 0 + 0 — 0 — 16 — 0 = 84
Найдем объем пирамиды: V = (1/6)84 = 14 .