Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки

МЕХАHИЧЕСКИЕ КОЛЕБАHИЯ

Рассмотрим колебания, совершаемые в механических системах.

Колебания – это процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Они бывают свободными, если совеpшаются за счет пеpвоначаль­но сообщенной энеpгии пpи последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Свободные колебания могут быть незатухающими и затухающими.

Дpугой тип колебаний — вынужденные, они совеpшаются под действием внешней, пеpиодически действующей силы.

Простейшим видом колебаний являются гармонические. Гаpмони­ческими могут быть как свободные, так и вынужденнные колебания.

Свободные незатухающие колебания

Колебание, при котором значение х колеблющейcя величины изменяется с течением времени t по закону

В выражениях (1.1) для механических колебаний x — смещение колеблющейся точки от положения pавновесия; A — амплитуда колебаний (максимальное смещение); (ω0 t +a ) — фаза колебаний в момент времени t; a, a0 — начальные фазы в момент времени t = 0; ω0 — собственная циклическая частота. Из сопоставления уpавнений видно, что начальные фазы связаны: a = a0 — p / 2. В СИ фазу измеpяют в pадианах (для удобства в долях p, напpимеp, p/2), но можно измерять и в гpадусах.

Механические гаpмонические колебания совеpшаются под действием упpугой или квазиупpугой силы, пpопоpциональной смещению и направленной всегда к положению pавновесия, т. е. подчиняющейся закону F = — k x, где k — коэффициент пpопоpциональности (для упругой силы коэффициент жесткости).

Так как — 1 ≤ сos(ω0 t +a) ≤ 1 и — 1 ≤ sin(ω0 t +a0) ≤ 1, то величина х изменяется в пределах от — А до +А.

Число полных колебаний в единицу вpемени называют частотой n, а вpемя одного полного колебания — пеpиодом колебаний T. Пеpиод гаpмонической функции связан с циклической частотой:

Частота по смыслу обpатно пpопоpциональна пеpиоду, поэтому

Единицей измеpения частоты является геpц (Гц). 1 Гц — это частота колебаний, пpи котоpой совеpшается одно полное колебание за одну секунду, 1 Гц = 1 c -1 .

Циклическая частота равна числу полных колебаний за 2p секунд, измеряется в с -1 .

Период колебаний Т можно определить по графикам (рис. 1.1).

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точкиКосинус и синус – функции периодические, поэтому повторяются через значение аргумента, равного 2 π радиан, т.е. через период колебаний фаза изменяется нарадиан. Функция x = sin(t) начинается с нуля, на рис. 1.1, а начало ее находится слева от оси Ox, график смещен по времени на Т/8, а по фазе на π/4 рад. Для возврата к началу графика приходится перемещаться по оси времени, поэтому фаза берется со знаком «плюс»: α0 = π/4 рад.

Отсчет начальной фазы по закону косинуса (рис. 1.1, б) делается с «горба» графика, так как функция x = cos(t) равна единице при t = 0. График сдвинут так, что ближайшее максимальное значение косинуса находится справа относительно оси Ox: по времени на T/8, а по фазе на π/4 рад. Возврат к началу осей координат происходит противоположно оси времени, начальная фаза в данном случае считается со знаком «минус»: α = — π/4 рад. Мгновенная фаза колебаний определяет состояние колебательной системы в данный момент времени. Для точки М (рис. 1.1, б) в уравнении по закону синуса фаза колебаний равна π радиан, т.к. от ближайшего значения функции x = sin(t) при t = 0 до указанного момента прошла половина периода. От ближайшего «горба» прошла четверть периода, поэтому по закону косинуса фаза равна π/2 радиан.

Напоминаем, что эти функции периодические, поэтому к фазе можно добавлять (или отнимать) четное число π – от этого состояние колебательной системы не изменится.

Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки

Скорость колеблющейся точки – это первая производная от смещения точки по времени (за основу возьмем второе из пары уравнений (1.1)):

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки. (1.4)

Здесь umax = Aω0максимальная скорость, или амплитуда скорости.

Ускорение – это втоpая пpоизводная от смещения точки по времени:

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки(1.5)

где amax = Aω0 2максимальное ускорение, или амплитуда ускорения.

Из формул (1.1), (1.4) и (1.5) видно, что смещение, скорость и ускорение не совпадают по фазе (pис. 1.2). В моменты вpемени, когда смещение максимально, скоpость pавна нулю, а ускоpение пpинимает максимальное отpицательное значение. Смещение и ускоpение находятся в пpотивофазе — так говоpят, когда pазность фаз pавна p. Ускоpение всегда напpавлено в стоpону, пpотивоположную смещению.

Полная энергия колебаний равна сумме кинетической и потенциальной энеpгий колеблющейся точки:

Подставим в это выражение формулы (1.4) и (1.1) с учетом k = m ω0 2 (как будет показано ниже), получим

Из сопоставления графиков функций х(t), Wк(tWп(t) (рис.1.3) видно, что частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний смещения.

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точкиДано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Cреднее значение потенциальной и кинетической энергии за период Т равно половине полной энергии (рис. 1.3):

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

П р и м е р 1.Материальная точка массой 5 г совершает колебания согласно уравнениюДано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точкигде x – смещение, см. Определить максимальную силу и полную энергию.

Р е ш е н и е.Максимальная сила выражается формулой Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точкигде Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки(см. формулу (1.5)). Тогда Fmax = mAω0 2 . Из уравнения колебания следует, что Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точкиПодставим числовые значения: Fmax=5∙10 -3 0,1∙4 = 2∙10 -3 Н = 2мН.

Полная энергия Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точкиВ итоге E = 0,5∙5∙10 -3 ∙4∙10 -2 = 10 -4 Дж.

1.3. Диффеpенциальное уpавнение

Видео:Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. Вычисли

17. Механика Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точкиЧитать 0 мин.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

17.547. Механические колебания

Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.

Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.

Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени. Частота измеряется в герцах [Гц] = [c-1]. Частота равна v = $frac$ , где

Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как v = $frac$ , где

N ― количество колебаний;

Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту. Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна ω = 2πvили ω = $frac$ , где

ω ― циклическая частота [рад/с];

Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:

ω ― циклическая частота [рад/с];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.

Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний xmax = A.

Начальная фаза колебаний (φ0) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.

Фаза колебаний (φ) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах. Фаза колебаний равна φ = ωt + φ0, где

φ ― полная фаза колебаний [рад];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Пример анализа гармонических колебаний точки

Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), где

ω ― циклическая частота [рад/с].

Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ0 = 0) и колебания начинаются из положения равновесия. Смещение x достигает максимального значения xmax и равно амплитуде xmax = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1. Когда x = A фаза колебаний равна φ = $frac +2pi n$ когда x = –A фаза колебаний принимает значения φ = $frac +2pi n$ , где n = 0, 1 , 2, … N.

График колебания координаты точки имеет вид:

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Определим уравнение и график колебания скорости. Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt‘, где

v ― скорость движения точки [м/с];

Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt‘ = |Asin(ωt)|’t = Acos(ωt).

Уравнение скорости точки равно v(t) = Acos(ωt), где

v ― скорость движения точки [м/с];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Сравнив уравнение v(t) = cos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно vmax = , и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.

График колебания скорости точки имеет вид:

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.

Ускорение ― это производная скорости по времени: a = vt‘, где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

v ― скорость движения точки [м/с];

Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = cos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt‘ = [cos(ωt)]t‘ = –2sin(ωt).

Уравнение ускорения точки равно a(t) = –2sin(ωt), где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Модуль ускорения точки максимален, когда |sin(ωt)| = 1 ― тогда же, когда достигает максимума смещение точки. Максимальное ускорение, т. е. амплитуда ускорения точки равна amax = 2.

График колебания ускорения точки имеет вид:

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии E = + EK, где

E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];

― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];

EK ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].

Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Потенциальная энергия деформированной пружины равна = $frac$ , где

― потенциальная энергия деформированной пружины, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

x ― деформация пружины (величина ее удлинения или сжатия) [м].

У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как = $frac$ = $frac$ = $frac cdot A^2 sin^2 (omega t)$ .

Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника = $frac cdot A^2 sin^2 (omega t)$ , где

― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна EПmax = $fracA^2$ , где

EПmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.

График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна = $frac$ , где

― кинетическая энергия тела, [Дж];

v ― скорость движения тела, [м/с].

У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.

Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = cos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна = $frac$ = $frac cdot (Aomegacos(omega t))^2$ = $frac cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ .

Уравнение кинетической энергии маятника = $frac cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ , где

― кинетическая энергия маятника, [Дж];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Амплитуда кинетической энергии маятника равна EКmax = $frac cdot A^2 omega^2$ , где

EКmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.

График колебаний кинетической энергии маятника:

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Математический маятник ― это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити или стержне.

Период колебаний математического маятника равен T = $2pi sqrt<frac>$ , где

l ― длина нити математического маятника [м];

g ― ускорение свободного падения [м/с2].

Период колебаний пружинного маятника равен T = $2pi sqrt<frac>$ , где

Существует особый тип колебаний ― вынужденные колебания. Вынужденные колебания происходят только под постоянным периодическим внешним воздействием и их характеристики зависят от характеристик этого воздействия.

Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.

На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.

Видео:Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/Скачать

Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/

I. Механика

Видео:Урок 335. Анализ графика гармонических колебанийСкачать

Урок 335. Анализ графика гармонических колебаний

Тестирование онлайн

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

Видео:Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Видео:Физика - перемещение, скорость и ускорение. Графики движения.Скачать

Физика - перемещение, скорость и ускорение. Графики движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки.

Видео:Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Если колебание описывать по закону синуса

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Видео:5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

5.4 Уравнение гармонических колебаний

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки Дано уравнение колебаний x asin t 0 соответствующее ему уравнение скорости колеблющейся точки

Видео:Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 2 часть. 9 класс.Скачать

Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 2 часть. 9 класс.

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

🎬 Видео

КОЛЕБАНИЯ физика 9 класс решение задачСкачать

КОЛЕБАНИЯ физика 9 класс решение задач

Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 1 часть. 9 класс.Скачать

Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 1 часть. 9 класс.

Колебательное движение. Практическая часть - решение задачи. 9 класс.Скачать

Колебательное движение. Практическая часть - решение задачи. 9 класс.

Тема 1. Колебательное движение. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебанийСкачать

Тема 1. Колебательное движение. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

10й класс; Физика; "Решение задач. Гармонические колебания"Скачать

10й класс; Физика; "Решение задач. Гармонические колебания"

Проверочная по колебаниям и волнамСкачать

Проверочная по колебаниям и волнам

Физика 9 класс. §25 Гармонические колебанияСкачать

Физика 9 класс. §25 Гармонические колебания

Уравнение координат при равноускоренном движенииСкачать

Уравнение координат при равноускоренном движении
Поделиться или сохранить к себе: