В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.
Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Кривые 2-го порядка: решения онлайн
Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.
Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.
Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.
Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.
Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.
Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.
Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.
Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $sqrt$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.
Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.
Видео:Координаты в новом базисеСкачать
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы 
. Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение: ; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы .
x 2=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение
Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Дано уравнение кривой второго порядка используя теорию квадратичных форм
- Реферат.Справочник
- Решенные задачи по высшей математике
- Дано уравнение кривой второго порядка используя теорию квадратичных форм
Условие
Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.
Решение
A=4663
Составим характеристическое уравнение
4-λ663-λ=0 λ²-7λ+6=0
D=25 λ1=6 λ2=1
Найдем базис
λ=1 3662=0 3x+6y=06x+2y=0 3x=-6y y=-36x=-32x
ux;-32x y=1 u1=1;-32 u1=32+1=52
e1=25;-35 e1=1
λ=6 -266-3=0
-2x+6y=06x-3y=0 -2x=-6y x=62y=32y
u62y;y y=1 u2=32;1 u2=32+1=52
e2=35;25 e2=1
e1∙e2=0- базис ортогональный .
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
матрица перехода S=2535-3525
SST=2535-35252535-3525T=151523-322-332=1522+332(-3)+232(-3)+2322+-3(-3)=155005=1001
Матрица квадратичной формы в новом базисе.
B=STA S=25-35352546632535-3525=254-356256-353354+256356+253∙
∙2535-3525=
=254-35625+256-33535-254-35635+256-3525354+25625-356+25335354+25635+356+25325=1006.
Эллипс
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
.
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
матрица перехода S=2535-3525
SST=2535-35252535-3525T=151523-322-332=1522+332(-3)+232(-3)+2322+-3(-3)=155005=1001
Матрица квадратичной формы в новом базисе.
B=STA S=25-35352546632535-3525=254-356256-353354+256356+253∙
∙2535-3525=
=254-35625+256-33535-254-35635+256-3525354+25625-356+25335354+25635+356+25325=1006.
Эллипс
Оплатите решение задач или закажите уникальную работу на похожую тему
💥 Видео
Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать
§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать
Кривые второго порядкаСкачать
Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать
Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать
Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать
Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать
Видеоурок "Общее уравнение кривой 2 порядка"Скачать
Поверхности второго порядкаСкачать
Видеоурок "Преобразование координат"Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Пример определения кривой второго порядкаСкачать
