Условие
Даны две смежные вершины квадрата АВСD: А (2; 0), В (–1; 4). Найдите: а) уравнение сторон АВ, ВС, АD этого квадрата; б) уравнение средней линии, параллельной стороне АD квадрата АВСD.
Решение
а)
Уравнение прямой АВ
y=kx+b
Подставляем координаты точек А и В
<0=k*2+b
<4=k*(-1)+b
Вычитаем из первого уравнения второе:
-4=3k
k=-4/3
[blue]АВ: 4x+3y-8=0[/blue]-[b] уравнение прямой АВ[/b]
или
Уравнение прямой АВ как прямой, проходящей через две точки:
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Подставляем координаты точки А:
0=(3/4)*2+m ⇒ m=-3/4
y=(3/4)x -(3/4) — [b]уравнение прямой AD[/b]
Подставляем координаты точки B:
-1=(3/4)*4 +m ⇒ m=-4
y=(3/4)x -4 — [b] уравнение прямой BC[/b]
б)
Находим середину АВ: ( см. рис. 2)
Подставляем координаты точки K:
2=(3/4)*0,5 +m ⇒ m=13/8
y=(3/4)x +(13/8) — [b]уравнение средней линии[/b], параллельной прямой AD
Даны две смежные вершины квадрата найти уравнение сторон
Даны две смежные вершины квадрата A(1, 4) и B(4, 5). Найти две другие.
Очевидно, что задача допускает два решения, так как искомые вершины могут находиться по разные стороны отрезка AB. Уравнение стороны квадрата AB будет таким: x — 3y + 11 = 0, а ее длина равна 
. Теперь через точки A (1, 4) и B(4, 5) проведем прямые, перпендикулярные AB, и на каждом из этих прямых определим по две точки, расстояние которых от AB равно (у квадрата все стороны равны). Координаты этих точек и будут искомыми.
Уравнения прямых, перпендикулярных к AB и проходящих через концы отрезка AB, будут такими:
На каждой из этих прямых найдем две точки, находящиеся от AB на расстоянии, равном , причем для одной из точек отклонение от AB будет положительным, для другой — отрицательным.
Обозначим координаты точки D через x1 и y1. Так как эта точка лежит на прямой AD, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой, т. е. имеет место уравнение
Даны две смежные вершины квадрата найти уравнение сторон
Для начала сделаем предположительное построение квадрата. Пусть точка В лежит сверху, а D снизу.
Мы видим, что диагональ BD – не перпендикулярна оси х , а немного отклонена. Обозначим угол отклонения за a .
Теперь рассмотрим угол b — угол между АВ и осью х. Если бы диагональ BD была перпендикулярна оси х , то угол b был бы равен 45 ° , но BD отклонена на угол a , значит, угол b = 45 ° — a . Коэффициент k в уравнении стороны АВ равен tg b . По формуле тангенса разности находим tg b = tg (45 ° — a ) = ?. Необходимо заметить, что сторона CD параллельна стороне АВ и имеет с осью х аналогичных угол. Уравнения этих сторон различны лишь свободным членом. Запишем эти уравнения
уАВ=3/4х+ bAB для нахождения свободного члена необходимо подставить значения любой точки этой прямой. У нас она одна известна — это точка А. Подставим значения и получим, что bAB = 15/4.
у CD =3/4х+ bCD аналогично и тут только подставляем значения любой точки этой прямой то есть точки С. Подставим значения и получим, что bCD = 5/2.
Теперь обратимся к сторонам BC и AD . Они параллельны, то есть образуют с осью х одинаковый угол. Обозначим его за g (гамма). Угол g смежен с углом q ( тетта ), то есть g = 180 ° — q . А угол q в свою очередь равен q = 90 ° — b , подставим и получим g = 90 ° + b
Коэффициент k в уравнении сторон BC и AD равен tg g . tg g = tg (90 ° + b ) = — ctg b = -4/3
Запишем эти уравнения
у AD =-4/3х+ bAD для нахождения свободного члена необходимо подставить значения любой точки этой прямой. У нас она одна известна — это точка А. Подставим значения и получим, что bAB = 5/3.
yBC =-4/3х+ bBC аналогично и тут только подставляем значения любой точки этой прямой то есть точки С. Подставим значения и получим, что bCD = 10.