Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение прямой в отрезках. Представим методы преобразования уравнения прямой в отрезках в уравнение прямой в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение прямой в отрезках представляется следующей формулой:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид(1)

где a и b числа, отличные от нуля.

Отметим, что числа a и b в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy (Рис.1).

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Действительно. Подставляя в (1) y=0, получим x=a, если же подставить в (1) x=0, то получим y=b. Таким образом прямая L проходит через точки M1(a, 0) и M2(0, b).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox и Oy в точках −1 и 3, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1 и b=3 в (1), получим:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид.
Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Приведение уравнения прямой в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид.

Далее, умножив обе части уравнения на ab, получим:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид
Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Пример 2. Уравнение прямой в отрезках представлено следующим уравнением:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид.

Умножив обе части уравнения на −20, получим:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой в отрезках

где A, B, C − отличные от нуля числа.

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член C на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −C:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид(2)

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид(3)

Сделаем следующие обозначения:

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение прямой в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=5, B=8, C=−3. Подставив эти значения в формулу (3), получим:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач

Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .

Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.

Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « — » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y — 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Решение

Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , — 5 2 . Отметим их и проведем линию.

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = — C A , b = — C B .

Разберем следующий пример.

Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 .

Решение

Переносим одну вторую в правую часть равенства x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Делим обе части равенства на — 1 2 : x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Мы получили уравнение прямой в отрезках.

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1

В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b — 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y — 1 = 0

Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y — 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.

Решение

Действует по заранее описанному алгоритму:

x 2 3 + y — 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 — 12 · y — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Ответ: 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Дано уравнение прямой 2x 5y 10 0 тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Если прямая пересекает оси координат в точках $$A(3;0)$$ и $$B(0;8)$$, то ее уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

Так как $$a=3$$ , а $$b=8$$ , то запишем:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом $$k$$ имеет вид:

Даны прямые:
$$3x+5y+7=0$$ ( $$1$$ );
$$3x-5y-7=0$$ ( $$2$$ );
$$10x+6y-5=0$$ ( $$3$$ );
$$x+y=5$$ ( $$4$$ ).
Перпендикулярными являются прямые:

Прямые $$y=k_x+b_$$ и $$y=k_x+b_$$ перпендикулярны, если выполняется условие:

Запишем уравнения прямых в виде $$y=kx+b$$ :

Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные векторы (скалярное произведение нормальных векторов равно нулю):
$$A_1A_2+B_1B_2=0$$ .

Если прямая проходит через точки $$A(1;-2)$$ и $$B(2;4)$$ , то уравнение этой прямой в общем виде записывают:

Если известны координаты точек $$A(x_;y_)$$ и $$B(x_;y_)$$ , принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$frac<x-x_><x_-x_>=frac<y-y_><y_-y_>$$ .

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

Даны прямые:
$$y=3x+4$$ ( $$1$$ );
$$y=5x+4$$ ( $$2$$ );
$$y=3x-8$$ ( $$3$$ );
$$y=8-3x$$ ( $$4$$ );
$$2y=6x+10$$ ( $$5$$ ).
Параллельными являются прямые:

Прямые $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ параллельны, если $$k_=k_$$ и $$b_neq b_$$.

  1. Уравнение прямой $$2y=6x+10$$ мы записали в виде $$y=3x+5$$ .
  2. Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ параллельны, если коллинеарны их нормальные векторы $$bar(A_1;B_1)$$ и $$bar(A_2;B_2)$$ :
    $$frac=frac$$ .

Если угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $$M(1;-5)$$ , равен $$5$$ , то уравнение этой прямой в отрезках имеет вид:

Если известна точка $$M left (x_;y_ right )$$ , принадлежащая прямой, и угловой коэффициент $$k$$ прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$y=y_+k(x-x_)$$ .

Найдем уравнение прямой:
$$y=-5+5(x-1)$$ , $$y=5x-10$$ , $$5x-y=10$$ .
Запишем уравнение этой прямой в отрезках:
$$frac-frac=frac$$ , $$frac+frac=1$$ .

Уравнение прямой в отрезках имеет вид:

🎬 Видео

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.

Уравнение прямой на плоскостиСкачать

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой.Скачать

Уравнение прямой.

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому виду

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Уравнение прямой на плоскости. Решение задачСкачать

Уравнение прямой на плоскости. Решение задач

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения
Поделиться или сохранить к себе: