Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, где

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Если Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин— произвольная точка левой ветви гиперболы (Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин) и Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин— расстояния до этой точки от фокусов Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, то формулы для расстояний — следующие:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Если Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин— произвольная точка правой ветви гиперболы (Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин) и Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин— расстояния до этой точки от фокусов Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, то формулы для расстояний — следующие:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

где Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин— расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин— расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин— расстояния этой точки до директрис Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Пример 4. Дана гипербола Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Вычисляем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, где Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини координаты точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Гипербола — определение и вычисление с примерами решения

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинСогласно определению, для гиперболы имеем Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинИз треугольников Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинпо теореме Пифагора найдем Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинсоответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинРаскроем разность квадратов Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинВновь возведем обе части равенства в квадрат Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинСоберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинПолучим Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинРазделив все члены уравнения на величину Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинполучаем каноническое уравнение гиперболы: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинДля знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинследовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинт.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинт.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Определение: Найденные точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинназываются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинне пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинПри неограниченном росте (убывании) переменной х величина Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинследовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинКроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинЕсли эксцентриситет Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини гипербола становится равнобочной. Если Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини гипербола вырождается в два полубесконечных отрезкаДано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинСледовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет видДано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинили Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинСледовательно, большая полуось эллипса Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершина малая полуось Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинИтак, вершины эллипса расположены на оси Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинна оси Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинТак как Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинто эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинИтак, Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинСогласно условию задачи (см. Рис. 33): Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинДано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинУравнение гиперболы имеет вид: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Видео:Фокусы гиперболыСкачать

Фокусы гиперболы

Гипербола в высшей математике

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Решая его относительно Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, получим две явные функции

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

или одну двузначную функцию

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Функция Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинимеет действительные значения только в том случае, если Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. При Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинфункция Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершиндействительных значений не имеет. Следовательно, если Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинполучаемДано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

При Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинкаждому значению Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинсоответствуют два значения Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, поэтому кривая симметрична относительно оси Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Так же можно убедиться в симметрии относительно оси Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Точки пересечения гиперболы с осью Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинназываются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, а ординату точки на гиперболе через Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Тогда Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин(рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Умножим и разделим правую часть наДано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Будем придавать Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинвсе большие и большие значения, тогда правая часть равенства Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинбудет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинбудет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин(рис. 37).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность
  • Эллипс

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

§29 Эксцентриситет гиперболы

Как найти координаты фокусов гиперболы

Гиперболой Называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную через 2А, расстояние между фокусами через 2С, а оси координат выберем так же, как в разделе 2.3.

Пусть М(Х, У) – произвольная точка гиперболы (рисунок 2.4).

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

По определению гиперболы F2MF1М = ±2A. (Знак плюс в правой части надо выбрать, если F2M > F1М, и минус, если F2M A).

Исследуем формулу гиперболы.

1. Уравнение (2.7) содержит квадраты текущих координат, следовательно, оси координат являются осями симметрии гиперболы. Ось симметрии, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), фокальная ось совпадает с осью ОХ, а центр – с началом координат.

В этом случае координаты фокусов гиперболы имеют вид F1(с,0), F2(-с,0).

2. Точки пересечения с осями симметрии. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются Вершинами гиперболы. Полагая в уравнении (2.7) У = 0, найдем абсциссы точек пересечения с осью ОХ:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинили X2 = А2, откуда Х = ±А.

Итак, точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинявляются вершинами гиперболы.

Если же в уравнении (2.7) принять x = 0, получим

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинили У2 = –B2,

Т. е. для У мы получили мнимые значения. Это означает, что гипербола не пересекает ось ОY.
В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью (фокальная ось); ось симметрии, которая не пересекает гиперболу, – ее мнимой осью. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), действительной осью симметрии является ось ОХ, а мнимой осью – ось ОY. Длина отрезка А1А2 = 2А, число А называется действительной полуосью гиперболы. Отложим на мнимой оси гиперболы по обе стороны от центра симметрии O отрезки ОВ1 и ОВ2 длиною B, тогда отрезок В1B2 = 2B называют мнимой осью, а величину B – мнимой полуосью гиперболы.

Из уравнения (2.7) видно, что Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, следовательно, |X| ³ A. Кривая имеет форму, изображенную на рисунке 2.5. Она располагается вне прямоугольника со сторонами, равными 2А и 2B, с центром в начале координат, и состоит из двух отдельных ветвей, простирающихся в бесконечность (см. рисунок 2.5). Диагонали этого прямоугольника определяются уравнениями

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин(2.8)

И являются Асимптотами гиперболы.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Если A = B, гипербола называется равносторонней.

Замечание 1. Если мнимая ось гиперболы равна 2А и расположена на оси ОХ, а действи-тельная ось равна 2B и расположена на оси ОY, то уравнение такой гиперболы (рисунок 2.6) имеет вид (каноническое уравнение гиперболы, если ее фокальная ось – ось Y)

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин(2.9)

Координаты фокусов в этом случае имеет вид F1(0,с) и F2(0,-с).

Гиперболы (2.7) и (2.9) называются Сопряженными гиперболами.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Замечание 2. Эксцентриситетом Гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин(2.10)

Для любой гиперболы ε > 1, это число определяет форму гиперболы.

Пример 2.3. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы

Написать уравнение ее асимптот и вычислить эксцентриситет.

Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы, для чего обе части уравнения поделим на 144. После сокращения получим

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Отсюда видно, что А2 = 9, т. е. A = 3 и B2 = 16, т. е. B = 4.

Для гиперболы С2 = А2 + B2 = 16 + 9 = 25, отсюда C = 5.

Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:

Эксцентриситет Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, а уравнения асимптот имеют вид

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

где a и b – длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

На чертеже ветви гиперболы – бордового цвета.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, где

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет – это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Результат – каноническое уравнение гиперболы:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Если Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– произвольная точка левой ветви гиперболы (Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин) и Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– расстояния до этой точки от фокусов Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, то формулы для расстояний – следующие:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Если Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– произвольная точка правой ветви гиперболы (Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин) и Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– расстояния до этой точки от фокусов Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, то формулы для расстояний – следующие:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

называются директрисами гиперболы (на чертеже – прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин,

где Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– расстояния этой точки до директрис Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Пример 4. Дана гипербола Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Вычисляем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот – прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

На чертеже асимптоты – прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, где Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

В том случае, когда угол между асимптотами – прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершини координаты точки Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы – это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин. Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:ГиперболаСкачать

Гипербола

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

По определению | r 1r 2 | = 2 a . F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2 c .

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда :

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью.

Ось 2 b называется мнимой осью.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Определение. Отношение Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершинназывается эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин:

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Если а = b , e = Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a / e + d = x , следовательно d = x – a / e .

( x – c ) 2 + y 2 = r 2

Из канонического уравнения: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин, с учетом b 2 = c 2 – a 2 :

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Тогда т.к. с/ a = e , то r = ex – a .

Итого: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Для левой ветви доказательство аналогично. Теорема доказана

Пример 1 . Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Для эллипса: c 2 = a 2 – b 2 . Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 .

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Уравнение гиперболы: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Пример 2 . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин

Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, e = c / a = 2; c = 2 a ; c 2 = 4 a 2 ; a 2 = 4;

Итого: Дано уравнение гиперболы найти длину полуосей координаты фокусов и вершин– искомое уравнение. Copyright © 2004-2019

🎦 Видео

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.

ЭллипсСкачать

Эллипс

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

187. Гипербола.Скачать

187. Гипербола.

§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

§23 Построение гиперболыСкачать

§23 Построение гиперболы

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядка

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков Александр

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс
Поделиться или сохранить к себе: