Дано общее уравнение прямой (12x-5y-65=0).

1) уравнение с угловым коэффициентом;

2) уравнение в отрезках;

3) нормальное уравнение.

1) Разрешив уравнение относительно (y), получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: $$y=fracx-13$$ Здесь (k=frac, b=-13).

2) Перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделим обе части на 65; имеем (fracx-fracy=1). Переписав последнее уравнение в виде $$frac=frac=1$$ получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь (a=65/12, b=-65/5=-13).

3) Находим нормирующий множитель (mu =1/sqrt<12^+(-5)^>=1/13). Умножив обе части общего уравнения на этот множитель, получаем нормальное уравнение прямой $$fracx-fracy-5=0$$ Здесь (cos phi =frac, sin phi = -5/13, p=5).

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 — прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Приведите уравнение прямой 12x — 5y — 65 = 0 к виду y = kx + b?

Геометрия | 5 — 9 классы

Приведите уравнение прямой 12x — 5y — 65 = 0 к виду y = kx + b.

Видео:Угловой коэффициент прямойСкачать

Помогите, пожалуйста, срочно?

Помогите, пожалуйста, срочно!

Здесь уже дано решение, надо только правильно заполнить пропуски.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А ( — 1 ; 2) и В (2 ; — 3).

Уравнение прямой имеет вид ax + _ + с = 0.

Точки А и _ лежат на прямой, т.

Е. их координаты ____ этому уравнению.

Подставив координаты точек А и _ в уравнение, получим : а * ( — 1) + ___ + с = 0 ; ___ + b * ( — 3) + с = 0.

Выразим отсюда а и b через с : а = __с и b__с.

Подставив полученные значения a и b в уравнение ax + by + __ = __, приходим к уравнению : — 5сх + (__)у + __ = 0.

При любом с не равном нулю это уравнение является ____________ прямой AB.

Сократив на — с, получим искомое ____________ прямой ____ в виде : ___ + 3у — 1 = 0.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнения двух прямых имеют вид : 2х + у — 3 = 0 и х — 2у + 5 = 0пересекаються ли эти прямые?

Уравнения двух прямых имеют вид : 2х + у — 3 = 0 и х — 2у + 5 = 0

пересекаються ли эти прямые?

Если не сложно объясните почему * — *.

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

16)Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке?

16)Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

18)Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.

21)Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Дана прямая, 3x — y + 5 = 0 написать уравнение в параметрическом виде?

Дана прямая, 3x — y + 5 = 0 написать уравнение в параметрическом виде.

Видео:Уравнение прямой с угловым коэффициентомСкачать

Напишите уравнения прямой проходящей через две точки A(0 ; 1) и B( — 4 ; — 5) Уравнение прямой имеет вид аx + by + c = 0?

Напишите уравнения прямой проходящей через две точки A(0 ; 1) и B( — 4 ; — 5) Уравнение прямой имеет вид аx + by + c = 0.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Приведите уравнение прямой 12x — 5y — 65 = 0 к виду y = kx + b?

Приведите уравнение прямой 12x — 5y — 65 = 0 к виду y = kx + b.

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Приведите примеры прямых и обратных утверждений?

Приведите примеры прямых и обратных утверждений.

Видео:Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать

Параллельные прямые в нашей жизни приведите примеры?

Параллельные прямые в нашей жизни приведите примеры.

Видео:Угловой коэффициент прямой. Решение задач.Скачать

Составить уравнение прямой в виде Мх + Ny + G = 0, перпендикулярной к прямой — 2x + 7y — 5 = 0 и проходящей через точку А (20 ; — 14)?

Составить уравнение прямой в виде Мх + Ny + G = 0, перпендикулярной к прямой — 2x + 7y — 5 = 0 и проходящей через точку А (20 ; — 14).

Видео:Составление уравнения прямой с угловым коэффициентом по графикуСкачать

Приведите примеры перпендикулярных прямых в жизни?

Приведите примеры перпендикулярных прямых в жизни.

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Приведите уравнение прямой 12x — 5y — 65 = 0 к виду y = kx + b?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Урок 7

общее уравнение Прямой.

неПолное уравнение Первой стеПени. уравнение Прямой в отрезках.

угол между двумя Прямыми.

общее уравнение Прямой.

теорема. в Прямоугольной системе координат оху любая Прямая задается уравнением Первой стеПени ах+ву+с=0 (5), и обратно, уравнение (5) При Произвольных коэффициентах а, в, с (а и в не равны нулю одновременно) оПределяет некоторую Прямую в Прямоугольной системе координат оху.

доказательство. сначала докажем Первое утверждение. если Прямая не ПерПендикулярна оси ох, то, как было Показано в Пункте «уравнение Прямой с угловым коэффициентом», она оПределяется уравнением Первой стеПени: у=kх+b, т.е. уравнением вида (5), где а=k, в=-1; с=b. если же Прямая ПерПендикулярна оси ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а отрезка, отсекаемого Прямой на оси ох. уравнение этой Прямой имеет вид х=а, т.е. также является уравнением Первой стеПени вида (5), где а=1, в=0, с=-а. тем самым Первое утверждение доказано.

докажем теПерь обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), Причем хотя бы один из коэффициентов а и в не равен нулю. если в не равно 0, то уравнение (5) можно заПисать в виде: у=-а / вх-с / в. Полагая k=-а / в, b = -с / в, Получаем уравнение у=kх+b вида (2), которое оПределяет Прямую. если в=0, то а не равно 0 и уравнение (5) Принимает вид х=-с / а. обозначив с / а через а, Получим х=а, т.е. уравнение Прямой, ПерПендикулярной оси ох. теорема доказана.

линии, оПределяемые в Прямоугольной системе координат уравнением Первой стеПени, называются линиями Первого Порядка . таким образом, каждая Прямая есть линия Первого Порядка и, обратно, каждая линия Первого Порядка есть Прямая.

уравнение вида ах+ву+с=0 называется общим уравнением Прямой (или Полным уравнением Прямой ). При различных значениях а, в, с оно оПределяет всевозможные Прямые.

Пример 1. Прямая задана общим уравнением 12х-5у-65=0. наПисать ее уравнение с угловым коэффициентом.

решение. выразим из этого уравнения у, Получим: 5у=12х-65. разделим Полученное равенство на 5, Получим искомое уравнение: у=2,4х-13. здесь k=2,4 и b=-13.

уравнение Прямой в отрезках. неПолное уравнение Первой стеПени.

рассмотрим три частных случая, когда уравнение ах+ву+с=0 является неПолным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.

1) с=0; уравнение имеет вид ах+ву=0 и оПределяет Прямую, Проходящую через начало координат.

2) в=0 (а не равно 0); уравнение имеет вид ах+с=0 и оПределяет Прямую, Параллельную оси оу. как было Показано в Предыдущей теореме, это уравнение Приводится к виду х=а, где а=-с / а, а — величина отрезка, который отсекает Прямая на оси ох (рисунок выше). в частности, есои а=0, то Прямая совПадает с осью оу. таким образом, уравнение х=0 оПределяет ось ординат.

3) а=0 (в не равно 0); уравнение имеет вид ву+с=0 и оПределяет Прямую, Параллельную оси ох. это устанавливается аналогично Предыдущему случаю. если Положить b=-с / в, то уравнение Примет вид у=b, где b — величина отрезка, который отсекает Прямая на оси оу (см.рисунок) . в частности, если b=0, то Прямая совПадает с осью ох. таким образом, уравнение у=0 оПределяет ось абсцисс.

Пусть теПерь дано уравнение ах+ву+с=0 При условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. введя обозначения а=-с / а, b=-с / в, Получим: (6).

Уравнение (6) называется уравнением Прямой в отрезках . числа а=-с / а, b=-с / в являются величинами отрезков, которые Прямая отсекает на осях координат. эта формула удобна для геометрического Построения Прямой.

Пример 2. Прямая задана уравнением 3х-5у+15=0. составить ее уравнение в отрезках и Построить Прямую.

решение. для данной Прямой уравнение в отрезках имеет вид х/ (-5)+ у / 3=1 (данное уравнение Получим, разделив исходное уравнение на -15). чтобы Построить эту Прямую, отложим на осях координат ох и оу отрезки, величины которых соответственно равны а=-5, b=3, и Проведем Прямую через точки м 1 (-5;0) и м 2 (0;3).

угол между двумя Прямыми.

рассмотрим две Прямые l 1 и l 2 . Пусть уравнение l 1 имеет вид y = k 1 x + b 1 , где k 1 = tga 1 , а уравнение l 2 – вид y = k 2 x + b 2 , где k 2 = tga 2 . далее, Пусть f – угол между Прямыми l 1 и l 2 : 0 .

из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами а 1 , а 2 , f: a 2 =a 1 +f или f=a 2 -a 1 , откуда tgf =tg(a 2 — a 1 )= (tga 2 — tga 1 )/(1+tga 1 tga 2 ) или

tgf = ( k 2 — k 1 ) / (1+ k 1 k 2 ) (7)

формула (7) оПределяет один из углов между Прямыми, другой угол равен П-f.

Пример 3 . Прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими Прямыми.

решение. очевидно, k 1 =2, k 2 =-3, Поэтому согласно формуле (7) находим: tgf =(-3-2) / (1+(-3)2)= 1. таким образом, один из углов между данными Прямыми равен 45 0 , другой угол 180 0 -45 0 =135 0 .

Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области

🎥 Видео

УЧИМСЯ ПОНИМАТЬ ЛИНЕЙНУЮ ФУНКЦИЮ. Уравнения прямой с угловым коэффициентом, по точкам и в отрезкахСкачать

Уравнение прямых с угловым коэффициентомСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

§8.1 Общее уравнение прямой на плоскостиСкачать

Уравнение прямой с угловым коэффициентомСкачать

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Урок 5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Декартовы координаты. Геометрия 9 класс.Скачать

Уравнение прямой: метод трёх точекСкачать