Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Видео:5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости вывод

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Нормальное уравнение плоскости

В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,(1)

где r− расстояние от начала координат до плоскости Ω, а α,β,γ− это углы между единичным вектором n, ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz, соответственно (Рис.1). (Если r>0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω, если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).

Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную плоскости Ω, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты. (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыи углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz, соответственно.

Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:

n=<cosα, cosβ, cosγ>.(2)

Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M (x,y, z). Точка M лежит на плоскости Ω тогда и только тогда, когда проекция вектора Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатына прямую R равна r, т.е.

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты(3)

Скалярное произведение векторов n и Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыимеет следующий вид:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты,(4)

где Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты− обозначен скалярное произведение векторов n и Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты, а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.(5)

Учитывая, что n=<cosα, cosβ, cosγ>, Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты, мы получим:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.(6)

Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:

xcosα+ycosβ+zcosγ=r,
xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.(7)

Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω. Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .

Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r, т.е. если |n|=1 и r>0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.

Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.(7)

Определить, является ли уравнение (7) нормальным уравнением плоскости и если да, то определить расстояние данной плоскости от начала координат.

Решение. Нормальный вектор плоскости имеет следующий вид:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Определим длину вектора n:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыДано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Ответ: Длина вектора n равна 1, Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты, следовательно уравнение (7) является нормальным уравнением плоскости, а Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты− это расстояние плоскости от начала координат.

Видео:Уравнение плоскости через точку и нормальСкачать

Уравнение плоскости через точку и нормаль

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Ax+By+Cz+D=0.(8)

Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи «Общее уравнение плоскости»), то существует такое число t, что

tA=cosα, tB=cosβ, tC=cosγ, tD=−r.(9)

Возвышая в квадрат первые три равенства в (9) и складывая их, получим:

(tA) 2 +(tB) 2 +() 2 =cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1.(10)

Упростим выражение и найдем t:

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2 )=1,
Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.(11)

Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).

Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до плоскости, то r≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D.

Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD=0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .

Пример 2. Задано общее уравнение плоскости

2x−3y+6z+4=0.(12)

Построить нормальное уравнение плоскости (12).

Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=6, D=4. Вычислим t из равенства (11):

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыДано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

Так как D>0, то знак t отрицательный:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

Умножим уравнение (12) на t:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

Отметим, что число Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыявляется расстоянием от начала координат до прямой (12).

Видео:11 класс, 8 урок, Уравнение плоскостиСкачать

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскости

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости.

Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.

В этой статье мы сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.

Навигация по странице.

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации.

Для хорошего усвоения материала нам потребуется хорошее представление о прямой в пространстве, представление о плоскости и определения из статьи векторы – основные определения.

Дадим определение нормального вектора плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты— нормальный вектор плоскости Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты, то вектор Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыпри некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты(смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.

Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.

Приведем пример нормального вектора плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz . Координатные векторы Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыявляются нормальными векторами плоскостей Oyz , Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыненулевые и лежат на координатных прямых Ox , Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz , Oxz и Oxy соответственно.

Видео:Видеоурок "Нормальное уравнение плоскости"Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение плоскости"

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости.

Озвучим цель, которая преследовалась при создании этого пункта статьи: научиться находить координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz .

Общее уравнение плоскости вида Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыопределяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты. Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.

Рассмотрим несколько примеров.

Найдите координаты какого-либо нормального вектора плоскости Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x , y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты— один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты, где t — произвольное действительное число, отличное от нуля.

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Плоскость задана уравнением Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты. Определите координаты ее направляющих векторов.

Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координатыв виде Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты. Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты, а множество всех нормальных векторов запишется как Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты

Уравнение плоскости в отрезках вида Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты, как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты Дано уравнение плоскости 5х 2у 8z 1 0 нормальный вектор этой плоскости имеет координаты.

В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.

🎬 Видео

§42 Нормальное урaвнение плоскостиСкачать

§42 Нормальное урaвнение плоскости

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/

Векторный метод в стереометрии. Задача 14 профильный ЕГЭСкачать

Векторный метод в стереометрии. Задача 14 профильный ЕГЭ

Уравнение плоскости. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. Практическая часть. 11 класс.

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебра

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

§37 Общее и векторное уравнение плоскостиСкачать

§37 Общее и векторное уравнение плоскости
Поделиться или сохранить к себе: