Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
Содержание
  1. Понятие о кривых второго порядка
  2. Эллипс, заданный каноническим уравнением
  3. Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
  4. Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
  5. Кривые второго порядка
  6. Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:
  7. Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.
  8. Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.
  9. Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.
  10. 5.2.8. Примеры решения задач по теме «Кривые 2-го порядка»
  11. Примеры решений: кривые второго порядка
  12. Кривые 2-го порядка: решения онлайн
  13. 📽️ Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситети Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситетна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситетперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Точки Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситети Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет, обозначенные зелёным на большей оси, где

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет,

называются фокусами.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Получаем фокусы эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет— расстояния до этой точки от фокусов Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет, то формулы для расстояний — следующие:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет,

где Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситети Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет— расстояния этой точки до директрис Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситети Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Пример 7. Дан эллипс Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет, а директрисами являются прямые Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Уравнение эллипса готово:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Пример 9. Проверить, находится ли точка Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситетна эллипсе Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет,

так как из исходного уравнения эллипса Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Кривые второго порядка

Видео:Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков Александр

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Видео:§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

§29 Эксцентриситет гиперболы

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

Видео:Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

Приводим уравнение кривой 2 порядка  к каноническому виду

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

или можно встретить следующую форму записи:

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Рассмотрим кривую второго порядка:

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Вычислим определитель из коэффициентов:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F1 и F2 — фокусы.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

с — фокальное расстояние,

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

с — фокальное расстояние,

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f1 — правая директриса, f2 — левая директриса.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет
Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситетДано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Видео:Кривые второго порядка. ЗадачиСкачать

Кривые второго порядка. Задачи

5.2.8. Примеры решения задач по теме «Кривые 2-го порядка»

Определить тип уравнения кривой 2-го порядка:

Если LL2 > 0, то уравнение эллиптического типа;

Если LL2 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.

В уравнении отсутствует произведение Ху, следовательно, квадратичная форма его старших членов имеет канонический вид; поэтому коэффициенты при Х2 и У2 являются собственными числами матрицы квадратичной формы. Итак, L1 = 4, L2 = 9, LL2 > 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.

Геометрические образы, определяемые уравнением эллиптического типа:

— пустое множество («мнимый эллипс»).

Для приведения уравнения к каноническому виду нужно исключить из него слагаемые. Содержащие первые степени переменных. Для этого преобразуем левую часть:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Зададим параллельный перенос осей координат:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Тогда в новых координатах уравнение примет вид:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Каноническое уравнение эллипса.

Ответ: уравнение эллипса, канонический вид Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ, который оно определяет:

Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.

Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:

— пара пересекающихся прямых.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.

Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:

— пара пересекающихся прямых.

Заметим, что для данного уравнения нет необходимости искать явный вид преобразования координат, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Это связано с тем, что уравнение не содержит линейных членов, а его свободный член не изменится при преобразовании вида

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Найденные собственные числа будут коэффициентами при Х2 и У2 для канонического вида квадратичной формы. Следовательно, в соответствующей координатной системе уравнение примет вид:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Каноническое уравнение гиперболы.

Ответ: уравнение гиперболического типа, канонический вид

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ, который оно определяет:

Перед нами полное уравнение 2-го порядка, и для приведения его к каноническому виду потребуется провести оба преобразования координатных осей: поворот на такой угол, чтобы новые оси стали параллельными собственным векторам матрицы квадратичной формы (это преобразование квадратичной формы к каноническому виду), и параллельный перенос.

Перед нами полное уравнение 2-го порядка, и для приведения его к каноническому виду потребуется провести оба преобразования координатных осей: поворот на такой угол, чтобы новые оси стали параллельными собственным векторам матрицы квадратичной формы (это преобразование квадратичной формы к каноническому виду), и параллельный перенос.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Итак, тип уравнения – гиперболический.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Матрица перехода к новому базису:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет.

Собственные векторы следует выбирать так, чтобы определитель матрицы перехода равнялся +1 – при этом не нарушается взаимное расположение координатных осей.

Запишем исходное уравнение в новых координатах:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

2) Параллельный перенос:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

В новых координатах получаем уравнение

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Пара пересекающихся прямых.

Ответ: уравнение гиперболического типа, определяет пару пересекающихся прямых, канонический вид: У″ = ± 2Х″.

Не проводя преобразования координат, установить, что уравнение

Определяет прямую, и найти уравнение этой прямой.

Обратите внимание на то, что квадратичная форма, образованная старшими членами уравнения, является полным квадратом.

Иногда привести уравнение к простому виду удается с помощью алгебраических приемов. Представим левую часть уравнения в виде:

Ответ: уравнение определяет прямую Х – 3У + 2 = 0.

Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Найти его эксцентриситет.

По условию задачи оси координат являются осями симметрии эллипса, поэтому, во-первых, его уравнение имеет канонический вид, а во-вторых, полуось А равна абсциссе точки А.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

По условию задачи оси координат являются осями симметрии эллипса, поэтому, во-первых, его уравнение имеет канонический вид:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

А во-вторых, полуось А равна абсциссе точки А, т. е. А = 6. Найдем B, подставив в уравнение эллипса координаты точки М:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Итак, уравнение эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Тогда расстояние от фокуса до начала координат

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Вычислим эксцентриситет эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Ответ: эксцентриситет Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на прямой У + 6 = 0, эксцентриситет равен Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет, а точка М(3; -1) является концом малой полуоси.

Найдите расстояние от точки М до прямой У + 6 = 0, т. е. длину малой полуоси эллипса. Центром симметрии эллипса будет точка О пересечения прямых F1F2 (Y + 6 = 0) и МО, проходящей через точку М перпендикулярно F1F2.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Найдем расстояние от точки М до прямой У + 6 = 0, т. е. длину малой полуоси эллипса. Нормальный вид уравнения данной прямой: – 6 = 0, тогда

Центром симметрии эллипса будет точка О пересечения прямых F1F2 (Y + 6 = 0) и МО, проходящей через точку М перпендикулярно F1F2.

Поскольку прямая F1F2 параллельна оси абсцисс, прямая МО параллельна оси ординат; следовательно, ее уравнение: Х = 3. Тогда координаты точки О:

С учетом расположения осей эллипса можно утверждать, что в системе координат, полученной параллельным переносом начала координат в точку

О(3; -6), то есть заданной преобразованием

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Уравнение эллипса имеет канонический вид:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Найдем А из условия, что

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Подставим найденные значения А и B в уравнение эллипса:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Ответ: уравнение эллипса: Х2 + 2У2 – 6Х + 24У + 31 = 0.

Составить уравнения директрис гиперболы.

Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду и составьте уравнения директрис в виде

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Осями симметрии являются координатные оси, А = 3, B = 4. Тогда

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Ответ: уравнения директрис: Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Найдите вначале координаты вершин и фокусов эллипса, а затем определите коэффициенты А и B в каноническом уравнении гиперболы.

Координаты вершин гиперболы: (А; 0) и (-А; 0), координаты фокусов: (С; 0) и (–С; 0). Соответственно координаты вершин эллипса: (А1; 0) и (-А1; 0), координаты фокусов: (С1; 0) и (-С1; 0). У данного эллипса А1 = 5, Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Тогда для гиперболы А = 4, С = 5, откуда

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет,

И уравнение гиперболы:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Ответ: Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Составить уравнение касательной к гиперболе

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

В ее точке М=<15; 4Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет>.

Найдите вначале координаты нормали к гиперболе в точке М (если кривая задана уравнением F(X,Y) = 0, То нормаль к ней в точке М0=<Х00>

Имеет координаты: П = (FX(X0;Y0);FY(X0;Y0))), а затем составьте уравнение прямой, проходящей через точку М=<15; 4Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет> перпендикулярно

Найдем координаты нормали к гиперболе в точке М.

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0;у0) перпендикулярно вектору П = <A, B>, имеет вид:

А(х – х0) + В(у – у0) = 0.

Запишем уравнение касательной:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Ответ: Уравнение касательной:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса

Используйте определение параболы: параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Используем определение параболы:

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пусть точка М(Х, У) лежит на параболе. Тогда ее расстояние до фокуса

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Выразим через Х и У расстояние от точки М до директрисы.

Нормальное уравнение директрисы:

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Из определения параболы DM = MF,

Дано уравнение кривой второго порядка найти длины полуосей координаты фокусов эксцентриситет

Ответ: уравнение параболы: Х2 + 2Ху + У2 – 6Х + 2У + 9 = 0.

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку А=. Найти координаты ее фокуса.

Из условий задачи следует, что данная парабола задается каноническим уравнением

Подставьте в это уравнение координаты точки А и найдите значение параметра Р параболы.

Из условий задачи следует, что данная парабола задается каноническим уравнением

Подставим в это уравнение координаты точки А: 36 = 2Р·9, откуда Р = 2.

Следовательно, уравнение параболы имеет вид: У2 = 4Х.

Координаты фокуса параболы задаются формулой: F=<0,5P; 0>, то есть F=.

Ответ: уравнение параболы: У2 = 4Х; фокус F=.

Видео:Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядка

Примеры решений: кривые второго порядка

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Видео:Определить тип кривой (эллипс)Скачать

Определить тип кривой (эллипс)

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $sqrt$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.

📽️ Видео

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

кривые второго порядка (решение задач)Скачать

кривые второго порядка (решение задач)

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Тип кривой второго порядкаСкачать

Тип кривой второго порядка
Поделиться или сохранить к себе: