Дана система линейных уравнений:
Доказать её совместность и решить двумя способами:
- 1) Методом Гаусса;
- 2) средствами матричного исчисления.
Докажем совместность системы. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
rang(A)= rang()=3по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
1) Решим систему по формулам Крамера:
2) Решим систему средствами матричного исчисления.
Решение системы АХ=В находится по формуле:
где А -1 — матрица, обратная к матрице А.
А -1 находится по формуле:
Даны векторы а(4; 7; 8),b (9; 1; 3),c(2; -4; 1) и d(1; -13; -13) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Условием линейной независимости векторов служит следующее условие: смешанное произведение векторов отлично от нуля.
Вычислим смешанное произведение векторов .
векторы линейно независимы, а значит образуют базис.
Пусть координаты вектора в базисе следующие: . Разложение вектора по базису имеет вид: . Подставим координаты векторов:
Решим систему методом Крамера:
Ответ: координаты вектора в базисе следующие: (-2;1;0).
Даны координаты вершины пирамиды А1А2А3А4:
- 1)длину ребра А1А2;
- 2)угол между ребрами А1А2 ИА1А4;
- 3)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
- 4)площадь грани А1А2А3;
- 5)объем пирамиды;
- 6)уравнение прямой А1А2;
- 7)уравнение плоскости А1А2А3;
- 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
1) Длина ребра А1А2 совпадает с длиной вектора
2) Угол между ребрами А1А2 И А1А4 найдем используя формулу скалярного произведения:
3) Угол между прямой (L) и плоскостью () Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле:
(m;n;p)-это координаты направляющего вектора прямой А1А4.
Вектор является направляющим вектором прямой А1А4.
Для нахождения уравнения плоскости, содержащей грань А1А2А3 используем уравнение плоскости, проходящей через три точки:
4) Площадь треугольника, построенного на векторах и находится по формуле:
— векторное произведение векторов
5) Площадь пирамиды, построенной на векторах , и находится по формуле:
где — смешанное произведение векторов.
6)Для нахождения уравнение прямой А1А2 воспользуемся каноническим уравнением прямой:
где (m;n;p) — координаты направляющего вектора прямой А1А2.
Вектор является направляющим вектором прямой А1А2.
- 7) Уравнение плоскости А1А2А3:
- 8) Высота (Н), опущенная из вершины А4 на грань А1А2А3 перпендикулярна плоскости А1А2А3, а значит направляющий вектор прямой Н параллелен вектору-нормали плоскости А1А2А3, поэтому в качестве направляющего вектора прямой Н можно взять вектор-нормаль плоскости . Высота Н проходит через вершину А4, поэтому можно записать каноническое уравнение высоты:
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
- 5)
- 6)
- 7)
- 8)
Даны уравнения одной из сторон ромба x — 3y + 10 = 0 и одной его диагоналей x + 4y — 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке P(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.
Найдем точку М — точку пересечения стороны и диагонали:
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому Р(0;1) — середина отрезка MN, где M и N противоположные вершины ромба.
Запишем уравнение стороны NK, проходящей параллельно стороне (МТ):
Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
— уравнение прямой NK
Найдем уравнение второй диагонали ромба (ТК). Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты связаны соотношением: .
- (ТК)
- (ТК)
Найдем точку Т — точку пересечения диагонали ТК и прямой МТ:
Запишем уравнение прямой ТN, используя формулу прямой, проходящей через две точки:
— уравнение стороны ТN
Сторона КМ параллельна стороне TN, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны.
— уравнение стороны МК
Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (-1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x = -4.
Пусть М(x;y) — точка, лежащая на искомой прямой.
Расстояние от точки (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется формулой:
Расстояние от М до прямой равно:
По условию задачи , т.е.
Возведем обе части равенства в квадрат:
— уравнение искомой линии.
График полученной линии — парабола, ветви направлены вправо, вершина параболы в точке (-2,5;0), пересечение с осью ординат в точках (0;) и (0;).
Линия задана уравнением в полярной системе координат
- 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
- 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью;
- 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
1) Построим линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток
Видео:№980. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см,Скачать
даны уравнения двух сторон ромба 2x+y-2=0 и 2x+y-8=0 и ур-е его диагонали x+y-4=0. найти координаты вершин
даны уравнения двух сторон ромба 2x+y-2=0 и 2x+y-8=0 и ур-е его диагонали x+y-4=0. найти координаты вершин
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ. ))
нужно само решение)
я получила 2 точки с координатами, вершины из которых идет диагональ, как найти остальные точки? так то их видно и найти можно, но как это записать правильно? нужно точное решение (
Избыточное количество уравнений
х=4-у
Первые вершины:
8-2у+у-2=0 6-у=0 у=6
и. т. д
Далее рисуешь по координатам и находишь остальные точки
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Комплекс практических задач по геометрии на плоскости, решаемые с помощью пакета geometry системы Maple.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Комплекс практических задач по геометрии на плоскости, решаемые с помощью пакета geometry системы Maple .
Задание 1. Определите окружность, проходящую через три заданные точки А(1,3); В(4,0); С(4,6), найдите координаты центра, радиус этой окружности, а также уравнение окружности, заданное в аналитическом виде. Получить детальное описание окружности, а также её графическое изображение.
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName := m: _EnvVerticalName := n:
Задаем окружность, проходящую через три заданные точки с помощью команды: circle(c1,[point(A,1,3), point(B,4,0), point(C,4,6)],’centername’=O1):
Находим координаты центра этой окружности с помощью команды: center ( c 1), coordinates ( center ( c 1));
Находим радиус окружности с помощью команды radius(c1);
Получаем уравнение окружности в аналитическом виде с помощью команды Equation(c1);
Получаем детальное описание окружности, используя команду detail(c1);
Получаем графическое изображение окружности с помощью команды draw(c1);
Ответ: центр окружности имеет координаты (4,3); радиус окружности равен 3; уравнение в аналитическом виде: 
Задание 2. В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение прямых 
и 
.
1. : 3х-у-2=0; : 6х-2у-2=0;
2. : 2х+3у+1=0; : х=1+3 t , у=-2+2 t .
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Задаем (определяем) прямые и с помощью команды line(l1,3*x-y-2=0,[x,y]): line(l2,6*x-2*y-2=0,[x,y]):
Проверяем условие параллельности для прямых и с помощью команды AreParallel(l1,l2); Если результат: true , то прямые параллельны, если false , то прямые не параллельны;
В случае, когда прямые не параллельны, проверяем условие перпендикулярности, используя команду ArePerpendicular(l1,l2); Если результат: true , то прямые перпендикулярны, если false , то прямые не перпендикулярны;
Ответ: 1. прямые параллельны; 2. прямые пересекаются.
Задание 3. Даны уравнения двух сторон треугольника 2х-у=0, 5х-у=0 и уравнение 3х-у=0 одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка с координатами (3,9).
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Определяем прямые, задающие стороны треугольника с помощью команды line(a,2*x-y=0,[x,y]): line(b,5*x-y=0,[x,y]):
Определяем прямую, задающую медиану треугольника с помощью команды line(m,3*x-y=0,[x,y]):
Задаем точку Т(3,9) с помощью команды point(T,[3,9]):
Строим изображение определенных выше прямых и точки с помощью команды draw([T,a,b,m(color=blue)]);
По графику видно, что медиана опущена из точки пересечения заданных сторон треугольника (вершина А). Определим координаты вершин В(х1,у1), принадлежащей прямой а, и вершины С(х2,у2), принадлежащей прямой b . Точка Т(3,9) принадлежит прямой m (медиане), и точка Т принадлежит третьей стороне треугольника с, следовательно, Т – середина ВС.
Задаем уравнение третьей стороны по двум точкам: line(l3,[point(B,4,8),point(C,2,10)]):
Получаем уравнение в аналитическом виде с помощью команды Equation(l3,[x,y]);
Задание 4. Дана прямая x -2 y +1=0, содержащая основание ВС треугольника АВС, и вершина А(3,-4), противолежащая этому основанию. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из А на сторону ВС.
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Задаем точку А(3,-4) и прямую, содержащую основание ВС треугольника АВС с помощью соответствующих команд point(A,3,-4): line(bc,x-2*y+1=0,[x,y]):
Вектор (1,-2) – нормальный вектор для (ВС), вектор (2,1) – направляющий для высоты (АН) и А
(АН): line(AH,2*(x-3)+(y+4)=0,[x,y]):
Находим уравнение в аналитическом виде АН: Equation(AH,[x,y]);
Находим координаты точки пересечения высоты с основанием (ВС), используя команду intersection(H,AH,bc): coordinates(H);
Затем расстояние от точки А до точки Н: distance(A,H);
Ответ: уравнение высоты 2х-2+у=0, длина высоты 
.
Задание 5. Дано уравнение стороны ромба : х+3у-8=0 и уравнение его диагонали 
: 2х+у+4=0. Написать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка К(-9,-1) лежит на стороне, параллельной данной.
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
Задаем уравнения стороны и диагонали ромба с помощью соответствующих команд: line(l1,x+3*y-8=0): line(d1,2*x+y+4=0):
Определяем точку К(-9,-1) командой point(K,-9,-1):
Пусть — сторона ромба, параллельная данной , тогда К
Составляем уравнение прямой с помощью команды line(l2,(x+9)+3*(y+1)=0):
Находим вершину ромба А, как точку пересечения диагонали и стороны . Для этого используем команду intersection(A,l1,d1):
Координаты точки А можно узнать и с помощью следующей команды: detail(A);
Находим вершину ромба С, как точку пересечения диагонали и стороны с помощью команды intersection(C,l2,d1):
Находим точку пересечения диагоналей, как середину отрезка АС: midpoint(O,A,C):
так как вторая диагональ 
и 
, то можно составить уравнение прямой 
с помощью команды line(d2,-1*(x+2)+2*(y+0)=0):
Находим вершину ромба, как точку пересечения диагонали и стороны , intersection(B,l1,d2):
получаем уравнение стороны 
: line(l3,[B,C]):
Находим вершину ромба D , как точку пересечения диагонали и стороны : intersection(D,l2,d2):
Получаем уравнение стороны 
: line(l4,[D,A]): Equation(l4);
Получаем уравнения прямых 
и 
в аналитическом виде: Equation(l3);
Ответ: х+12+3у=0; -8+6х-2у=0; -32-6х+2у=0.
Задание 6. Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми : х+у-1=0, : х+2у-1=0, 
: 2х-5у+2=0.
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Определяем заданные прямые с помощью команд
line ( l 3,2* x -5* y +2=0,[ x , y ]):
Определяем угол между прямыми и командой FindAngle(l1,l2);
Определяем угол между прямыми и командой FindAngle(l3,l1);
Определяем угол между прямыми и командой FindAngle(l3,l2);
Ответ: 
.
Задание 7. На прямой : 2х-3у+6=0 найти точки, находящиеся на расстоянии 2/5 от прямой : 3х-4у+11=0.
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Искомая точка Р(х1,у1) . Определяем эту точку с помощью команды point(P,x1,y1):
Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
Задаем одну из прямых с помощью команды: line(l1,3*x-4*y+11=0):
Находим расстояние между этой прямой и точкой Р: d:=distance(P,l1);
Находим координаты точек на второй прямой, удовлетворяющих заданным условиям: solve(,);
Ответ: 
.
Задание 8 . Пусть прямая задана уравнением x =2, и даны две окружности, также заданные соответствующими уравнениями: 
. Выяснить к какой окружности прямая линия является касательной.
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
Задаем окружности с1 и с2 с помощью команды: circle(c1,(x+1)^2 + (y-2)^2 =4), circle(c2,x^2 + y^2 =4):
Прямую задаем с помощью команды: line(l, x =2):
Проверяем является ли прямая касательной к окружности с2: AreTangent(l, c2);
Проверяем является ли прямая касательной к окружности с1: AreTangent(l, c1);
Ответ: 
Задание 9. Пусть вершины треугольника заданны своими координатами А(7,7); В(11,2); С(7,2). Проверить, является ли треугольник равносторонним или прямоугольным. В случае если треугольник прямоугольный, найти его площадь.
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Задаем треугольник координатами его вершин с помощью команды: triangle(ABC, [point(A,7,7), point(B,11,2), point(C,7,2)]);
Проверяем условие, является ли треугольник равносторонним с помощью команды: IsEquilateral(ABC);
Проверяем условие, является ли треугольник прямоугольным с помощью команды: IsRightTriangle(ABC);
Находим площадь треугольника: area(ABC);
Ответ: треугольник прямоугольный, площадь треугольника равна 10.
Задание 10. Вычислить и изобразить графически вписанную и описанную окружности треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(5,1); С(3,6).
Последовательность выполнения задания:
Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):
Задаем треугольник координатами своих вершин: triangle(T, [point(A,0,0), point(B,5,1), point(C,3,6)]):
Вычисляем описанную окружность и получаем ее детальное описание:
circumcircle(Elc, T, ‘centername’ = OO);
Получаем графическое изображение окружности, описанной около треугольника: draw(,printtext=true);
Вычисляем вписанную окружность и получаем ее детальное описание:
Получаем графическое изображение окружности, вписанной в треугольник: draw(,printtext=true);
🎬 Видео
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать
№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать
Уравнение ромба | Параметр 19 | mathus.ru #егэ2024Скачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
№974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3; 1). Напишите уравненияСкачать
Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать
Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать
КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать
Никто не решил ➜ Удобная подстановка ➜ Решите уравнение ➜ x^3-3x+1=0Скачать
✓ Комбинаторика и теория чисел в олимпиадах | #ТрушинLive #057 | Борис ТрушинСкачать
Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуляСкачать
