Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

4.4. Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеот полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системедо Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе(иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системедо Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию.

«Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе:
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеДалее, пересекая полярную ось в точке Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.
В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, то отрицательные углы у функции Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системерассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс.

Уравнение вида Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеопределяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Например, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, проведём замену:
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Возведём обе части в квадрат:
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе– уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Задача 116

Построить линию Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот,
я советую более быстрый графический метод решения:

– Посмотрим на график функции Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе(см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, а именно, его часть на отрезке Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. И, соответственно, интервал Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системене подходит. Таким образом, область определения нашей функции: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, то есть график Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системерасположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла.

Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системесоответствующие положительные значения можно заново не считать (справа):
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии:
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе
В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, но я расскажу вам о более хитром приёме.

Обе части уравнения Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеискусственно домножаем на «эр»: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеи используем более компактные формулы перехода:
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеДано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе
Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе– уравнение окружности с центром в точке Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, радиуса 2.

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе?

Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системенас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системезадаёт окружность диаметра Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системес центром в точке Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеи обязательно проходят через полюс. Если же Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Задача 117

Построить линию Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеи найти её уравнение в декартовой системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце книги.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Лабораторная работа №2 «Полярная система координат»

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Лабораторная работа №2 «Полярная система координат»

Цель работы: Ознакомиться с полярной системой координат. Изучить формулы, связывающие прямоугольные координаты Х и У точки М и ее полярные координаты.

1. Записать уравнения кривой (если необходимо) в явном виде: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

2. Найти область определения функции Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, на основании чего сделать выводы о возможном расположении кривой.

3. Составить таблицу значений Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. Придавая Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системезначения углов на области определения функции Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

4. Построить кривую в полярной системе по точкам с координатами

(Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе).

5. Записать формулы, связывающие декартовы, полярные координаты. С помощью этих формул в уравнении кривой перейти к заданию в декартовых координатах.

Для определения координат в декартовой системе координат используются координатные оси. Однако в ряде случаев удобно в качестве координат использовать не метрические величины, а величины других размерностей, например, углы.

Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата ρ – расстояние от точки до полюса, координата φ – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае. Важно понимать, что число φ в полярной системе определено не однозначно: парам чисел (ρ; φ + 2πn) соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Полярная система координат.

Полярные координаты легко преобразовать в декартовы. Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, (ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно, что

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Формулы обратного перехода:

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Следовательно, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Пример. Линия задана уравнением Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системев полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало координат совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

Решение: 1) Построим линию по точкам от φ = 0 до φ = 2π, придавая φ значения через промежуток Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Задача 43787 .

Условие

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Даны уравнения линии r=r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от (φ)=0 до (φ)=2(π) с шагом, равным (π)/8; 2)найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс- с полярной осью; 3)назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

r=4/(2-3cos φ) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Решение

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

В полярной системе координат, откладывают лучи от начала О.
Эти лучи заполняют всю плоскость.

В условии задачи предлагают провести лучи
φ =0
φ =π/8
φ =2π/8=π/4
и так далее.

На каждом таком луче откладывается расстояние.

Например при φ =π/2
откладываем r=4/(2-3*0)=2

На луче откладываем расстояние только в одну сторону, т.е

4/(2-3cos φ ) >0 ⇒ 2-3cos φ >0 ⇒[b] cos φ Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Видео:Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координат

Контрольная работа по мат. анализу 06

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Контрольная работа 1

1. Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длину рёбер А1А2 и А1А3; 2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3; 3) Площадь грани А1А2А3; 4) Объём пирамиды; 5) Уравнение прямой А1А2; 6) Уравнение плоскости А1А2А3; 7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Координаты вершин: А1(5;1;0), А2 (0;1;2), А3(3;0;1), А4(2;2;2).

Координаты векторов находим по формуле: X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi

Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj; Для вектора A1A2 : X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1

X = 0-5; Y = 1-1; Z = 2-0

1) Длина рёбер А1А2 и А1А3;

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3;

Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3

, γ = arccos(0.91) = 24.50

3) Площадь грани А1А2А3;

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

4) Объём пирамиды;

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим Определитель матрицы

∆ = (-5) • ((-1) • 2-1 • 1)-(-2) • (0 • 2-1 • 2)+(-3) • (0 • 1-(-1) • 2) = 5

5) Уравнение прямой А1А2;

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2

6) Уравнение плоскости А1А2А3;

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3

(x-5)(0 • 1-(-1) • 2) — (y-1)((-5) • 1-(-2) • 2) + (z-0)((-5) • (-1)-(-2) • 0) = 2x+y+5z-11=0

7) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

2. Линия задана уравнением Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеВ полярной системе координат

1. построить линию по точкам, начиная от Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеДо Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеИ придавая Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системезначения через промежуток Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

1) Построим линию по точкам, начиная от Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеДо Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеи придавая Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеЗначения через промежуток Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

2) Построим уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

3) Найдём уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Используем формулы перехода от полярной системы координат к декартовой: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Тогда Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определяем, что это линия — гипербола.

Элементы линейной алгебры

Контрольная работа 2

I. Даны две матрицы А и В. Найти (2АТ-3В)*(А+2ВТ)

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

II. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Исходная матрица имеет вид:

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(5 — λ)x1-2×2 + 2×3 = 0

0x1 + (5 — λ)x2 + 0x3 = 0

0x1 + 2×2 + (3 — λ)x3 = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

(5 — λ) • ((5 — λ) • (3 — λ)-2 • 0)-0 • (-2 • (3 — λ)-2 • 2)+0 • (-2 • 0-(5 — λ) • 2) = 0

После преобразований, получаем: — λ3 + 13λ2 — 55λ + 75 = 0

Один из корней уравнения равен λ1 = 3

Тогда характеристическое уравнение можно записать как

(λ -3)( — λ2 + 10λ — 25)=0.

D = 102 — 4 • (-1) • (-25) = 0

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Получили собственные числа: λ1 = 3, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Найдём собственный вектор для λ1.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Подставляя λ = 3 в систему, имеем:

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Пусть x1 — свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные x1. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1= 3 , имеет вид: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, где x1 — любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x1 = 1: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственным числамДано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе:

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. Следовательно, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе— любое, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Множество собственных векторов, отвечающих собственным числам Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, имеет вид: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. При x1 = 1 и x3 = 0: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, при x1 = 0 и x3 = 1: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Ответ: Собственные числа: λ1=3, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, собственные векторы: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

III. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) Найти все корни уравнения w3+z=0

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

1) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе— алгебраическая форма

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе— тригонометрическая форма

2) Найдем корни уравнения w3 Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе=0, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Применим формулу извлечения корней из комплексного числа:

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, к=0,1,…,n-1

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе,

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Так как a=Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, то Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеДано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Контрольная работа 3

I. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

2. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

3. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

4. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

1. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

3. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Использовали эквивалентности бесконечно малых величин при Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

4. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

II. Задана функция Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Построим график заданной функции:

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.

Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеи Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. Так как Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе. Так как Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе, то в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок.

III. Найти производные первого порядка данных функций.

1) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

2) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

3) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

4) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

5) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

4) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

Прологарифмируем данную функцию: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеТогдаДано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

5) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дифференцируем обе части равенства по х: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Разрешаем равенство относительно Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе:Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Окончательно: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

IV. Найти Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеи Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системедля заданных функций:

1) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

2) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

1) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе;

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

2) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Приложение дифференциального исчисления

Контрольная работа 4

Контрольная работа 5

I. Вычислить определённые интегралы. В п. 1) и 2) результаты проверить дифференцированием.

1) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

2) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

3) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

4) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

1) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе— верно

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе— верно

3) Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеДано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

II. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

III. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системеДано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

По формуле Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе.

В нашем случае Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Тогда Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Имеем Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

Ответ: Дано уравнение линии в полярной системе координат найти уравнение этой линии в декартовой системе

🎥 Видео

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координат

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

ПОИ-9. Длина линии в полярной системе координатСкачать

ПОИ-9. Длина линии в полярной системе координат

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

§12 Полярное уравнение прямойСкачать

§12 Полярное уравнение прямой

1703 Вычисление длины линии в полярной системе координатСкачать

1703 Вычисление длины линии в полярной системе координат

Полярные в декартовыеСкачать

Полярные в декартовые

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координат

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

§52 Полярная система координатСкачать

§52 Полярная система координат

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах
Поделиться или сохранить к себе: