По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от
до
(иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от
до
). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции
, соответствует единственное значение полярного радиуса.
Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию.
«Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до
:
Далее, пересекая полярную ось в точке
, спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне
.
В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы у функции
рассматривать нельзя.
! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже
Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.
Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:
Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?
Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс.
Уравнение вида определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса
.
Например, . Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу
, проведём замену:
Возведём обе части в квадрат:
– уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.
А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения .
Рассмотрим более содержательные задачи на построение:
Задача 116
Построить линию
Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот,
я советую более быстрый графический метод решения:
– Посмотрим на график функции (см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство
? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс
, а именно, его часть на отрезке
. И, соответственно, интервал
не подходит. Таким образом, область определения нашей функции:
, то есть график
расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).
В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла.
Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса соответствующие положительные значения можно заново не считать (справа):
Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии:
В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме.
Обе части уравнения искусственно домножаем на «эр»:
и используем более компактные формулы перехода:
Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:
– уравнение окружности с центром в точке
, радиуса 2.
Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉
Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ?
Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции нас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности.
Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида задаёт окружность диаметра
с центром в точке
.
Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси и обязательно проходят через полюс. Если же
, то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).
Похожая задача для самостоятельного решения:
Задача 117
Построить линию и найти её уравнение в декартовой системе координат.
Систематизируем порядок решения задачи:
Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.
На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?
На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.
И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.
Примерный образец решения в конце книги.
Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:
Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать
Лабораторная работа №2 «Полярная система координат»
Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать
Лабораторная работа №2 «Полярная система координат»
Цель работы: Ознакомиться с полярной системой координат. Изучить формулы, связывающие прямоугольные координаты Х и У точки М и ее полярные координаты.
1. Записать уравнения кривой (если необходимо) в явном виде:
2. Найти область определения функции , на основании чего сделать выводы о возможном расположении кривой.
3. Составить таблицу значений . Придавая
значения углов на области определения функции
.
4. Построить кривую в полярной системе по точкам с координатами
().
5. Записать формулы, связывающие декартовы, полярные координаты. С помощью этих формул в уравнении кривой перейти к заданию в декартовых координатах.
Для определения координат в декартовой системе координат используются координатные оси. Однако в ряде случаев удобно в качестве координат использовать не метрические величины, а величины других размерностей, например, углы.
Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата ρ – расстояние от точки до полюса, координата φ – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае. Важно понимать, что число φ в полярной системе определено не однозначно: парам чисел (ρ; φ + 2πn) соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.
Полярная система координат.
Полярные координаты легко преобразовать в декартовы. Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, (ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно, что
Формулы обратного перехода:
,
,
.
Следовательно, .
Пример. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало координат совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.
Решение: 1) Построим линию по точкам от φ = 0 до φ = 2π, придавая φ значения через промежуток .
Видео:Полярная система координатСкачать
Задача 43787 .
Условие
Даны уравнения линии r=r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от (φ)=0 до (φ)=2(π) с шагом, равным (π)/8; 2)найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс- с полярной осью; 3)назвать линию, найти координаты центра и полуоси.
r=4/(2-3cos φ)
Решение
В полярной системе координат, откладывают лучи от начала О.
Эти лучи заполняют всю плоскость.
В условии задачи предлагают провести лучи
φ =0
φ =π/8
φ =2π/8=π/4
и так далее.
На каждом таком луче откладывается расстояние.
Например при φ =π/2
откладываем r=4/(2-3*0)=2
На луче откладываем расстояние только в одну сторону, т.е
4/(2-3cos φ ) >0 ⇒ 2-3cos φ >0 ⇒[b] cos φ
Видео:Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать
Контрольная работа по мат. анализу 06
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Контрольная работа 1
1. Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длину рёбер А1А2 и А1А3; 2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3; 3) Площадь грани А1А2А3; 4) Объём пирамиды; 5) Уравнение прямой А1А2; 6) Уравнение плоскости А1А2А3; 7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Координаты вершин: А1(5;1;0), А2 (0;1;2), А3(3;0;1), А4(2;2;2).
Координаты векторов находим по формуле: X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi
Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj; Для вектора A1A2 : X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1
X = 0-5; Y = 1-1; Z = 2-0
1) Длина рёбер А1А2 и А1А3;
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3;
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3
, γ = arccos(0.91) = 24.50
3) Площадь грани А1А2А3;
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
4) Объём пирамиды;
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
Находим Определитель матрицы
∆ = (-5) • ((-1) • 2-1 • 1)-(-2) • (0 • 2-1 • 2)+(-3) • (0 • 1-(-1) • 2) = 5
5) Уравнение прямой А1А2;
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой A1A2
6) Уравнение плоскости А1А2А3;
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-5)(0 • 1-(-1) • 2) — (y-1)((-5) • 1-(-2) • 2) + (z-0)((-5) • (-1)-(-2) • 0) = 2x+y+5z-11=0
7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
2. Линия задана уравнением В полярной системе координат
1. построить линию по точкам, начиная от До
И придавая
значения через промежуток
;
2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;
3. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
1) Построим линию по точкам, начиная от До
и придавая
Значения через промежуток
2) Построим уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
3) Найдём уравнение данной линии в декартовой системе координат:
Используем формулы перехода от полярной системы координат к декартовой:
Тогда
По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определяем, что это линия — гипербола.
Элементы линейной алгебры
Контрольная работа 2
I. Даны две матрицы А и В. Найти (2АТ-3В)*(А+2ВТ)
,
,
,
,
,
II. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.
Исходная матрица имеет вид:
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(5 — λ)x1-2×2 + 2×3 = 0
0x1 + (5 — λ)x2 + 0x3 = 0
0x1 + 2×2 + (3 — λ)x3 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
(5 — λ) • ((5 — λ) • (3 — λ)-2 • 0)-0 • (-2 • (3 — λ)-2 • 2)+0 • (-2 • 0-(5 — λ) • 2) = 0
После преобразований, получаем: — λ3 + 13λ2 — 55λ + 75 = 0
Один из корней уравнения равен λ1 = 3
Тогда характеристическое уравнение можно записать как
(λ -3)( — λ2 + 10λ — 25)=0.
D = 102 — 4 • (-1) • (-25) = 0
Получили собственные числа: λ1 = 3,
Найдём собственный вектор для λ1.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
Подставляя λ = 3 в систему, имеем:
Пусть x1 — свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные x1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1= 3 , имеет вид: , где x1 — любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x1 = 1:
.
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственным числам:
. Следовательно,
— любое,
Множество собственных векторов, отвечающих собственным числам , имеет вид:
. При x1 = 1 и x3 = 0:
, при x1 = 0 и x3 = 1:
.
Ответ: Собственные числа: λ1=3, , собственные векторы:
,
,
.
III. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) Найти все корни уравнения w3+z=0
1) — алгебраическая форма
— тригонометрическая форма
2) Найдем корни уравнения w3 =0,
Применим формулу извлечения корней из комплексного числа:
, к=0,1,…,n-1
,
Так как a=, то
Контрольная работа 3
I. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1.
2.
3.
4.
1.
3.
Использовали эквивалентности бесконечно малых величин при :
4.
II. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж
Построим график заданной функции:
Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.
Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и
.
Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,
,
. Так как
, Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок
,
. Так как
, то в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок.
III. Найти производные первого порядка данных функций.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5)
4) ;
Прологарифмируем данную функцию:
Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.
Тогда
5)
Дифференцируем обе части равенства по х:
Разрешаем равенство относительно :
Окончательно:
IV. Найти и
для заданных функций:
1) ;
2)
1) ;
2)
Приложение дифференциального исчисления
Контрольная работа 4
Контрольная работа 5
I. Вычислить определённые интегралы. В п. 1) и 2) результаты проверить дифференцированием.
1)
2)
3)
4)
1)
— верно
— верно
3)
Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:
II. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
III. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии
По формуле .
В нашем случае
Тогда
Имеем
Ответ:
🎥 Видео
Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать
Полярная система координатСкачать
Полярная система координат.Скачать
Видеоурок "Полярная система координат"Скачать
Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать
Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
ПОИ-9. Длина линии в полярной системе координатСкачать
§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать
§12 Полярное уравнение прямойСкачать
1703 Вычисление длины линии в полярной системе координатСкачать
Полярные в декартовыеСкачать
Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
§52 Полярная система координатСкачать
Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать